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erster, A ihr zweiter Spurpunkt ist und folglich 4' mit B" auf der x-Achse zusammenfällt. Hieraus findet man sofort A, und B* und damit den Grundrißschatten w AB, sowie den Aufrißschatten

w* = AB* der Linie w.

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Von den Schatten auf horizontalen Flächen sind die der vertikalen Kanten parallel zu l', die der schrägen parallel zu w, die der horizontalen parallel zu diesen selbst. Auf den sichtbaren

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vertikalen Flächen sind die Schatten von solchen Kanten, die entweder normal zu П,, oder parallel zu w, oder parallel zu ПT2 laufen, resp. mit 7", oder w*, oder mit den Kanten selbst gleichgerichtet.

Man beginnt nun bei einem geeigneten Eckpunkte, z. B. dem Punkte P, und bestimmt in Grund- und Aufriß seinen Schlagschatten auf die wagrechte Fläche des Podestes (P, P"). Hiervon ausgehend kann man unter abwechselnder Benutzung der Grundund Aufriẞelemente die Grenzen der Schlagschatten leicht bestimmen. Zugleich ergeben sich mannigfache Kontrollen für die Richtigkeit der Zeichnung. So kann man z. B. auch von dem Bodenschatten einer der vordersten vertikalen Kanten ausgehen, u. s. f.

Die Deckplatten der vorgelagerten Ecksteine und der Brüstung sind unten abgeschrägt; die betreffenden Flächen sind sämtlich unter 45° gegen TT, geneigt. Ein Teil des so entstehenden Simses ist in der zweiten Hilfsfigur vergrößert dargestellt (Aufriß). Der Eckpunkt K der horizontalen Kante k wirft (weil l'x 45° ist) seinen Schatten K* auf die von J abwärts gehende vertikale Kante (K"K* ||7′′). Die schräge Fläche zwischen k und liegt im Eigenschatten, die vertikale Fläche zwischen i und k* im Schlagschatten.

155. In Fig. 120 ist ein Fenster gezeichnet. Die oben schwach geneigte Sohlbank ist mit wenig vortretenden Konsolen

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Die Leibungen zeigen ebenso wie der Fenstersturz

nach innen abgeschrägte Flächen, die sogen. Schmiegen. Der

Sturz ist durch ein einfaches Gesims verdacht. gewände tritt ein wenig aus der Wandfläche hervor.

Das Fenster

Die Lichtrichtung ist durch 7' und 7" gegeben (l'x = 45° ▲ l′′x = 60o). Die schrägen Flächen des Gesimses liegen im Eigenschatten, auf den vertikalen Flächen liegen horizontale Streifen im Schlagschatten. Man geht zu ihrer Bestimmung etwa von einem Punkte K aus und sucht wie im vorigen Beispiele K* auf der vertikalen Kante der Leibung (K"K* ||7′′). Um den Schlagschatten des Gesimses, der Sohlbank und der Konsole auf der Wandfläche zu finden, die im Grundriß durch die Linie w vertreten ist, bestimmt man von einzelnen Eckpunkten die Schatten, z. B. von J, indem man J"J* || l'', J'J*' || l'′ zieht (J* auf w, J*J* 1 x) und beachtet, daß die Schatten der vertikalen Kanten wiederum vertikal,

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die der horizontalen Kanten aber entweder parallel zu z oder zu " sind. Die Schmiege am Sturz liegt im Eigenschatten, auf den beiden Schmiegenflächen der Leibungen entstehen oben zwei kleine drei

eckige Schlagschatten. Nach diesen Andeutungen ist es leicht, die Schattenkonstruktion in allen Einzelheiten durchzuführen.

156. Als letztes Beispiel mag die Bestimmung des Schattens dienen, den ein Schornstein auf eine geneigte Dachfläche wirft (Fig. 121).

