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lage OG, die durch O parallel zu g gezogen ist. Der Spurpunkt G dieser Geraden in П liegt auf e; er kann als das Bild des auf 9 ins Unendliche fliehenden Punktes aufgefaßt werden und heißt darum der zu g gehörige Fluchtpunkt. Offenbar gehört er ebenso als Fluchtpunkt zu allen Geraden, die mit g parallel laufen; denn flieht ein Punkt auf einer solchen Parallelen ins Unendliche, so strebt der zugehörige projizierende Strahl stets der gleichen Grenzlage OG zu. Der Gesamtheit aller unendlich fernen Punkte der Ebene E entspricht in П die eine bestimmte Gerade e, die Fluchtlinie der Ebene E. Umgekehrt verschwindet das Bild des Schnittpunktes G, der Geraden g mit e,, d. h. es liegt auf 91 unendlich fern; G, heißt darum der Verschwindungspunkt von g. Die Gerade e selbst, deren Bild ins Unendliche fällt, heißt die Verschwindungslinie der Ebene E. Allen zu g parallelen Geraden der Ebene E entsprechen in П alle Gerade durch den Punkt G der Fluchtlinie e und allen Geraden der Ebene E durch den Punkt G. der Verschwindungslinie e, entsprechen in П die Parallelen zu g1.

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160. Das angegebene Verhalten der unendlich fernen Punkte einer Geraden oder einer Ebene gegenüber der Centralprojektion, nämlich der Umstand, daß sie nur in einem einzigen Punkt oder einer einzigen Geraden abgebildet werden, begründet die Ausdrucksweise, nach welcher einer Geraden nur ein unendlich ferner Punkt (Richtung) zugeschrieben wird, den sie mit allen parallelen Geraden gemein hat, und einer Ebene nur eine unendlich ferne Gerade (Stellung), die ihr mit allen Parallelebenen gemeinsam ist. Erst auf Grund dieser Erklärung dürfen wir das umkehrbar eindeutige Entsprechen zwischen den Punkten und Geraden der Originalebene und den Punkten und Geraden der Bildebene als ein ausnahmslos geltendes Grundgesetz der Centralprojektion betrachten. Im Verfolg dieser perspektiven Betrachtungsweise hat man eine Gerade als geschlossene Linie aufzufassen, weil ein Punkt, der sie beschreibt, sich demselben unendlich fernen Punkte nähert, gleich viel in welchem Sinne er sich bewegt.

161. Für die Centralprojektion von E auf П kann, wenn die Lage dieser Ebenen zu einander fixiert ist, die Angabe des Projektionscentrums O offenbar durch die zweier entsprechender Punktepaare A, B und Д, B1 ersetzt werden, deren Verbindungslinien AB und AB, sich auf der Achse e, EX π

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schneiden. Es liegen dann A1 und BB1 in einer Ebene und bestimmen O als ihren Schnittpunkt.

162. Gehen die Ebenen dreier Figuren F, F1, F2 durch eine und dieselbe Achse e, und sind zwei derselben & und F1 zur dritten F2 perspektiv, so sind sie es auch untereinander. Die drei Centren liegen in gerader Linie. Die Perspektivitätscentren, O, für F, und & sowie 0, für 3 und 1,

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denke man sich mittels eines Punktepaares, B2 und der ihm entsprechenden Paare A, B und 4, B, bestimmt (Fig. 123). Dann ist zu zeigen: erstens daß die Geraden A4, und BB, einen Schnittpunkt O bestimmen, zweitens daß auch die Gerade CC, durch O geht, wenn dem beliebigen Punkte C2 von F2 die Punkte C1 von 1 und C von entsprechen. Nun gehen durch den Schnittpunkt von A, B, und AB2 e1 auch die Geraden AB und AB1 und somit liegen auch AA, und BB, in einer Ebene und schneiden sich in einem Punkte O. Ganz ebenso gehen AC und 411 durch den Schnitt

punkt von A,C, und e1, es müssen sich also auch A1 und CC1 schneiden, und in gleicher Weise schließt man, daß BB1 und CC1 einen Schnittpunkt haben. Da die drei Geraden AA1, BB1, CC1 sich paarweise schneiden, so müssen sie entweder in der nämlichen Ebene liegen, oder sich in einem Punkte schneiden. Das erstere ist ausgeschlossen, sonst müßten die Dreiecke ABC und B1C1, also auch und & in einer Ebene liegen, folglich geht CC, durch 0 = AA1 × BB1. Das Centrum 0 liegt auf AA,, ebenso O, auf A4, und 9 auf 4,4, folglich liegen alle drei Centren auf der Ebene AA12, desgleichen auf der zweiten Ebene BBB2, also in der Schnittlinie beider, durch welche auch die dritte Ebene CC12 gehen muß.

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E

163. Als einen wichtigen Spezialfall des soeben bewiesenen Satzes heben wir folgenden hervor: Zwei perspektiv gelegene ebene Figuren bleiben in perspektiver Lage, wenn man die eine derselben um die Achse der Perspektive beliebig dreht. Die zu drehende Figur liegt nämlich zu der gedrehten affin (vergl. 10), d. h. perspektiv mit unendlich fernem Centrum. Durch letzteres geht auch die Verbindungslinie des alten und neuen Perspektivitätscentrums, diese ist also parallel zur Sehne des

Kreisbogens, den

evo

Fig. 124.

irgend ein Punkt der beweglichen Figur beschrieben hat. Wir wollen die Sache noch etwas genauer verfolgen und etwa die Originalebene E einer Drehung unterwerfen. Um die Lageveränderung des Perspektivitätscentrums besser zu überblicken, legen wir die Zeichenebene normal zur Achse e, durch das Centrum O. Die beiden perspektiven Ebenen E und ПT, die Achse Verschwindungslinie e, Fluchtlinie e u. s. f. stellen wir dann durch ihre senkrechten Projektionen auf die Zeichenebene dar und setzen an diese die gleichen Buchstaben, welche die Elemente selbst bezeichnen (Fig. 124).

