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giebt es nach 177 eine Gerade e, welche die Strahlen ax, bx, cx, dx in einer Reihe Ä, B', C B' schneidet, die zur Reihe A2, B%, C2, B2 kongruent ist (vergl. auch 185). Nun verschiebe man den Büschel Sx nach S2 so, daß die auf seinen Strahlen liegenden Punkte Ä, B', C, B' mit der Reihe A2, B2, C2, B2 zur Deckung gelangen.

183. In zwei perspektiven Strahlbüscheln S und giebt es zwei einander entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen. Sie werden (vergl. 12) gefunden, indem man durch die Scheitel S und iSj einen Kreis mit dem Mittelpunkt auf der Perspektivitätsachse legt. Schneidet dieser die Achse in X und Y, so sind SX= x, SY=y und SxX = xv iSjZ=yj die gesuchten Rechtwinkelpaare(Fig. 130).

Aus dem vorigen Satz folgt weiter: Hat man in zwei perspektiven Strahlbüscheln die entsprechenden Rechtwinkelpaare bestimmt und bringt die Büschel in irgend eine andere perspektive Lage, so entsprechen sich die Schenkel der Rechtwinkelpaare auch in der neuen Lage.

184. Wir haben ferner den Satz: Sind zwei Strahlbüschel zu einem dritten perspektiv, so können sie zu einander in Perspektive gesetzt werden, indem man sie in Bezug auf eine und dieselbe Achse zum dritten Strahlbüschel perspektiv legt. Und weiter: Wenn zwei Strahlbüschel einerseits perspektiv gelegt und andererseits drei Strahlen des einen mit den entsprechenden des andern zur Deckung gebracht werden können, so sind sie kongruent.

185. An diese allgemeinen Sätze wollen wir noch einige besondere Bemerkungen anknüpfen, die weiterhin ihre Verwendung finden sollen. Schon in 177 haben wir gesehen, wie man perspektive Strahlbüschel in kongruenten Punktreihen schneiden kann. So sind in Fig. 128 die Punktreihen AxBxCxBx auf gx und ÄB'CB' auf g' kongruent. Aus dieser Figur erkennt man auch, daß zwei Strahlen durch Ox und O2, die zu gx und g2 resp. parallel laufen, Fig. 131.

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sich auf g schneiden und somit entsprechende Strahlen der Büschel Ox und O2 sind. Die Konstruktion kongruenter Schnitte aus perspektiven Büscheln folgt hieraus und ist in Figur 131 dargestellt. Der Büschel S wird von g in der Reihe ABCB geschnitten. Nun ziehe man im Büschel S den Strahl h parallel g und hierauf den entsprechenden Strahl Aj im Büschel Sv Die zu hx parallele Gerade g' schneidet dann den zweiten Büschel in der Punktreihe ÄB'C D', die zu der ersteren kongruent ist. Die Richtigkeit des Gesagten erhellt auch schon daraus, daß in kongruenten Punktreihen die unendlich fernen Punkte einander wechselseitig entsprechen. Es muß also in den Strahlbüscheln S und Sx entsprechende Strahlen h und Ax geben, die zu den Trägern g und g der kongruenten Schnitte parallel sind.

186. Von zwei perspektiven Strahlbüscheln kann jedes

als orthogonale Projektion des andern dargestellt werden. Da man insbesondere drei beliebige Strahlen abc eines Büschels mit drei beliebigen Strahlen ax bx cx eines zweiten in perspektive Lage bringen kann, ist zu zeigen, daß sowohl die ersteren als orthogonale Projektion der letzteren, als auch die letzteren als orthogonale Projektion der ersteren erhalten werden können. Um dies einzusehen, konstruieren wir zudie Schenkel der entsprechenden rechten Winkel xy und xxyx (Fig. 132), die sich in X und Y auf der

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Fig. 132.

nächst in den Büscheln S und S,

Perspektivitätsachse e schneiden. Nun ziehen wir zu y eine Parallele q, welche die Strahlen x und a in X' und Ä schneidet, und zu yx eine Parallele qv welche xx und ax in X" und A" trifft, doch so, daß X"A" = X'Ä wird. Dann liefern die Büschel S und <Sj auf q und resp. kongruente Punktreihen und wir können den Büschel S1 samt der Reihe qx derart verschieben, daß X"A" mit X'Ä zusammenfällt. Ist Z_ Xjöj > z_ xa, so ist X'S > folglich läßt sich die Ebene des Büschels S der Art um q drehen, daß die orthogonale Projektion von S mit der neuen Lage von Sx, zusammenfällt. Damit wird zugleich der Büschel mit dem Scheitel die orthogonale Projektion des Büschels mit dem Scheitel S.

Schneiden wir dagegen die Büschel S und Sx durch Parallele zu x und xx in kongruenten Reihen und bedenken, daß i_yxax< l_ya ist, so erkennen wir, daß nach geeigneter Verschiebung und Drehung der Büschel Sx als orthogonale Projektion von S erscheint.

187. Die seitherigen Betrachtungen können schließlich auch ausgedehnt werden auf die perspektive Lage von Ebenenbüscheln. Wir erwähnen die bezüglichen Ergebnisse hier der Vollständigkeit halber, obwohl wir uns für konstruktive Zwecke nur derjenigen Sätze zu bedienen brauchen, die sich auf Punktreihen und Strahlbüschel beziehen.

