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Es seien M = g x h und Mx = gx x Ax die Schnittpunkte zweier entsprechender Gegenseitenpaare g = AB, h = GZ? und gx = ^j-sj, Aj = CxBx, die zusammen alle acht Ecken enthalten (Fig. 135). Denken wir uns eines der Vierecke, etwa ABCB fest, so ist dem andern eine solche Lage zu erteilen, daß die Punktreihen ABM und AxBxMx, sowie die Punktreihen CUM und CxBxMx aus einem Centrum O perspektiv liegen. Legen wir diese Reihen zunächst einzeln irgendwie perspektiv, so können wir ihre Gegenpunkte bestimmen, nämlich Gv auf g, G^ auf gx, Hv auf h, Rx auf hv Hieraus ergeben sich die Gegenachsen ee = GvH9 und ex = GxHrM der beiden perspektiven Figuren.

Nach 171 müssen ferner die Beziehungen bestehen:
L_ OGvHv = L_ 9xex, l_ OG^ = L_ gev,
L_ OHßv = L_ V., L_ OHx Gx = L_ hev.

192. Jetzt drehen wir das zweite Viereck bis eK zu ev parallel wird, dann muß sich die gewünschte perspektive Lage der beiden Vierecke durch eine bloße Parallelverschiebung der zweiten bewirken lassen. Wir ziehen nun einerseits in dem festen Viereck durch Gv und Hv respektive die Parallelen zu den Seiten gx und Aj des gedrehten Vierecks und andererseits in dem gedrehten Viereck durch Gx und Hx respektive die Parallelen zu den Seiten g und h des festen Vierecks. Dann werden sich die ersteren in einem Punkte 0' und die letzteren in einem Punkte 0/ schneiden, und eine Parallelverschiebung des zweiten Vierecks, bei der 0x' mit O' zusammenfällt, bringt die beiden Vierecke in perspektive Lage. Eine andere perspektive Lage der Vierecke ergiebt sich, wenn wir das zweite Viereck nachträglich um O' =0j' um 180° drehen.

Man kann jedoch auch zuerst das zweite Viereck um ex umklappen und dann eine Drehung desselben vornehmen, so daß ex \\ ev wird. In diesem Falle schneiden sich die durch Gv und Hv gezogenen Geraden, welche zu den Seiten gx und hx des so gelegenen zweiten Vierecks parallel sind, im Punkte O, und ebenso die Parallelen zu g und h durch Ga und H im Punkte Ov Eine Parallelverschiebung des zweiten Vierecks, wobei Ox mit O zusammenfällt, bewirkt wiederum eine perspektive Lage beider Vierecke, und eine weitere perspektive Lage ergiebt sich noch, wenn man das zweite Viereck nachträglich um O = 0j um 180° dreht. Es sind also vier verschiedene perspektive Lagen in der Ebene möglich.

In der Figur 136 ist eine der zuletzt erwähnten perspektiven Lagen dargestellt, wobei Ox mit O vereinigt liegt. Sind Gx= g x gx und Hx = h x hx die Schnittpunkte der sich entsprechenden Seiten,

so sind die Vierecke OH^M^G^ und MHvOGv ähnlich, da
homologen Seiten und die homologen Diagonalen H^G^ und
parallel laufen. Demnach
sind auch ihre Diagonalen
OM1 und OM parallel,
d. h. M, Mx und O liegen
auf einer Geraden. Nun
sind auch die Vierecke

ihre

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ähnlich, da ihre homologen Seiten und die homologen Diagonalen OM^ und MMx parallel laufen, folglich ist auch E.G. \\HG.

1 1 II CO 00

Jetzt liegen drei Punkte von g, nämlich M, Gv und der unendlich ferne Punkt, perspektiv vom Centrum O aus zu den entsprechenden Punkten auf gx, nämlich Mv dem unendlich fernen Punkt und G . Mithin

CO

liegen je zwei entsprechende Punkte von g und gx auf einem Strahle durch 0; insbesondere gehen AAx und -5_Z?j durch O. Ganz ebenso zeigt sich, daß CCx und BBx durch O gehen; die Vierecke ABCB und Ax£xCxBx befinden sich also in perspektiver Lage.

