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Sturz ist durch ein einfaches Gesims verdacht. Das Fenstergewände tritt ein wenig aus der Wandfläche hervor.

Die Lichtrichtung l ist durch V und l" gegeben (i_Vx = 45° L_ I" x = 60°). Die schrägen Flächen des Gesimses liegen im Eigenschatten, auf den vertikalen Flächen liegen horizontale Streifen im Schlagschatten. Man geht zu ihrer Bestimmung etwa von einem Punkte K aus und sucht wie im vorigen Beispiele K* auf der vertikalen Kante der Leibung (K"K* \\ l"). Um den Schlagschatten des Gesimses, der Sohlbank und der Konsole auf der Wandfläche zu finden, die im Grundriß durch die Linie w vertreten ist, bestimmt man von einzelnen Eckpunkten die Schatten, z. B. von J, indem man J"J* \\ l", J'J* || V zieht («/*' auf w, J*J* _]_ x) und beachtet, daß die Schatten der vertikalen Kanten wiederum vertikal,

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die der horizontalen Kanten aber entweder parallel zu x oder zu /" sind. Die Schmiege am Sturz liegt im Eigenschatten, auf den beiden Schmiegenflächen der Leibungen entstehen oben zwei kleine dreieckige Schlagschatten. Nach diesen Andeutungen ist es leicht, die Schattenkonstruktion in allen Einzelheiten durchzuführen.

156. Als letztes Beispiel mag die Bestimmung des Schattens dienen, den ein Schornstein auf eine geneigte Dachfläche wirft (Fig. 121).

Die Sichtung der Lichtstrahlen l ist hier so gewählt, daß /_ l'x = 60°, L_ l"x = 45° und folglich i_ V"x = 30° ist . Man benutzt zweckmäßig den Seitenriß (was auch schon bei den vorhergehenden Beispielen geschehen konnte). Den Schatten eines Eckpunktes A am Essenkopf findet man dann, indem man durch Ä, A", Ä" Gerade resp. parallel zu V, l", V" zieht, und zwar letztere bis zu A+" auf der Seitenspur der Dachfläche. Dann ist A^'AJ' || x und A^'AJ J_ x. Liegt der betrachtete Eckpunkt auf einer vertikalen Kante, deren Durchstoßpunkt mit der Dachfläche gezeichnet ist, so findet man durch dieses Verfahren zugleich die Richtung, welche die Schatten der Vertikalen auf die Dachfläche im Aufriß zeigen; im Grundriß sind sie parallel zu Man beachte noch, daß die Schatten horizontaler Kanten im Aufriß teils zu x, teils zu /" parallel liegen; im Grundriß sind sie teils parallel zu x, teils haben sie eine schiefe Richtung, die sich aus dem Vorigen ergiebt. — Die hintere Dachfläche liegt vollständig im Eigenschatten. Auch wirft die Deckplatte des Schornsteins auf seine Seitenflächen einen Streifen von Schlagschatten.

VIERTES KAPITEL.

Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde.

Centraiprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene.

157. Es seien im Raume zwei Ebenen E und TT und außerhalb beider ein Punkt O willkürlich festgelegt. Zieht man aus O durch alle Punkte einer in E angenommenen Figur Strahlen, so schneiden diese die Ebene TT in einer zweiten Figur, welche der gegebenen eindeutig Punkt für Punkt entspricht. Dieses Abbildungsverfahren heißt Centralprojektion oder Perspektive, der Punkt O das Projektionscentrum oder Centrum der Perspektive, die Schnittlinie ex der Originalebene E mit der Bildebene TT die Projektionsachse oder Achse der Perspektive.6) Die einander entsprechenden Figuren werden kurz als perspektiv bezeichnet, man sagt, daß sie sich in perspektiver (centraler) Lage befinden. Offenbar entspricht jedem Punkt P (Fig. 122) der Originalebene ein Punkt Px der Bildebene, jeder Geraden g eine Gerade gx und umgekehrt. Ferner entspricht jeder Punkt ff der Projektionsachse ex sich selbst und je zwei entsprechende Gerade schneiden sich auf der Achse (g x <7j auf ej), oder sind ihr im besonderen beide parallel.

158. Die Centralprojektion einer Ebene auf eine zweite umfaßt als spezielle Fälle die Affinität und Ahn

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Fig. 122.

lichkeit ebener Figuren. Die perspektive Lage geht über in die ähnliche, wenn die Bildebene zur Originalebene parallel wird, was zur Folge hat, daß die Projektionsachse ins Unendliche rückt; sie geht über in die affine Lage, wenn die projizierenden Strahlen parallel werden, also das Projektionscentrum ins Unendliche fällt. Macht man beide Annahmen gleichzeitig, so ergeben sich kongruente Figuren; solche stellen sich auch bei affiner Lage ein, wenn die projizierenden Strahlen zu einer der beiden Ebenen normal sind, welche die Winkel zwischen Original- und Bildebene halbieren. Affine, ähnliche und kongruente Figuren sind somit als spezielle Fälle perspektiver Figuren anzusehen, wenn sie sich in affiner oder ähnlicher Lage befinden.

