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D1 nicht mehr willkürlich, hängt vielmehr von der Lage des Punktes D ab. Um D1 zu konstruieren, bringt man die Reihe A1, B1, C1

auf irgend eine Weise in perspektive Lage mit der Reihe A, B, C, dann liegt D, mit D auf einem Strahl durch das Centrum.

Am einfachsten kann das durch eine Verschiebung geschehen, die A, mit A zur Deckung bringt; dann ist 0= BB1 X CC1 das × zugehörige Centrum. Zwei Punkt

reihen liegen

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perspektiv, wenn sie zwei Punkte entsprechend gemein haben. Ferner folgt der Satz: Zwei Gerade g und g1 lassen sich nicht derart in perspektive Lage bringen, daß vier gegebenen Punkten der ersten Reihe vier beliebig gegebene Punkte der zweiten entsprechen.

179. Aus dem Vorhergehenden wollen wir noch folgende spezielle Folgerung ziehen. Liegen die Punkte A, B, C einer Geraden g perspektiv mit den Punkten A, B, C, einer Geraden g1 aus einem Punkte 0, und bestimmt man auf jeder Geraden den Gegenpunkt, also G, auf g und G auf g1 (OG||91 und OGg), so bleiben G und G die Gegenpunkte bei jeder Lage von g und g1, für welche 91 A, B, C mit A,, B1, C, perspektiv sind.

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180. Es ergeben sich auch die weiteren Sätze:

v

Sind zwei Punktreihen zu einer dritten perspektiv, so können sie zu einander in Perspektive gesetzt werden, indem man sie aus einem und demselben Centrum zur dritten Punkt

reihe perspektiv legt. Wenn zwei Punktreihen einerseits perspektiv gelegt und andererseits drei Punkte der einen. mit den entsprechenden der andern zur Deckung gebracht werden können, so sind sie kongruent. Denn in dieser letzteren Lage sind sie von jedem Punkte aus perspektiv, so daß je zwei entsprechende Punkte beider Reihen sich decken müssen.

181. Den Sätzen über die perspektive Lage von Punktreihen in 175-180 stehen analoge Sätze gegenüber, die sich auf Strahlbüschel beziehen.

Zwei Strahlbüschel S und S, können stets in solche Lage gebracht werden, daß drei gegebene Strahlen a, b, c des einen mit drei beliebig gewählten Strahlen a1, b1, c1 des andern perspektiv liegen, d. h. sich auf einer Geraden der Perspektivitätsachse - schneiden. Die Lage der Perspektivitätsachse gegen einen der Büschel kann dabei willkürlich angenommen werden. Schneidet nämlich diese Achse die Strahlen a, b, c resp. in A, B, C, so kann man den Büschel S1 so verschieben, daß seine Strahlen a1, b1, c1 resp. durch A, B, C hindurchgehen. Zu diesem Zweck schneide man den ursprünglichen Büschel S in einer Reihe A, B, C', die zu A, B, C kongruent ist (vergl. 175) und gebe ihm darauf eine solche Lage, daß A', B', C' mit A, B, C resp. zur Deckung gelangen.

Die einfachste Lösung freilich nicht die allgemeine

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er

giebt sich, wenn man zwei entsprechende Strahlen a und a1 zusammen fallen läßt; die Schnittpunkte b× b, und ex c, der andern Strahlenpaare ergeben dann die Perspektivitätsachse als ihre Verbindungslinie. Zwei Strahlbüschel liegen perspektiv, wenn sie zwei Strahlen entsprechend gemein haben.

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durch welche die bezüglichen Strahlen a, b, c, d des ersten Büschels und auch die entsprechenden Strahlen a, b, c, d, des zweiten hindurchgehen (Fig. 129). Ferner möge e, die Strahlen des ersten Büschels in den Punkten A2, B2, C2, D2 resp. schneiden. Dann

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2

giebt es nach 177 eine Gerade e', welche die Strahlen a1, b1, c1, d1 in einer Reihe A, B, C D' schneidet, die zur Reihe A2, B2, C2, Da kongruent ist (vergl. auch 185). Nun verschiebe man den Büschel S nach S2 so, daß die auf seinen Strahlen liegenden Punkte A, B, C, D' mit der Reihe A, B, C, D2 zur Deckung gelangen.

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183. In zwei perspektiven Strahlbüscheln S und S giebt es zwei einander entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen. Sie werden

(vergl. 12) gefunden, indem man durch die Scheitel S und S, einen Kreis mit dem Mittelpunkt auf der Perspektivitätsachse legt. Schneidet dieser die Achse in X und Y, so sind SX = x,

X=

SY=y und S, X = 1, S1Y = y1 die gesuchten Rechtwinkelpaare(Fig.130). Aus dem vorigen Satz folgt weiter: Hat man in zwei perspektiven Strahlbüscheln die entsprechenden Recht

S1

Fig. 130..

winkelpaare bestimmt und bringt die Büschel in irgend eine andere perspektive Lage, so entsprechen sich die Schenkel der Rechtwinkelpaare auch in der neuen Lage.

184. Wir haben ferner den Satz: Sind zwei Strahlbüschel zu einem dritten perspektiv, so können sie zu einander in Perspektive gesetzt werden, indem man sie in Bezug auf eine und dieselbe Achse zum dritten Strahlbüschel perspektiv legt. Und weiter: Wenn zwei Strahlbüschel einerseits perspektiv gelegt und andererseits drei Strahlen des einen mit den entsprechenden des andern zur Deckung gebracht werden. können, so sind sie kongruent.

