0 0' 1 0 binden wir D11 × e̟1 mit Α und D1B1 × e̟, mit B; beide Gerade schneiden sich im Punkte D von F, woraus man durch Drehung D erhält. Wiederum liegen die vier Punkte  ̧ ̧ ̧, resp. В ̧Ð1⁄2Ð ̧Ð ̧ resp. 4‚Ð ̧Ð ̧ je in einer Ebene und die drei Strahlen 4,4, B1B und DD laufen durch einen Punkt. Da aber 4, 4, × B1B2 = 0% ist, geht auch D1D durch diesen Punkt hindurch, d. h. der beliebige Punkt D1 von F1 liegt mit dem entsprechenden Punkte D, von Fo auf einem Strahle durch O. Beide Figuren F1 und Fo sind somit perspektiv aus dem Punkte O.. 1 168. Wir hatten in 164 gesehen, wie man aus zwei perspektiv gelegenen Figuren, die sich in verschiedenen Ebenen befinden, durch Drehung zwei centrisch-kollineare oder perspektive Figuren einer Ebene erhalten kann. Dieser Übergang gestattet auch die Eigenschaften centrisch-kollinearer oder perspektiver Figuren einer Ebene abzuleiten. Es müssen sich diese Eigenschaften jedoch auch aus der Definition der Centralkollineation ergeben, und dieser Gedanke soll noch mit wenigen Worten etwas näher ausgeführt werden (Fig. 125). Zunächst ist klar, daß das Centrum 0, die Achse e und ein Paar entsprechender Punkte A und A,, die auf einem Strahle durch O liegen, die perspektive Beziehung in der Ebene völlig bestimmen. Zu einem beliebigen Punkte B erhält man ja das zugehörige Bild B1, indem man AB=g mit e1 in G, schneidet und die Gerade G141 = 91 zieht, auf welcher der Strahl OB dann den Bild 1 punkt B1 ausschneidet. Zieht man durch O einen Strahl parallel zu g, so schneidet er die Bildgerade g1 im Fluchtpunkt G dem Bilde des unendlich fernen Punktes von g. Zieht man durch O einen Strahl parallel zu g1, so schneidet er auf g den Verschwindungspunkt G, aus, dem ein unendlich fernes Bild zugehört. Mit anderen Worten: Das Bild einer Geraden g geht durch ihren Achsenschnittpunkt G, und ist zur Verbindungslinie GO ihres Ver schwindungspunktes mit dem Centrum parallel. Ebenso geht das Original zu einer Geraden g, durch ihren Achsenschnittpunkt G1 und ist zur Verbindungslinie GO ihres Fluchtpunktes mit dem Centrum parallel. ∞ 169. Ferner ergiebt sich, daß die Fluchtpunkte auf allen Bildgeraden durch eine Gerade e ausgeschnitten werden, die zur Achse e, parallel ist. Ebenso schneidet eine zur Achse parallele Gerade ev auf allen Originalgeraden die Verschwindungspunkte aus. Die Gerade e heißt wieder Fluchtlinie und ist das Bild der unendlich fernen Geraden des Originalsystems, während der unendlich fernen Geraden im Bildsystem die Gerade e, als Verschwindungslinie entspricht. Zum Beweise wähle man noch ein Paar entsprechender Geraden h und h1 (Fig. 125), die sich in einem Punkte H1 der Achse e, schneiden, und suche wie vorher den Verschwindungspunkt H, und den Fluchtpunkt H(OH ||h, OH || h1). Dann sind die Dreiecke AG14, und AGO ähnlich; also: GA: G„A = A1A: OA; ebenso kommt: H1A: H ̧  ̧Â:04; demnach müssen G1H1 = e1 und G.H e, parallel sein, da sie auf g und h proportionale Stücke abschneiden. In gleicher Weise erschließt man den Parallelismus von e ∞ = und 1. = 1 Die Verschwindungslinie e, und die Fluchtlinie e werden auch als die Gegenachsen von Original und Bild bezeichnet; ebenso spricht man von den Gegenpunkten G, und G einer Geraden und ihres Bildes. 170. Es mag noch erwähnt werden, daß die Perspektive in der Ebene auch durch Angabe des Centrums, der Achse und einer Gegenachse bestimmt ist. Denn indem man an Stelle zweier entsprechender Punkte eine Gegenachse einführt, wird ihrem Schnittpunkt mit irgend einer Geraden der Punkt zugeordnet, welcher auf der Verbindungslinie des ersteren mit dem Centrum unendlich fern liegt. 