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Die Originalebene E werde in ihrer neuen, durch Drehung um

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e1 erhaltenen Lage mit E, ihre Verschwindungslinie mit e bezeichnet. Das neue Centrum O liegt dann in der Schnittlinie der beiden Ebenen, welche durch e und e respektive zu E▲ und П parallel gelegt werden können, und überdies wiederum in der Zeichenebene. Hieraus folgt, daß das Centrum eine Drehung um die Fluchtlinie e erleidet von gleichem Sinne und gleichem Drehwinkel wie E selbst um die Achse e,.

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164. Wird die Originalebene durch die Drehung mit der Bildebene zur Deckung gebracht, so gelangt auch das Perspektivitätscentrum O in die letztere und zwar, je nach dem Sinne der Drehung, entweder nach O oder nach 0° (Fig. 124). Dabei erhält die Verschwindungslinie e, entweder die Lage e, oder eo. Im ersteren Falle schließen in der Bildebene Centrum und Achse der Perspektive die Flucht- und Verschwindungslinie zwischen sich ein; im letzteren werden sie von diesen eingeschlossen. Jedesmal aber bleibt der senkrechte Abstand des Centrums von der Fluchtlinie dem der Verschwindungslinie von der Achse gleich. Derjenige Punkt C in der Originalebene E, welcher nachmals mit dem Centrum 0, zur Deckung kommt, liegt auf dem Strahle 00; im neuen Centrum fallen daher zwei entsprechende Punkte der Ebenen E und П zusammen, was von den Punkten der Achse abgesehen für kein weiteres Paar entsprechender Punkte eintritt. Analoges gilt bei umgekehrtem Drehsinn für C' und 0o.

165. Hier ist noch der Ort darauf hinzuweisen, daß bei einer Pyramide jedes ebene Schnittpolygon zum Basispolygon perspektiv liegt; die Spitze der Pyramide ist das Centrum, ihre Kanten sind die projizierenden Strahlen und die Schnittlinie von Basis- und Schnittebene ist die Achse dieser perspektiven Beziehung. Aus dem vorher Gesagten geht auch hervor, daß die Projektion des Schnittpolygons auf die Basisebene mit dem Basispolygon perspektiv liegt, und zwar bildet die Projektion der Spitze das zugehörige Centrum. Auch bei der Umlegung des Schnittpolygons um die Spur seiner Ebene in die Basisebene bleibt die perspektive Beziehung zwischen diesem und dem Basispolygon bestehen. Ihr Centrum erhält man, wenn man durch die Spitze der Pyramide zur Schnittebene eine Parallelebene zieht und diese um ihre Spur in die Basisebene umlegt, dabei gelangt die Spitze in die Lage des neuen Centrums. Alle diese Dinge sind nach dem Vorausgehenden unmittelbar klar.

Perspektive in der Ebene.

166. Nach 164 sind wir mittelbar zu dem Begriffe perspektiver Figuren derselben Ebene, also zur Perspektive (Centralprojektion) in der Ebene gelangt, die noch genauerer Erörterung bedarf.

Es sollen jetzt in einer Ebene zweierlei Figuren betrachtet werden, die wir als Original und Bild unterscheiden, und die einander Punkt für Punkt nach folgenden Gesetzen entsprechen:

a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte gehen
durch einen festen Punkt O, das Centrum.

B) Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei
Punkte in gerader Linie.

7) Jeder Punkt einer festen Geraden e1, der Achse,
entspricht sich selbst.

Hieraus folgt sofort:

8) Entsprechende Strahlen schneiden sich auf der Achse e; jeder Strahl durch das Centrum O entspricht sich selbst und mithin gilt das Gleiche vom Centrum selbst.

Eine solche Verwandtschaft zwischen zweierlei Figuren wird als Centralkollineation oder Perspektive in der Ebene bezeichnet. Indem wir zeigen, daß zwei centrisch-kollineare oder perspektive Figuren einer Ebene durch Drehung der einen um die Achse der Perspektive in eine räumliche Lage übergeführt werden können, bei welcher die eine als Centralprojektion der andern erscheint, wird erwiesen, daß die vorstehenden Gesetze zwischen zwei Figuren einer Ebene die nämliche geometrische Beziehung feststellen, wie sie in 164 zwischen Original- und Bildebene bestehen, die zur Deckung gebracht sind.

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167. Nun seien F und F, perspektive Figuren einer Ebene und das zugehörige Centrum. Ferner möge F. aus F durch Drehung um die Achse e, der Perspektive hervorgegangen sein. A1, B1, C1, D1 seien beliebige Punkte der Figur F, A, B, C, D die entsprechenden Punkte von F, und A。, Bo, Co, Do die bezüglichen Punkte der gedrehten Figur F. Da sich A, B1 und AB auf e1 schneiden und mithin auch A,B1 und AB, so liegen diese Punkte in einer Ebene; in gleicher Weise liegen B, C, und BC, in einer zweiten und C4, und CA in einer dritten Ebene. Diese drei Ebenen schneiden sich in einem Punkte 0, in dem sich auch die drei Strahlen 44。, B1В und CC treffen. Ist jetzt D1 ein beliebiger Punkt von Jr, so ziehen wir D14, und D1B1; sodann ver

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