193.InFig.l36istnoch eine andere perspektive Lage angegeben; sie geht aus der vorigen hervor, wenn man das Viereck AxBxCxBx um die Perspektivitätsachse ex umklappt; hierbei ist O' das Centrum. Die Fig. 137

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bringt die beiden nocb fehlenden perspektiven Lagen; sie ergeben sich aus den Lagen in Fig. 136, wenn man das eine Viereck AxB^ CxBx um O und das andere Viereck AxBxCxl>x um (7 um 180° dreht. Im Raume sind nur zwei verschiedene Arten perspektiver Lagen der beiden Vierecke möglich. Sie werden erhalten, wenn man in Fig. 136 das Viereck AxBxC'xBx um die Achse ex, oder wenn man es in Fig. 137 um die Achse e\ aufdreht.

Harmonische Grundgebilde. Vierseit und Viereck.

194. Die einfachste Figur in der Ebene ist — vom Dreieck abgesehen — das Vierseit. Das vollständige Vierseit wird von vier Geraden a, b, c, d einer Ebene gebildet, deren sechs Schnittpunkte seine Ecken heißen. Diese gruppieren sich paarweise als Gegenecken, nämlich: a x b = E und c x d = F, a x e = G und b x d = H, a x d = K und b x c = J, so daß durch

jedes Paar alle vier Seiten gehen. Die Verbindungslinien je zweier Gegenecken werden Diagonalen genannt und bilden das Diagonaldreiseit (Fig. 138).

Die Ecken eines Vierseits und seines Diagonaldreiseits weisen eine charakteristische Lage zu einander auf, die sich bei jedem Vierseit wieder findet. Daraus folgt denn1 auch, daß diese charakteristische Lage durch irgend welche Parallel- oder Centralprojektion nicht zerstört werden kann, da eine solche ein Vierseit immer wieder in ein Vierseit verwandelt.

195. Betrachten wir zwei Diagonalen eines Vierseits, so trägt jede von ihnen vier Punkte, und die vier Punkte auf der einen liegen zu den vier Punkten auf der andern in doppelter Weise perspektiv. So sind GURT vom Centrum F aus perspektiv zu JKST, dagegen vom Centrum E aus perspektiv zu KJST. Nach 180 können somit auch die vier Punkte JKST zu den vier Punkten KJST in perspektive Lage gebracht werden, oder wie wir uns nach 189 kürzer ausdrücken: die Punkte JKST sind projektiv zu den Punkten KJST. Von vier Punkten JKST, welche diese besondere Eigenschaft besitzen, sagen wir, daß sie sich in harmonischer Lage befinden.

Wir sprechen also die Definition aus: Auf jeder Diagonale

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Fig. 138.

eines Vierseits liegen die beiden Ecken und die Schnittpunkte mit den beiden andern Diagonalen harmonisch.

196. Es läßt sich auch leicht die Umkehrung zeigen, daß vier Punkte JKST einer Geraden stets zwei Gegenecken und zwei Diagonalschnittpunkte eines Vierseits bilden können, falls JKST zu KJST projektiv ist. Zum Beweise ziehe man durch T eine beliebige Gerade und projiziere aus einem beliebigen Centrum F jene Punkte auf diese Gerade, so daß GURT zu JKST perspektiv liegen (Fig. 138). Wenn nun aber JKST und KJST projektiv sind, so sind nach 189 auch GHRT und KJST projektiv, und da in T zwei entsprechende Punkte zusammenfallen, so sind nach 178 die zweimal vier Punkte sogar perspektiv, d. h. GK, JH und RS schneiden sich in einem *^ Punkte E. Damit ist aber die erwähnte Umkehrung bewiesen.