159. Die durch O parallel zu E und TT gelegten Ebenen mögen TT und E in den Geraden ex und ev (beide parallel zur Achse ej) schneiden (Fig. 122). Bewegt sich in E ein Punkt P auf der Geraden g nach der einen oder anderen Seite ins Unendliche, so dreht sich der projizierende Strahl OP in der Ebene Og um O im entsprechenden Sinne und nähert sich beide Male der nämlichen Grenzläge OGx, die durch O parallel zu g gezogen ist. Der Spurpunkt 6' dieser Geraden in TT liegt auf ex; er kann als das Bild des auf g ins Unendliche fliehenden Punktes aufgefaßt werden und heißt darum der zu g gehörige Fluchtpunkt. Offenbar gehört er ebenso als Fluchtpunkt zu allen Geraden, die mit g parallel laufen; denn flieht ein Punkt auf einer solchen Parallelen ins Unendliche, so strebt der zugehörige projizierende Strahl stets der gleichen Grenzlage OG^ zu. Der Gesamtheit aller unendlich fernen Punkte der Ebene E entspricht in TT die eine bestimmte Gerade ex, die Fluchtlinie der Ebene E. — Umgekehrt verschwindet das Bild des Schnittpunktes Gv der Geraden g mit ev, d. h. es liegt auf gx unendlich fern; Gv heißt darum der Verschwindungspunkt von g. Die Gerade ev selbst, deren Bild ins Unendliche fällt, heißt die Verschwindungslinie der Ebene E. — Allen zu g parallelen Geraden der Ebene E entsprechen in TT alle Gerade durch den Punkt G der Fluchtlinie e. und allen Geraden der

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Ebene E durch den Punkt Gv der Verschwindungslinie ev entsprechen in TT die Parallelen zu gv

160. Das angegebene Verhalten der unendlich fernen Punkte einer Geraden oder einer Ebene gegenüber der Centralprojektion, nämlich der Umstand, daß sie nur in einem einzigen Punkt oder einer einzigen Geraden abgebildet werden, begründet die Ausdrucksweise, nach welcher einer Geraden nur ein unendlich ferner Punkt (Richtung) zugeschrieben wird, den sie mit allen parallelen Geraden gemein hat, und einer Ebene nur eine unendlich ferne Gerade (Stellung), die ihr mit allen Parallelebenen gemeinsam ist. Erst auf Grund dieser Erklärung dürfen wir das umkehrbar eindeutige Entsprechen zwischen den Punkten und Geraden der Originalebene und den Punkten und Geraden der Bildebene als ein ausnahmslos geltendes Grundgesetz der Centralprojektion betrachten. — Im Verfolg dieser perspektiven Betrachtungsweise hat man eine Gerade als geschlossene Linie aufzufassen, weil ein Punkt, der sie beschreibt, sich demselben unendlich fernen Punkte nähert, gleichviel in welchem Sinne er sich bewegt.

161. Für die Centralprojektion von E auf TT kann, wenn die Lage dieser Ebenen zu einander fixiert ist, die Angabe des Projektionscentrums O offeöbar durch die zweier entsprechender Punktepaare A, B und Av Bx ersetzt werden, deren Verbindungslinien AB und AxB^ sich auf der Achse ex = E x TT schneiden. Es liegen dann AAx und BBx in einer Ebene und bestimmen O als ihren Schnittpunkt.

162. Gehen die Ebenen dreier Figuren g, gfx, g2 durch eine und dieselbe Achse ex und sind zwei derselben g und gj zur dritten g2 perspektiv, so sind sie es auch untereinander. Die drei Centren liegen in gerader Linie. — Die Perspektivitätscentren, O2 für g2 und g sowie O^ für g2 und %v

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denke man sich mittels eines Punktepaares A2, B2 und der ihm entsprechenden Paare A, B und Ax, Bx bestimmt (Fig. 123). Dann ist zu zeigen: erstens daß die Geraden AAx und BBx einen Schnittpunkt O bestimmen, zweitens daß auch die Gerade CC^ durch O geht, wenn dem beliebigen Punkte C2 von g2 die Punkte Cx von gx und C von g entsprechen. Nun gehen durch den Schnittpunkt von A2B2 und ex auch die Geraden AB und AxBx und somit liegen auch AAx und BBx in einer Ebene und schneiden sich in einem Punkte O. Ganz ebenso gehen AC und AxCx durch den Schnitt

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