171. Wichtig für das Folgende sind die beiden unmittelbar aus der Fig. 125 zu entnehmenden Beziehungen: Das Bild einer Geraden schneidet die Fluchtlinie unter dem gleichen Winkel, wie der Strahl aus dem Centrum nach dem Verschwindungspunkt die Verschwindungslinie, und andererseits: Eine Gerade schneidet die Verschwindungslinie unter dem gleichen Winkel y, wie der Strahl aus dem Centrum nach dem Fluchtpunkt die Fluchtlinie. Perspektive Grundgebilde. Wir erklären zunächst einige öfter wiederkehrende Benennungen. 172. Faßt man eine Gerade als ein aus Punkten bestehendes Gebilde auf, so legt man ihm dem Namen Punktreihe bei und nennt die Gerade den Träger der Punktreihe. Von Geraden, die in einer Ebene liegen und durch einen Punkt derselben gehen, sagt man, daß sie einen Strahlbüschel bilden; der gemeinsame Punkt heißt der Scheitel und die Ebene der Träger desselben. Ähnlich sagt man von Ebenen, die eine gemeinsame Gerade enthalten, daß sie einen Ebenenbüschel bilden und nennt diese Gerade seine Achse. - Die Punktreihe, der Strahlbüschel und der Ebenenbüschel sind die einfachsten Grundgebilde, die man aus Punkten, Geraden oder Ebenen als Elementen zusammensetzen kann. In ihnen ist das einzelne Element jedesmal durch eine einzige Bedingung bestimmbar (vergl. 210), weshalb sie auch als einförmige Grundgebilde bezeichnet werden. 173. Eine Punktreihe wird aus einem außerhalb gelegenen Punkte durch einen Strahlbüschel projiziert, ebenso ein Strahlbüschel durch einen Ebenenbüschel. Umgekehrt wird jeder Ebenenbüschel von einer nicht in ihm enthaltenen Ebene in einem Strahlbüschel und von einer Geraden in einer Punktreihe geschnitten. Zwei Punktreihen bezeichnen wir als perspektiv, wenn sie Schnitte des nämlichen Strahlbüschels sind. Ebenso heißen zwei Strahlbüschel perspektiv, wenn sie Schnitte desselben Ebenenbüschels sind, oder wenn sie eine und dieselbe Punktreihe aus zwei verschiedenen Centren projizieren. Endlich werden zwei Ebenenbüschel perspektiv genannt, wenn sie einen und denselben Strahlbüschel aus verschiedenen Centren projizieren. Auch von einer Punktreihe und einem Strahlbüschel, oder von einer Punktreihe und einem Ebenenbüschel, oder einem Strahl- und einem Ebenenbüschel sagt man, daß sie perspektiv seien, wenn die Elemente des einen Gebildes auf den entsprechenden Elementen des andern liegen. Es gilt jetzt eine Reihe von Sätzen abzuleiten, die sich auf die erwähnten einfachen Grundgebilde beziehen und für die Projektionslehre von grundlegender Bedeutung sind. Wir dürfen uns dabei größtenteils auf die Betrachtung von Punktreihen beschränken, da die Übertragung der betreffenden Sätze auf Strahl- und Ebenenbüschel keiner Schwierigkeit unterliegt. 174. Wir gehen aus von zwei durch Centralprojektion Punkt für Punkt aufeinander bezogenen Geraden g und g1 (Fig. 126). Auf ihnen ist der Schnittpunkt beider G1 als der sich selbst entsprechende Punkt ausgezeichnet, ferner auf 91 der Fluchtpunkt G, das Bild Das Centrum O darf daher beliebig auf einer um G, mit dem Radius G1G beschriebenen Kugel angenommen werden, worauf sich die Lage von g1 ergiebt. = Sollen zwei Punktreihen g und g, sich in perspektive Lage bringen lassen, so fragt es sich, zu wieviel Punkten der einen die entsprechenden Punkte der anderen willkürlich gewählt werden können. Hierüber geben die nächsten Sätze weiteren Aufschluss. 