Zwei Ebenenbüschel mit den Achsen s und sx können stets in solche Lage gebracht werden, daß drei gegebene Ebenen A, B, T des einen mit drei beliebig gewählten Ebenen des anderen perspektiv liegen, d. h. so, daß ihre Schnittlinien einen Strahlbüschel bilden, dessen Träger als Perspektivitätsebene bezeichnet werden mag. Die Lage der Perspektivitätsebene gegen einen der beiden Büschel kann willkürlich angenommen werden. Schneidet nämlich diese Ebene die Ebenen A, B, T in dem Strahlbüschel abc, so hat man, um die perspektive Lage der Ebenenbüschel s und sx herzustellen, die Ebenen Aj( Bx, Tj in einem kongruenten Strahlbüschel zu schneiden und darauf dem Ebenenbüschel sx eine solche Lage zu geben, daß die kongruenten Strahlbüschel sich decken. Um aber den Ebenenbüschel Aj, Bx, Tj in einem zu abc kongruenten Büschel a'b'c zu schneiden, schneide man ihn zuerst normal zu seiner Achse sj in dem Büschel axb^ und stelle letzteren nach 186 als Orthogonalprojektion von db'c dar. (Vergl. die schiefe Ansicht in Fig. 133.)

188. Liegen vier Ebenen AB TA eines Büschels s perspektiv zu den vier Ebenen Ajb^jaj eines anderen Büschels J?j in Bezug auf die Perspektivitätsebene Ej? so kann man sie auch in Bezug auf jede andere Ebene E2 in perspektive Lage bringen, wobei die Lage von E2 gegen s Fig. 134.

Winkel in den beiden Strahlbüscheln, die von zwei zu den Achsen s und sx senkrechten Ebenen aus den Ebenenbüscheln ausgeschnitten werden.

Sind zwei Ebenenbüschel zu einem dritten perspektiv, so können sie zu einander in Perspektive gesetzt werden, indem man sie in Bezug auf eine und dieselbe Ebene zum dritten Ebenenbüschel perspektiv legt. Wenn zwei Ebenenbüschel einerseits perspektiv gelegt und andererseits drei Ebenen des einen mit den entsprechenden des andern zur Deckung gebracht werden können, so sind sie kongruent.

189. Zwei einförmige Grundgebilde (Punktreihen, Strahl- und Ebenenbüschel) nennt man projektiv, wenn sie in perspektive Lage gebracht werden können. So kann eine Punktreihe sowohl zu einer zweiten, als auch zu einem Strahl- oder Ebenenbüschel projektiv sein, u. s. f. Aus den Sätzen in 180, 184 und 188 folgt aber sofort der allgemeine Satz: Ist ein einförmiges Grundgebilde (Punktreihe, Strahl- oder Ebenenbüschel) zu einem zweiten projektiv und dieses wiederum zu einem dritten, das dritte zu einem vierten u. s. f., so ist auch das erste Gebilde zu dem letzten projektiv, d. h. die beiden können in perspektive Lage zu einander gebracht werden.

190. Sind die vier Punkte ABCB einer Reihe zu den vier Punkten AxBxCxBx einer anderen projektiv, so sind diese Punkte AxJBxCxBx auch zu den Punkten BABC oder CBAB oder BCBA projektiv. Bringen wir etwa die beiden

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Träger der Reihen in eine solche relative Lage zu einander, daß C mit Bx zusammenfällt (Fig. 134), dann werden die Strahlen AxA, AxB, AxC, AxB die Gerade BCx in vier Punkten A'B'CxB schneiden, die zu ABCB perspektiv sind. Ebenso wird diese Gerade von den Strahlen AAv ABv ACv ABx in vier Punkten A'B"CxB geschnitten, die zu AiBxCxBx perspektiv sind. Da aber ABCB und AxBxCxBx projektiv sind, so gilt Gleiches für A'B'C\B und A'B"CxB; deshalb muß nach 180 B' mit B" identisch sein. Von dem Centrum B' = B" liegen nun die Punkte BABC der Reihe nach perspektiv zu den Punkten AxBxCxBx; beide Reihen sind also auch projektiv. Ganz ebenso gestaltet sich der Beweis für die beiden andern oben genannten Reihenfolgen CBAB und BCBA.

Im Speziellen können die Reihen ABCB und AxBxCxBx kongruent sein. Dann folgt, daß die vier Reihen ABCB, BABC, CBAB und BCBA untereinander projektiv sind, also in perspektive Lage gebracht werden können.

191. Wir wenden uns jetzt wieder der Centralprojektion ebener Figuren zu, von der wir ausgegangen waren, um mit den gewonnenen Hilfsmitteln folgenden Satz zu beweisen.

Je zwei ebene Vierecke ABCB und AxBxCxBx können in perspektive Lage gebracht werden. — Wir weisen zunächst nach, daß dies in einer Ebene möglich ist. Wird dann das eine Fig' 135, Viereck um die Perspektivitätsachse gedreht, so ergeben sich perspektive Lagen der Vierecke im Raume.

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