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punkt von A2C2 und ex, es müssen sich also auch AAx und CG, schneiden, und in gleicher Weise schließt man, daß BBx und CCx einen Schnittpunkt haben. Da die drei Geraden AAx, BBx, CCx sich paarweise schneiden, so müssen sie entweder in der nämlichen Ebene liegen, oder sich in einem Punkte schneiden. Das erstere ist ausgeschlossen, sonst müßten die Dreiecke ABC und AxBxCv also auch % und gj in einer Ebene liegen, folglich geht CCx durch 0=AAxxBBv Das Centrum O liegt auf AAx, ebenso Ox auf AxA2 und 02 auf A2A, folglich liegen alle drei Centren auf der Ebene AAxA2, desgleichen auf der zweiten Ebene BBxB2, also in der Schnittlinie beider, durch welche auch die dritte Ebene CCxC2 gehen muß.

163. Als einen wichtigen Spezialfall des soeben bewiesenen Satzes heben wir folgenden hervor: Zwei perspektiv gelegene ebene Figuren bleiben in perspektiver Lage, wenn man die eine derselben um die Achse der Perspektive beliebig dreht. Die zu drehende Figur liegt nämlich zu der gedrehten affin (vergl. 10), d. h. perspektiv mit unendlich fernem Centrum. Durch letzteres geht auch die Verbindungslinie des alten und neuen Perspek

tivitätscentrums, diese ist also parallel zur Sehne des Kreisbogens, den

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Fig. 124.

irgend ein Punkt der beweglichen Figur beschrieben hat. Wir wollen die Sache noch etwas genauer verfolgen und etwa die Originalebene E einer Drehung unterwerfen. Um die Lageveränderung des Perspektivitätscentrums besser zu überblicken, legen wir die Zeichenebene normal zur Achse ex durch das Centrum O. Die beiden perspektiven Ebenen E und TT, die Achse ev Verschwindungslinie ev, Fluchtlinie u. s. f. stellen wir dann durch ihre senkrechten Projektionen auf die Zeichenebene dar und setzen an diese die gleichen Buchstaben, welche die Elemente selbst bezeichnen (Fig. 124). Die Originalebene E werde in ihrer neuen, durch Drehung um ex erhaltenen Lage mit EA, ihre Verschwindungslinie mit e,A bezeichnet. Das neue Centrum 0A liegt dann in der Schnittlinie der beiden Ebenen, welche durch ex und evA respektive zu EA und TT parallel gelegt werden können, und überdies wiederum in der Zeichenebene. Hieraus folgt, daß das Centrum eine Drehung um die Fluchtlinie erleidet von gleichem Sinne und gleichem Drehwinkel wie E selbst um die Achse ev

164. Wird die Originalebene durch die Drehung mit der Bildebene zur Deckung gebracht, so gelangt auch das Perspektivitätscentrum O in die letztere und zwar, je nach dem Sinne der Drehung, entweder nach O0 oder nach (Fig. 124). Dabei erhält die Verschwindungslinie ev entweder die Lage oder ev°. Im ersteren Falle schließen in der Bildebene Centrum und Achse der Perspektive die Flucht- und Verschwindungslinie zwischen sich ein; im letzteren werden sie von diesen eingeschlossen. Jedesmal aber bleibt der senkrechte Abstand des Centrums von der Fluchtlinie dem der Verschwindungslinie von der Achse gleich. Derjenige Punkt C in der Originalebene E, welcher nachmals mit dem Centrum O0 zur Deckung kommt, liegt auf dem Strahle OO0; im neuen Centrum fallen daher zwei entsprechende Punkte der Ebenen E und TT zusammen, was — von den Punkten der Achse abgesehen — für kein weiteres Paar entsprechender Punkte eintritt. Analoges gilt bei umgekehrtem Drehsinn für C und 0°.