175. Eine Gerade g, kann zu einer anderen g stets in solche Lage gebracht werden, daß drei gegebene Punkte A, B, C der letzteren mit drei beliebig gegebenen Punkten A, B, C, der ersteren perspektiv sind. Vereinigt man z. B. zwei entsprechende Punkte C und C, durch geeignete Verschiebung der Geraden in einem Punkte G1, so bestimmen die Verbindungslinien AA, und BB, der übrigen das Projektionscentrum O als ihren Schnittpunkt. Dies Beispiel giebt indes nicht die allgemeinste Art der Herstellung der im Satz geforderten Lage. Vielmehr kann man noch die Lage des Centrums O gegen eine der Geraden, etwa g, willkürlich fixieren. Dann kann man der Geraden g1 stets eine solche Lage geben, daß ihre Punkte A, B, C, sich auf den entsprechenden Strahlen OA, OB, OC befinden. Es gilt nämlich der Satz: Eine Punktreihe und ein Strahlbüschel lassen sich stets in solche Lage bringen, daß drei gegebene Strahlen a, b, c des Büschels durch drei beliebig gegebene Punkte. A, B, C der Reihe gehen. Um diese Lage herzustellen, lege man ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl. 10 BL b B A Fig. 127. B A = Β' = 1 = zunächst die Reihe A, B, C derart auf den Strahl a, daß C mit dem Scheitel des Büschels zusammenfällt, bestimme dann B1 auf b, indem man BB1||c macht, und ziehe die Gerade AB1, welche c in C, schneidet (Fig. 127). Nun ist C1A: B1A = CA: BA; legt man also zu AB, C, eine Parallele, welche die Strahlen a, b, c in A', B', C' respektive schneidet, so hat man: CA: BA C'A': B'A'. Sorgt man noch dafür, daß C'A' = CA wird, indem man AK AC macht und KC || a zieht, so wird auch B'A' BA; die Reihe läßt sich somit so verschieben, daß ihre Punkte A, B, C mit den Punkten A', B', C' zur Deckung kommen. 176. Wie wir sahen, brauchen drei Punkte einer Geraden keinerlei Bedingung zu erfüllen, damit man sie mit drei gegebenen Punkten einer anderen Geraden in perspektive Lage bringen kann. Dagegen müssen vier Punkte auf 91 eine gewisse besondere Lage haben, damit sie zu vier gegebenen Punkten von g perspektiv gelegt werden können. Dies erhellt aus folgendem Satze: Liegen die vier Punkte A, B, C, D der Geraden g perspektiv zu den vier Punkten A, B, C, D, der Geraden g, vom Centrum 91 vom Centrum O̟1 aus, so kann man sie auch von jedem anderen Centrum O2 aus in perspektive Lage bringen, wobei die Lage von O2 gegen g willkürlich fixiert werden darf. 177. Die Punktreihen A, B, C, D und A,, B1, C1, D1 auf g und 91 seien ursprünglich durch Centralprojektion aus dem Centrum O aufeinander bezogen (Fig. 128). Es werde nun im Raume beliebig ein neues Centrum O, gegeben und die in der Ebene E1 = 0,g liegende Figur auf die Ebene E2 O, g in der Richtung 0,02 projiziert. Dann ist die Gerade g2 die Projektion von g1 und ihre Schnittpunkte A2, B2, C2, D2 mit den Strahlen aus O, sind die Projektionen der Punkte A, B1, C1, D. Zugleich gilt die Relation: 4, B1: B, C1: CD1 = A2B2: B2С2: C2 D2 = A'B': B'C': C'D', wenn g' parallel zu 2 gezogen wird und die Strahlen aus O2 in den Punkten A', B', C', D' schneidet. Richtet man es zugleich so ein, daß A'B' AB1 wird, so wird auch B'C' BC, und C'D' C1D1. Man kann also die Punktreihe 2 = 1 1 2 2 2 = = 2 1 A1, B1, C1, D1 mit der Reihe A', B′, C', D′ zur Deckung bringen und dann liegt sie aus dem Centrum 0, perspektiv zur Reihe A, B, C, D. 178. Diese neue perspektive Lage wird aber nach 175 schon durch die Wahl der drei Punkte A, B, C, bestimmt; demnach ist |