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Die hier aufgeführten Eigenschaften genügen, um zu einer Figur ihr affines und affin gelegenes Bild zu konstruieren, wenn die Affinitätsachse a und ein Paar entsprechender Punkte Pund Px gegeben sind. In der That kann zu jedem gegebenen Punkte Q der entsprechende Qx bestimmt werden, indem man (Fig. 8) S = PQ x a sucht und SPx mit der durch Q

gelegten Parallelen zu PPx in Qx schneidet. Das Bild einer Geraden g ergiebt sich, indem man zu einem ihrer Punkte Q den Bildpunkt Qx zeichnet und diesen mit T = g x a verbindet.

Die Figur läßt auch erkennen, daß parallelen Geraden PL' und QT der einen Figur parallele Bilder PxU und qxT in der anderen entsprechen. Um das Bild gx von g zu erhalten, kann man deshalb PU\\g zeichnen, dann PxU und gx\\PxU durch den Punkt g x a = T ziehen.

Finden die unter «), ß) und y aufgezählten Beziehungen zwischen zwei Figuren % und gx statt, so wird %x durch eine beliebige Drehung um die Affinitätsachse a in eine räumliche Lage %2 übergeführt, bei welcher sie eine Parallelprojektion von g darstellt. Sind A, B zwei beliebige Punkte von %, Av Bx resp. A2, B2 die entsprechenden Punkte von gj resp. g2, so ist nur zu zeigen, daß BB2 [| AA2 ist. Aber es ist einerseits AAx || BBx und andererseits AxA2|| BxB2, als Sehnen der von Ax und Bx bei der Drehung beschriebenen Bogen. Es schneiden sich ferner AB und AxBx in einem Punkt R der Achse a, durch diesen geht dann auch A2B2\ denn AxBx und A2B2 liegen in einer Ebene, da AiA2 || BxB2 ist. Somit liegen die Dreiecke AAxA2 und BBxB2 vom Centrum R aus ähnlich, so daß auch AA2 \\ BB2 sein muß.

Eine Folge hiervon sind die Sätze:

S) Parallelen Geraden entsprechen in der affinen Figur

wieder parallele Gerade. s) Parallele Strecken verhalten sich wie ihre affinen

Bilder.

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12. Die Konstruktion der entsprechenden rechten Winkel an zwei affinen Punkten P und Px erfolgt (Fig. 9) mit Hilfe eines Kreises durch P und Pv dessen Centrum M der Affinitätsachse a angehört. Schneidet dieser a in den Punkten X und Y, so sind l_XPY und L_ IPxT die gesuchten rechten Winkel. Ist Jpj' der in Bezug auf a zu Px symmetrische Punkt, so ist L_ PxPY = L. P^PY, weil die Bogen PxY und P^Y gleich sind; der Strahl PY halbiert den i_ PxPP;. PX den Nebenwinkel. Diese Bemerkung kann zur Konstruktion der Rechtvinkelstrahlen dienen, falls etwa M ausserhalb der Zeichnungsfiäche liegt. — Symmetrisch zu PX (oder PY) gelegenen Punkten, z. B. Q und R, entsprechen symmetrisch zu PxX (oder Px Y) gelegene Punkte Qx und Är

13; Es giebt auch an P und Px entsprechende, gleiche Winkel von jeder gegebenen Größe cp, die man in folgender Weise kon- *_ struiert. Wir gehen von dem Fall aus, wo P und auf derselben Seite der Affinitätsachse liegen (Fig. 10). Sei Q die Mitte von PPj und QR J_ PPv während R auf a liegt. Dann ist'ein Kreis h durch P und Pj, also mit dem Centrum M auf QR, so zu bestimmen, daß i_XPY' =

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Fig. 10.

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so ist R das Ähnlichkeitscentrum für die Kreise k und k'. Man findet daher Mx indem man PPj mit K in Pj' schneidet und P^WP^M' zieht. Da -ÄPj den Kreis h' in zwei Punkten schneidet, so giebt es zwei Lösungen, in der Figur ist jedoch nur eine gezeichnet. Werden die gegebenen affinen Punkte durch die Achse von einander getrennt, wie P und Pv so betrachte man statt des letzteren den symmetrisch zur Achse gelegenen Punkt Px; dann ist i_ XP2 Y = i_ XPx Y.

14. Für jede Größe- und Lage der Strecke PQ auf einer Geraden g hat, wenn PxQx die entsprechende Strecke auf der affinen Geraden <jx ist, (nach 6) das Verhältnis:

l = PQ:PxQx

einen konstanten Wert, der sich auch nicht ändert, wenn g und damit zugleich gx eine Parallelverschiebung erfährt. Zu jeder gegebenen Richtung (und der affinen) gehört also ein festes Streckenverhältnis 1. Dagegen entsprechen verschiedenen Richtungen verschiedene Werte l; dabei sind die Richtungen, welche durch die Schenkel der entsprechenden rechten Winkel gegeben sind, vor allen übrigen ausgezeichnet. Dreht sich eine Gerade g (mithin zugleich die affine ^j) um einen ihrer Punkte, so nimmt das ihrer Richtung zugehörige Streckenverhältnis l in jedem der von den affinen Rechtwinkelstrahlen gebildeten Quadranten entweder beständig zu oder beständig ab, erreicht für symmetrische Lagen zu jenen Strahlen gleiche

Werte und auf denselben ein Maximum resp. Minimum.