165. Hier ist noch der Ort darauf hinzuweisen, daß bei einer Pyramide jedes ebene Schnittpolygon zum Basispolygon perspektiv liegt; die Spitze der Pyramide ist das Centrum, ihre Kanten sind die projizierenden Strahlen und die Schnittlinie von Basis- und Schnittebene ist die Achse dieser perspektiven Beziehung. Aus dem vorher Gesagten geht auch hervor, daß die Projektion des Schnittpolygons auf die Basisebene mit dem Basispolygon perspektiv liegt, und zwar bildet die Projektion der Spitze das zugehörige Centrum. Auch bei der Umlegung des Schnittpolygons um die Spur seiner Ebene in die Basisebene bleibt die perspektive Beziehung zwischen diesem und dem Basispolygon bestehen. Ihr Centrum erhält man,* wenn man durch die Spitze der Pyramide zur Schnittebene eine Parallelebene zieht und diese um ihre Spur in die Basisebene umlegt, dabei gelangt die Spitze in die Lage des neuen Centrums. Alle diese Dinge sind nach dem Vorausgehenden unmittelbar klar.

Perspektive in der Ebene.

166. Nach 164 sind wir mittelbar zu dem Begriffe perspektiver Figuren derselben Ebene, also zur Perspektive (Centralproj ektion) in der Ebene gelangt, die noch genauerer Erörterung bedarf.

Es sollen jetzt in einer Ebene zweierlei Figuren betrachtet werden, die wir als Original und Bild unterscheiden, und die einander Punkt für Punkt nach folgenden Gesetzen entsprechen: «) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte gehen

durch einen festen Punkt O, das Centrum. ß) Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei

Punkte in gerader Linie. y) Jeder Punkt einer festen Geraden ex, der Achse, entspricht sich selbst. Hieraus folgt sofort:

8) Entsprechende Strahlen schneiden sich auf der Achse ex; jeder Strahl durch das Centrum O entspricht sich selbst und mithin gilt das Gleiche vom Centrum selbst. Eine solche Verwandtschaft zwischen zweierlei Figuren wird als Centralkollineation oder Perspektive in der Ebene bezeichnet. Indem wir zeigen, daß zwei centrisch-kollineare oder Perspektive Figuren einer Ebene durch Drehung der einen um die Achse der Perspektive in eine räumliche Lage übergeführt werden können, bei welcher die eine als Centralprojektion der andern erscheint, wird erwiesen, daß die vorstehenden Gesetze zwischen zwei Figuren einer Ebene die nämliche geometrische Beziehung feststellen, wie sie in 164 zwischen Original- und Bildebene bestehen, die zur Deckung gebracht sind.

167. Nun seien g und %i perspektive Figuren einer Ebene und O das zugehörige Centrum. Ferner möge aus 5 durch Drehung um die Achse ex der Perspektive hervorgegangen sein. Av Bv Cv Bx seien beliebige Punkte der Figur gj, A, B, C, B die entsprechenden Punkte von un(l ^0, A>, ^o, ^ie bezüglichen Punkte der gedrehten Figur $0. Da sich AxBx und AB auf ex schneiden und mithin auch AxBx und A0B0, so liegen diese Punkte in einer Ebene; in gleicher Weise liegen BxCx und B0C0 in einer zweiten und CxAx und C0A0 in einer dritten Ebene. Diese drei Ebenen schneiden sich in einem Punkte O0, in dem sich auch die drei Strahlen AxA0, BxB0 und CxC0 treffen. Ist jetzt Bx ein beliebiger Punkt von gr, so ziehen wir BxAx und BxBx; sodann verbinden wir BxAx x ex mit A und BxBx x ex mit B\ beide Gerade schneiden sich im Punkte B von woraus man durch Drehung J)0 erhält. Wiederum liegen die vier Punkte AxBxA0B0, resp. Bxb^bqbq, resp. AxBxA0B0 je in einer Ebene und die drei Strahlen AxA0, BxB0 und BxB0 laufen durch einen Punkt. Da aber AJA0 x BxB0 = O0 ist, geht auch BxB0 durch diesen Punkt hindurch, d. h. der beliebige Punkt Bx von ^ liegt mit dem entsprechenden Punkte _D0 von %0 auf einem Strahle durch O0. Beide Figuren und $o sind somit perspektiv aus dem Punkte O0.