197. Aus diesen Betrachtungen geht zugleich hervor, daß durch drei von den vier harmonischen Punkten der vierte mit bestimmt ist. Denn sind 3KT gegeben, so kann man wie vorher eine Gerade durch T und den Punkt F beliebig annehmen, dann ergeben sich G, H und E = JH x GK, und damit auch S= JKx EF.

Führen wir dieselbe Konstruktion zweimal aus, wie das in Fig. 139 geschehen ist, so gelangen wir von den Punkten JKT der Geraden l ausgehend immer zu dem nämlichen Punkte S, welcher sich in harmonischer Lage mit jenen drei Punkten befindet. Das giebt den Satz: Alle Vierseite, welche eine Diagonale und auf ihr zwei Eckpunkte und einen Diagonalschnittpunkt gemein haben, haben auch noch den andernDiagonalschnittpunkt auf ihr gemeinsam.

Man kann die Richtigkeit dieses Satzes auch leicht direkt erkennen, wenn man in Fig. 139 von den beiden Vierseiten mit der gemeinsamen Diagonalen l und den gemeinsamen Punkten JK und T das eine um l aufdreht. Dann sind die beiden Vierseite in perspektiver Lage im Raume. Denn zunächst gilt dies von den Drei

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Fig. 139.

ecken FGH und FxGxHx, deren entsprechende Seiten sich auf l schneiden; durch das zugehörige Centrum 0 gehen die Geraden i^, GGx und HHv Auch die Ebenen GKGx und HJHx enthalten den Punkt

0 und folglich geht auch ihre Schnittlinie EEx durch O. Die Geraden EEx und FFx liegen also in einer Ebene und diese schneidet

1 in einem Punkte S, durch welchen die beiden Geraden EF und ExFx hindurchgehen.

198. Nach dem Vorhergehenden könnte es scheinen, daß von vier harmonischen Punkten zwei eine andere Rolle spielen als die beiden übrigen, insofern zwei davon, etwa / und K, zwei Ecken

eines Vierseits, die beiden andern aber, etwa S und T, zwei Diagonalschnittpunkte desselben bilden. Daß dem nicht so ist, folgt daraus, daß man auch Vierseite konstruieren kann, welche S und T zu Ecken, dagegen J und K zu Diagonalschnittpunkten haben. Geht man nämlich von dem früheren Vierseit aus (Fig. 140) und zieht SG und SH, so liegen die Punkte P = SH x GK, Q = SG X JH und T in gerader Linie. Denn die Punkte JKST sind perspektiv zu den Punkten GHRT, und folglich sind die Strahlen EJ, EK, ES, ET nach 189 projektiv zu den Strahlen SG, SH, SR, ST. Die zweimal vier Strahlen sind aber sogar in perspektiver Lage, da die entsprechenden Strahlen ES und SR sich decken (vergl. 181); sonach liegen die Schnittpunkte entsprechender Strahlen, nämlich Q, P und 1, auf einer Geraden. Jetzt bilden die Geraden TILG, TPQ, SPH, SQG die Seiten eines Vierseits, dessen Diagonalen sich in E, K und J schneiden, womit unsere Behauptung erwiesen ist. Wir erkennen also den Satz: Vier Punkte in harmonischer Lage gruppieren sich in zwei Paare derart, daß jedes Paar die Ecken eines Vierseits bilden kann, welches das andere Paar zu Diagonalschnittpunkten hat.

Wenn man von vier Punkten ABCB nur aussagt, daß sie harmonisch liegen, so ist damit noch in keiner Weise festgelegt, wie sie sich in Paare gruppieren. Will man dieser Gruppierung Ausdruck verleihen, so sagt man: Das Punktepaar AB, oder die Strecke AB, wird durch das Punktepaar CB harmonisch geteilt. Dann wird nach den obigen Untersuchungen zugleich die Strecke CB durch die Punkte AB harmonisch geteilt.

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