Es seieD, um dies zu beweisen, i_ XPY und L. XPxY affine rechte Winkel (Fig. 11), ferner V und Nirgend zwei aufeinander folgende Lagen eines von X nach Y auf der Affinitätsachse fortschreitenden Punktes. Wir währen nun die Strecke XY als Maßeinheit, setzen XU = k, XV=l, UY=m, VY=n und bezeichnen mit x, u, v, y resp. xi, Hj, vx, yx die von den Punkten X, U, V, Y einerseits und von P resp. Pj andererseits begrenzten affinen Strecken. Sind nun PUU', PVV, PxUU",PxVV" rechtwinklige Dreiecke, so folgen die Relationen:

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W2 = m2x2 + k2y2, v2 = n2x2 + l2y2,
Ux2 = m2x2 + k2y2, v2 = n2x2 + l2y^\

denn es ist: UY-.XY=m, U'P:YP = UX:YX=k, u. s. f.
Es ist jetzt zu zeigen daß unter der Voraussetzung:

ar>(fr

die Beziehung:

besteht. Letzterer geben wir die neue Form:

(mV + k2y2){n2x2 + l\2) - {n2x2 + lhj2){n2x2 + k'%2) > o, und diese reduziert sich auf die Ungleichung:

(l2m2 - k2n2){x2y2 x^y2) > o,

welche mit der Voraussetzung zusammenfällt, da (l2m2 kV) positiv ist .

Die Ellipse als affine Kurve zum Kreise und ihre Konstruktion.

15. Jede zu einem Kreise affine und affin gelegene Kurve heißt Ellipse; so ist jede Parallelprojektion des Kreises eine Ellipse. Dem Mittelpunkt M des Kreises k (Fig. 12) entspricht der Mittelpunkt Mx der zum Kreise affinen Ellipse Ar Jedem Kreisdurchmesser entspricht ein Durchmesser der Ellipse, der von ihrem Mittelpunkt Mx halbiert wird. Zwei schiefwinklige Durchmesser P^', der Ellipse heißen konjugiert, wenn sie zu zwei recht- 12winkligen Kreisdurchmessern PP, QQ' affin sind. Von zwei konjugierten Durchmessern einer Ellipse halbiert jeder dia

Röhn U. Papperitz. I. 2. Aufl. 2

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zum andern parallelen Sehnen und geht durch die Berührungspunkte der zum andern parallelen Tangenten. Denn das Gleiche ist bei den rechtwinkligen Durchmessern des affinen Kreises der Fall.

Dabei ist allerdings die zu einer Kreistangente affine Gerade als Ellipsentangente bezeichnet. Die Berechtigung hierzu erhellt aus der folgenden Überlegung. Wie jede Gerade g mit dem Kreise k zwei getrennte, zwei vereinte, oder keinen Schnittpunkt gemein hat, so hat auch jede Gerade gx mit der Ellipse Aj wegen der Affinität zwei getrennte, zwei vereinte oder keinen Schnittpunkt gemein. Eine Kreistangente QT hat mit seiner Peripherie nur einen Punkt gemein und liegt ganz außerhalb derselben; das Gleiche tritt für die affine Gerade in Bezug auf die Ellipse ein, und deshalb legen wir ihr die Bezeichnung einer Ellipsentangente bei (zum Unterschiede von den Sehnen). Man kann auch die Tangenten in Q resp. Qx aus den Sehnen QS resp. QxSx durch Drehung um Q resp. Qi hervorgehen lassen, wobei Sx in demselben Moment mit Qx zusammenfällt, wo dies S mit Q thut. Hier geht der Berührungspunkt der Tangente aus der Vereinigung zweier Schnittpunkte hervor.

Die zu einander rechtwinkligen Durchmesser A1Ax' und der Ellipse, welche gleichfalls rechtwinkligen Durchmessern^' undBB' des Kreises entsprechen, heißen Achsen, ihre Endpunkte Scheitel. Die Achsen teilen die Ellipse in symmetrische Quadranten,

B 16. Aus einem Kreise

lassen sich durch Affinität (oder Parallelprojektion) unendlich viele Ellipsen ableiten, indem man noch die Affinitätsachse und den Mittel

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Aus der gegebenen Definition ergeben sich Konstruktionen für Punkte, Tangenten, Achsen und konjugierte Durchmesser der Ellipse.

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