168. Wir hatten in 164 gesehen, wie man aus zwei perspektiv gelegenen Figuren, die sich in verschiedenen Ebenen befinden, durch Drehung zwei centrisch-kollineare oder perspektive Figuren einer Ebene erhalten kann. Dieser Ubergang gestattet auch die Eigenschaften centrisch-kollinearer oder perspektiver Figuren einer Ebene abzuleiten. Es müssen sich diese Eigenschaften jedoch auch aus der Definition der Centralkollineation ergeben, und dieser Gedanke

punkt Bx ausschneidet. Zieht man durch O einen Strahl parallel zu g, so schneidet er die Bildgerade gx im Fluchtpunkt G^, dem Bilde des unendlich fernen Punktes von g. Zieht man durch O einen Strahl parallel zu gv so schneidet er auf g den Verschwindungspunkt Gv aus, dem ein unendlich fernes Bild zugehört. Mit anderen Worten: Das Bild einer Geraden g geht durch ihren Achsenschnittpunkt Gx und ist zur Verbindungslinie GvO ihres Ver

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soll noch mit wenigen Worten etwas näher ausgeführt werden (Fig. 125).

Fig. 125.

Zunächst ist klar, daß das Centrum O, die Achse ex und ein Paar entsprechender Punkte A und Av die auf einem Strahle durch O liegen, die perspektive Beziehung in der Ebene völlig bestimmen. Zu einem beliebigen Punkte B erhält man ja das zugehörige Bild Bx, indem man AB = g mit ex in Gx schneidet und die Gerade GxAx = gx zieht, auf welcher der Strahl OB dann den Bildschwindungspunktes mit dem Centrum parallel. Ebenso geht das Original zu einer Geraden gL durch ihren Achsenschnittpunkt Gx und ist zur Verbindungslinie GxO ihres Fluchtpunktes mit dem Centrum parallel.

169. Ferner ergiebt sich, daß die Fluchtpunkte auf allen Bildgeraden durch eine Gerade ex ausgeschnitten werden, die zur Achse ex parallel ist. Ebenso schneidet eine zur Achse parallele Gerade ev auf allen Originalgeraden die Verschwindungspunkte aus. Die Gerade e heißt wieder Fluchtlinie und ist das Bild der un

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endlich fernen Geraden des Originalsystems, während der unendlich fernen Geraden im Bildsystem die Gerade ev alsVerschwindungslinie entspricht. Zum Beweise wähle man noch ein Paar entsprechender Geraden h und Aj (Fig. 125), die sich in einem Punkte Hx der Achse ex schneiden, und suche wie vorher den Verschwindungspunkt Hv und den Fluchtpunkt H^OH^ \\h, OHv\\h^ Dann sind die Dreiecke AGxAx und AGvO ähnlich; also: GxA: GvA = AxA: OA; ebenso kommt: üxA: HvA = AxA: OA; demnach müssen GxHx = und GvHv = ev parallel sein, da sie auf g und h proportionale Stücke abschneiden. In gleicher Weise erschließt man den Parallelismus von e und e..

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Die Verschwindungslinie ev und die Fluchtlinie ex werden auch als die Gegenachsen von Original und Bild bezeichnet; ebenso spricht man von den Gegenpunkten Gv und Gx einer Geraden und ihres Bildes.

170. Es mag noch erwähnt werden, daß die Perspektive in der Ebene auch durch Angabe des Centrums, der Achse und einer Gegenachse bestimmt ist. Denn indem man an Stelle zweier entsprechender Punkte eine Gegenachse einführt, wird ihrem Schnittpunkt mit irgend einer Geraden der Punkt zugeordnet, welcher auf der Verbindungslinie des ersteren mit dem Centrum unendlich fern liegt.

171. Wichtig für das Folgende sind die beiden unmittelbar aus der Fig. 125 zu entnehmenden Beziehungen: Das Bild einer Geraden schneidet die Fluchtlinie unter dem gleichen Winkel cp, wie der Strahl aus dem Centrum nach dem Verschwindungspunkt die Verschwindungslinie, und andererseits: Eine Gerade schneidet die Verschwindungslinie unter dem gleichen Winkel if>, wie der Strahl aus dem Centrum nach dem Fluchtpunkt die Fluchtlinie.

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