"

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* *

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Die Richtung der Lichtstrahlen ist hier so gewählt, daß ▲ l'x = 60o, l'x = 45° und folglich "" = 30° ist. Man be▲ ▲ x nutzt zweckmäßig den Seitenriß (was auch schon bei den vorhergehenden Beispielen geschehen konnte). Den Schatten 4 eines Eckpunktes 4 am Essenkopf findet man dann, indem man durch A', A", A"" Gerade resp. parallel zu 7', 7", 7"" zieht, und zwar letztere bis zu 4" auf der Seitenspur der Dachfläche. Dann ist AA‚„′′ || x und 4′′ 1 x. Liegt der betrachtete Eckpunkt auf einer vertikalen Kante, deren Durchstoßpunkt mit der Dachfläche gezeichnet ist, so findet man durch dieses Verfahren zugleich die Richtung, welche die Schatten der Vertikalen auf die Dachfläche im Aufriß zeigen; im Grundriß sind sie parallel zu l'. Man beachte noch, daß die Schatten horizontaler Kanten im Aufriß teils zu r, teils zu l" parallel liegen; im Grundriß sind sie teils parallel zu x, teils haben sie eine schiefe Richtung, die sich aus dem Vorigen ergiebt. Die hintere Dachfläche liegt vollständig im Eigenschatten. Auch wirft die Deckplatte des Schornsteins auf seine Seitenflächen einen Streifen von Schlagschatten.

VIERTES KAPITEL.

Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde. Centralprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene.

157. Es seien im Raume zwei Ebenen E und П und außerhalb beider ein Punkt O willkürlich festgelegt. Zieht man aus O durch alle Punkte einer in E angenommenen Figur Strahlen, so schneiden diese die Ebene П in einer zweiten Figur, welche der gegebenen eindeutig Punkt für Punkt entspricht. Dieses Abbildungsverfahren heißt Centralprojektion oder Perspektive, der Punkt

O das Projektionscentrum oder Centrum der Perspektive, die Schnittlinie e, der Originalebene E mit der Bildebene П die Projektionsachse oder Achse der Perspektive.") Die einander entsprechenden Figuren werden kurz als perspektiv be

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zeichnet, man sagt, daß sie sich in perspektiver (centraler) Lage befinden. Offenbar entspricht jedem Punkt P (Fig. 122) der Originalebene ein Punkt P, der Bildebene, jeder Geraden g eine Gerade g, und umgekehrt. Ferner entspricht jeder Punkt П der Projektionsachse e, sich selbst und je zwei entsprechende Gerade schneiden sich auf der Achse (g × 91 auf e), oder sind ihr im besonderen beide parallel.

91

158. Die Centralprojektion einer Ebene auf eine zweite umfaßt als spezielle Fälle die Affinität und Ähn

lichkeit ebener Figuren. Die perspektive Lage geht über in die ähnliche, wenn die Bildebene zur Originalebene parallel wird, was zur Folge hat, daß die Projektionsachse ins Unendliche rückt; sie geht über in die affine Lage, wenn die projizierenden Strahlen parallel werden, also das Projektionscentrum ins Unendliche fällt. Macht man beide Annahmen gleichzeitig, so ergeben sich kongruente Figuren; solche stellen sich auch bei affiner Lage ein, wenn die projizierenden Strahlen zu einer der beiden Ebenen normal sind, welche die Winkel zwischen Original- und Bildebene halbieren. Affine, ähnliche und kongruente Figuren sind somit als spezielle Fälle perspektiver Figuren anzusehen, wenn sie sich in affiner oder ähnlicher Lage befinden.

159. Die durch O parallel zu E und П gelegten Ebenen mögen П und E in den Geraden e und e, (beide parallel zur Achse e1) schneiden (Fig. 122). Bewegt sich in E ein Punkt P auf der Geraden g nach der einen oder anderen Seite ins Unendliche, so dreht sich der projizierende Strahl OP in der Ebene Og um O im entsprechenden Sinne und nähert sich beide Male der nämlichen Grenz

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