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auf den vorigen zurückgeführt, in dem man (Fig. 6) AB um die Strecke BE CD verlängert. Dem Parallelogramm BCDE entspricht nach ein affines Parallelogramm B,C,D,E,, wo BE1 = CD, die Verlängerung von 4B, bildet.

7. Umgekehrt sind zwei ebene Figuren affin und affin gelegen, wenn ihre Punkte und Geraden einander so entsprechen, daß die unter a), ẞ) und d) aufgeführten Eigenschaften erfüllt sind. Aus α) und folgt ), ebenso kann man aus a) und d) die Eigenschaft ) folgern. Denn sind A, B, C, (siehe Fig. 5) irgend drei Punkte der einen, A1, B1, C, die entsprechenden Punkte der andern Figur, so schneiden nach a) die Geraden BC, CA, AB ihre Bilder in Punkten P, Q, R der Schnittlinie a = ABC × Â1В1С1· Da ferner nach

8): RA: AB = RA1: A, B1 sein soll, so ist AA|| BB1, u. s. f.

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8. Es seien F, &1 und F2 drei Figuren, deren Ebenen E, E1 und E, sich in einer Geraden a schneiden; ferner gehe 2 aus und F1 aus, durch eine Parallelprojektion hervor. Dann ist auch eine Parallelprojektion von F, d. h. es besteht der Satz: Sind in Bezug auf eine und dieselbe Achse zwei ebene Figuren zu einer dritten affin und affin gelegen, so sind sie es auch zu einander. Es genügt den Satz für irgend zwei Punkte und. ihre beiderlei Bilder zu führen. Den Punkten A, B in F mögen A2, B2 in F2 und diesen A1, B1 in 1 entsprechen (Fig. 7). Die Geraden AB, AВ1, АВ2 schneiden sich in einem Punkte R auf a. Da aber zugleich AA2 || BB2 und à ̧1⁄2||В1В1⁄2 ist, so sind die Dreiecke 44,42 und BB, B, ähnlich und ähnlich gelegen (aus dem Ähnlichkeitscentrum R), folglich ist AA, BB,, u. s. f.

2 2

2

2

1

9. Wenn man die bisherigen Annahmen spezialisiert, indem man die Ebene E, als mit E zusammenfallend betrachtet, so gelangt man zu einer indirekten Definition affiner und affin gelegener Figuren und & in einer Ebene, nämlich durch Vermittelụng zweier nacheinander angewandter beliebiger Parallelprojektionen, welche zuerst in F2 und dann F2 in F, überführen. In der Folge wird die direkte Abhängigkeit zwischen Fund F, ohne Zuhilfenahme räumlicher Konstruktion untersucht. Der obige Satz läßt aber bereits erkennen, daß die Bedeutung der Affinitätsachse a als der Linie sich selbst entsprechender Punkte erhalten bleibt, sowie daß die Strahlen A1, BB1, u. s. w., die jetzt gleichfalls der Ebene E angehören, parallel sind; dagegen kann das Bild eines Punktes nicht mehr als Spur seines projizierenden Strahles in der Bildebene erklärt werden. Die Parallelprojektion in der Ebene bedarf also besonderer Erklärung, da die im Raume anwendbaren Operationen beim Übergang zu Gebilden einer Ebene aufhören einen bestimmten Sinn zu haben.

10. Wird eine ebene Figur um eine in ihrer Ebene enthaltene Achse gedreht, so beschreiben die Punkte der Figur Kreisbögen, deren Sehnen parallel sind. Mithin folgt aus obigem Satze als Korollar: Zwei affine und affingelegene ebene Figuren bleiben in affiner Lage, wenn eine von ihnen um die Affinitätsachse beliebig gedreht wird. Insbesondere kann hiernach für die betrachteten Figuren auf doppelte Art die affine Lage in einer Ebene herbeigeführt werden, indem man die Bildebene durch Drehung nach der einen oder der anderen Seite mit der Originalebene zur Deckung bringt. Dreht man umgekehrt von zwei in einer Ebene affingelegenen Figuren die eine beliebig um die Achse aus der Ebene heraus, so wird sie in der neuen Lage eine Parallelprojektion der anderen darstellen.

Affine und affingelegene Figuren einer Ebene.

11. Zufolge der im vorigen Abschnitt enthaltenen indirekten Definition müssen zwei Figuren und &, derselben Ebene, wenn zwischen ihnen Affinität bei affiner Lage bestehen soll, folgende Eigenschaften aufweisen:

a) Jeder Punkt der Affinitätsachse entspricht sich selbst. B) Den Punkten einer Geraden entsprechen wieder Punkte einer Geraden.

7) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind parallel.

Die hier aufgeführten Eigenschaften genügen, um zu einer Figur ihr affines und affin gelegenes Bild zu konstruieren, wenn die Affinitätsachse a und ein Paar entsprechender Punkte Pund P, gegeben sind. In der That kann zu jedem gegebenen Punkte Q der entsprechende Q, bestimmt werden, indem man (Fig. 8) S = PQ × a sucht und SP1 mit der durch Q

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gelegten Parallelen zu PP, in Q, schneidet. Das Bild einer Geraden g ergiebt sich, indem man zu einem ihrer Punkte Q den Bildpunkt Q1 zeichnet und diesen mit Tgx a verbindet.

Die Figur läßt auch erkennen, daß parallelen Geraden PU und QT der einen Figur parallele Bilder PU und Q1T in von g zu erhalten, kann

der anderen entsprechen. Um das Bild g, man deshalb PU||g zeichnen, dann PU und g1|| P1U durch den Punkt gxa 7 ziehen.