185. An diese allgemeinen Sätze wollen wir noch einige besondere Bemerkungen anknüpfen, die weiterhin ihre Verwendung finden sollen. Schon in 177 haben wir gesehen, wie man perspektive Strahlbüschel in kongruenten Punktreihen schneiden kann. So sind in Fig. 128 die Punktreihen 4,B,C,D, auf 91 und A'B'C'D' auf g kongruent. Aus dieser Figur erkennt man auch, daß zwei Strahlen durch O1 und O2, die zu g1 und g2 resp. parallel laufen,

sich auf g schneiden und somit entsprechende Strahlen der Büschel 01 und 0 sind. Die Konstruktion kongruenter Schnitte aus perspek

2

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a

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tiven Büscheln folgt hieraus und ist in Figur 131 dargestellt. Der Büschel S wird von g in der Reihe ABCD geschnitten. Nun ziehe man im Büschel S den Strahl h parallel g und hierauf den entsprechenden Strahl h1 im Büschel S. Die zu h parallele Gerade g ́schneidet dann den zweiten Büschel in der Punktreihe A'B'C' D', die zu der ersteren kongruent ist. Die Richtigkeit des Gesagten erhellt auch schon daraus, daß in kongruen

ten Punktreihen die unendlich fernen Punkte einander wechselseitig entsprechen. Es muß also in den Strahlbüscheln S und S, entSentsprechende Strahlen h und h, geben, die zu den Trägern g und g' der kongruenten Schnitte parallel sind. 186. Von zwei perspektiven Strahlbüscheln kann jedes als orthogonale Projektion des andern dargestellt werden. Da man insbesondere drei beliebige Strahlen abc eines Büschels mit drei beliebigen Strahlen a, b, c, eines zweiten in perspektive Lage bringen kann, ist zu zeigen, daß sowohl die ersteren als orthogonale Projektion der letzteren, als auch die letzteren als orthogonale Projektion der ersteren erhalten werden können. Um dies einzusehen, konstruieren wir zu

X

αρ

A

A

X1

X"

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Fig. 132.

Y

e

nächst in den Büscheln S und S, die Schenkel der entsprechenden

rechten Winkel xy und x,y, (Fig. 132), die sich in X und Y auf der

Perspektivitätsachse e schneiden. Nun ziehen wir zu y eine Parallele q, welche die Strahlen x und a in X' und ' schneidet, und zu yı eine Parallele 919 welche X1 und a1 in X" und " trifft, doch so, daß X"A"=X'A' wird. Dann liefern die Büschel S und S1 auf und 91 resp. kongruente Punktreihen und wir können den Büschel S samt der Reihe q, derart verschieben, daß X"A" mit X'A' zusammenfällt. Ist x1a1> xa, so ist X'S > X"S1, folglich läßt sich die Ebene des Büschels S der Art um q drehen, daß die orthogonale Projektion von S mit S°, der neuen Lage von S1, zusammenfällt. Damit wird zugleich der Büschel mit dem Scheitel S, die orthogonale Projektion des Büschels mit dem Scheitel S.

1

0

Schneiden wir dagegen die Büschel S und S, durch Parallele zu x und x, in kongruenten Reihen und bedenken, daß y, a,<Lya X1 ist, so erkennen wir, daß nach geeigneter Verschiebung und Drehung der Büschel S, als orthogonale Projektion von S erscheint.

187. Die seitherigen Betrachtungen können schließlich auch ausgedehnt werden auf die perspektive Lage von Ebenenbüscheln. Wir erwähnen die bezüglichen Ergebnisse hier der Vollständigkeit halber, obwohl wir uns für konstruktive Zwecke nur derjenigen Sätze zu bedienen brauchen, die sich auf Punktreihen und Strahlbüschel beziehen.

$1

Zwei Ebenenbüschel mit den Achsen s und s1 können stets in solche Lage gebracht werden, daß drei gegebene Ebenen A, B, des einen mit drei beliebig gewählten Ebenen des anderen perspektiv liegen, d. h. so, daß ihre Schnittlinien einen Strahlbüschel bilden, dessen Träger als Perspektivitätsebene bezeichnet werden mag. Die Lage der Perspektivitätsebene gegen einen der beiden Büschel kann willkürlich angenommen werden. Schneidet nämlich diese Ebene die Ebenen A, B, F in dem Strahlbüschel abc, so hat man, um die perspektive Lage der Ebenenbüschel s und $1 herzustellen, die Ebenen A,, B1, г, in einem kongruenten Strahlbüschel zu schneiden und darauf dem Ebenenbüschel s1 eine solche Lage zu geben, daß die kongruenten Strahlbüschel sich decken. Um aber den Ebenenbüschel А1, B1, г1 in einem zu abc kongruenten Büschel a'b'c' zu schneiden, schneide man ihn zuerst normal zu seiner Achse $1 in dem Büschel a,b,c, und stelle letzteren nach 186 als Orthogonalprojektion von a'b'c' dar. (Vergl. die schiefe Ansicht in Fig. 133.) 188. Liegen vier Ebenen ABгA eines Büschels s perspektiv zu den vier Ebenen А, B112 eines anderen Büschels $1 in Bezug auf die Perspektivitätsebene E1, so

1

1

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