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Finden die unter «), B) und y aufgezählten Beziehungen zwischen zwei Figuren und F, statt, so wird, durch eine beliebige Drehung um die Affinitätsachse a in eine räumliche Lage 2 übergeführt, bei welcher sie eine Parallelprojektion von & darstellt. Sind A, B zwei beliebige Punkte von F, A, B, resp. 42, B2 die entsprechenden Punkte von 1 resp. F2, so ist nur zu zeigen, daß BB || AA, ist. Aber es ist einerseits 44 || BB, und andererseits AABB2, als Sehnen der von 4, und B, bei der Drehung beschriebenen Bogen. Es schneiden sich ferner AB und A,B, in einem Punkt R der Achse a, durch diesen geht dann auch A,B,; denn 4В1 und В liegen in einer Ebene, da А11⁄2 || B1 B2 ist. Somit liegen die Dreiecke AÂ ̧Â1⁄2 und BBÎÂ1⁄2 vom Centrum R aus ähnlich, so daß auch AA|| BB2 sein muß.

2

2 2

1 2

2

2

Eine Folge hiervon sind die Sätze:

1

1 2

1

d) Parallelen Geraden entsprechen in der affinen Figur wieder parallele Gerade.

ε) Parallele Strecken verhalten sich wie ihre affinen Bilder.

12. Die Konstruktion der entsprechenden rechten Winkel an zwei affinen Punkten P und P1 erfolgt (Fig. 9) mit Hilfe eines Kreises durch P und P1, dessen Centrum M der Affinitätsachse a angehört. Schneidet dieser a in den Punkten X und Y, so sind. XPY und XP Y die ge

suchten rechten Winkel. Ist P der in Bezug auf a zu P1 symmetrische Punkt, so ist. L P1PY = LPPY, weil die Bogen P1Y und PY gleich sind; der Strahl PY halbiert den ▲ P1PP', PX den Nebenwinkel. Diese Bemerkung kann zur Konstruktion der Rechtwinkelstrahlen dienen, falls etwa M ausserhalb der Zeichnungsfläche liegt. Symmetrisch zu PX (oder PY) gelegenen Punk

M

R

Fig. 9.

ten, z. B. Q und R, entsprechen symmetrisch zu P1X (oder P1Y) gelegene Punkte Q1 und R1.

13. Es giebt auch an P und P1 entsprechende, gleiche Winkel von jeder gegebenen Größe, die man in fol

gender Weise kon

struiert. Wir gehen von dem Fall aus, wo P und P auf derselben Seite der Affinitätsachse liegen (Fig. 10). Sei Q die Mitte von PP, und QR PP, während Rauf a liegt. Dann ist ein Kreis & durch P und P1, also mit dem Centrum M auf QR, so zu bestimmen, daß XPY =

=

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▲ XP, Y = q und somit MXY = R− q wird ( XMY=2q), wenn X und Y die Achsenschnittpunkte von k sind. Zieht man aus einem beliebig auf QR angenommenen Punkte M' den Strahl M'X' unter dem Winkel R gegen a und beschreibt um M' einen Kreis k' durch X',

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so ist R das Ähnlichkeitscentrum für die Kreise k und k'. Man findet daher M, indem man RP, mit k' in P' schneidet und P1M||P1'M' zieht. Da RP, den Kreis k' in zwei Punkten schneidet, so giebt es zwei Lösungen, in der Figur ist jedoch nur eine gezeichnet. Werden die gegebenen affinen Punkte durch die Achse von einander getrennt, wie P und P,, so betrachte man statt des letzteren den symmetrisch zur Achse gelegenen Punkt P1; dann ist XPY = ≤ XP1Y.

14. Für jede Größe und Lage der Strecke PQ auf einer Geraden g hat, wenn PQ, die entsprechende Strecke auf der affinen Geraden g, ist, (nach 6) das Verhältnis:

1

λ = PQ : P1Q1

einen konstanten Wert, der sich auch nicht ändert, wenn g und damit zugleich g1 eine Parallelverschiebung erfährt. Zu jeder gegebenen Richtung (und der affinen) gehört also ein festes Streckenverhältnis 2. Dagegen entsprechen verschiedenen Richtungen verschiedene Werte λ; dabei sind die Richtungen, welche durch die Schenkel der entsprechenden rechten Winkel gegeben sind, vor allen übrigen ausgezeichnet. Dreht sich eine Gerade g (mithin zugleich die affine g,) um einen ihrer Punkte, so nimmt das ihrer Richtung zugehörige Streckenverhältnis 2 in jedem der von den affinen Rechtwinkelstrahlen gebildeten Quadranten entweder beständig zu oder beständig ab, erreicht für symmetrische Lagen zu jenen Strahlen gleiche

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Es seien, um dies zu beweisen, XPY und ≤ XP, Y affine rechte Winkel (Fig. 11), ferner U und Virgend zwei aufeinander folgende Lagen eines von I nach Y auf der Affinitätsachse fortschreitenden Punktes. Wir wählen nun die Strecke XY als Maßeinheit, setzen XU = k, XV = 1, UY = m, VY= n und = UY=m, bezeichnen mit x, u, v, y resp.

x1, u1, v1, y1 die von den Punkten X, U, V, Y einerseits und von P resp. P1 andererseits begrenzten affinen Strecken. Sind nun PUU, PVV', P1UU", P ̧VV" rechtwinklige Dreiecke, so folgen die Relationen:

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