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nächst ihren Schnittpunkt N und damit 1, N und so auch 2 erhalten würden.

Die Reihenfolge der Ecken des Durchdringungspolygons ergiebt sich sofort aus der Bemerkung, daß zwei aufeinanderfolgende Ecken bei beiden Vielflachen der nämlichen Seitenfläche, resp. deren Berandung, angehören müssen. So finden sich die Folgen der Ecken:

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1 = GH x BBxCxC

2 = GHFx CxC
S = HF x CCxBxB

4 = HFEx CB

5 = HE x BA

6 = HFGx CB

7 = HEG x CCx

1 = HG x BBxCxC

Im Punkte 5 treffen sich zufällig zwei Kanten und es laufen von ihm vier Durchdringungslinien aus. Was die Sichtbarkeit der einzelnen Linien anlangt, so genügt das, was in voriger Nummer im allgemeinen darüber gesagt worden ist. Es folgt daraus, daß die sichtbaren Teile der Durchdringungsfigur immer von den Umrissen der beiden Vielflache begrenzt werden. Von einer Ecke dieser Figur, die auf dem sichtbaren Teil des Umrisses liegt, geht stets eine sichtbare und eine unsichtbare Seite aus.

147. Die Durchdringung eines Prismas und einer Pyramide, die auf der Horizontalebene aufstehen (Fig. 115).

Hier läßt sich am leichtesten das Flächenverfahren durchführen, indem man außer T\x noch eine horizontale Hilfsebene TT3 durch die Spitze der Pyramide verwendet. Jede Seitenfläche der Pyramide besitzt in TT3 eine zu ihre? ersten Spur parallele Hilfsspur durch S, während die paarweise parallelen Spuren der Seitenflächen des Prismas zwei kongruente Vierecke bilden. Mit Hilfe dieser Spurlinien findet man die ersten und die Hilfsspurpunkte der Seiten der Durchdringungsfigur. In der Figur ist die obere Endfläche des Prismas bereits so gewählt, daß sie durch S hindurchgeht; liegt dieser Fall nicht vor, so muß erst das zu EFGH kongruente Schnittpolygon gezeichnet werden. Die Seitenflächen SBC und EFKJ schneiden sich in der Geraden NNv wo N= BC x EF, A\ =JKx SNx und SNx || BC ist; diese Gerade nimmt nur insoweit an der Durchdringungsfigur teil, als sie zugleich im Innern der beiden Vielecke SBC und EFKJ liegt, d. h. in der Erstreckung von 1 nach 2. In

2 setzt sich dann die Seite 2, 3 an, die ebenfalls der Fläche EFKJ angehören muß und von der (der erstgenannten Pyramidenseite benachbarten) Seite CBS ausgeschnitten wird. In gleicher Weise läßt sich die ganze Durchdringung im Grundriß zeichnen. Den

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Fig. 115.

Aufriß erhält man entweder durch direktes Hinaufloten der Punkte 1', 2', 3', . . . oder durch Hinaufloten der Spurpunkte N, N^, . .

148. Das hier geschilderte Verfahren läßt sich mit geringer Abänderung auch bei der Durchdringung von Prisma mit Prisma, Prisma mit Pyramide und Pyramide mit Pyramide bei allgemeiner Lage anwenden. Im ersten Fall wähle man zwei parallele Hilfsebenen senkrecht zum Aufriß (oder Grundriß), die sonst beliebig sein können; sie schneiden die Prismen in kongruenten Vielecken, deren parallele Seiten als Hilfsspuren der Prismenflächen betrachtet werden können. Zwei Hilfsspuren in der nämlichen Hilfsebene und die entsprechenden in der anderen liefern die beiden Hilfsspurpunkte einer Seite des Durchdringungspolygons, das im Grundriß unmittelbar gezeichnet werden kann. Tritt an Stelle eines gegebenen Prismas eine Pyramide, so schneiden die Hilfsebenen nicht kongruente, sondern ähnliche Vielflache aus. Gewöhnlich wird man in diesem Falle eine Hilfsebene durch die Spitze der Pyramide legen. Analog verfährt man bei zwei Pyramiden.

149. Die Durchdringung zweier Pyramiden in allgemeiner Lage (Fig. 116). Das Kantenverfahren läßt sich hier in besonderer Weise abändern, wie es sich später noch in anderen Fällen vorteilhaft erweisen wird. Verbindet man die Spitzen beider Pyramiden durch eine Gerade a und legt durch dieselbe eine beliebige Ebene, so schneidet sie jede der beiden Mantelflächen in zwei oder mehr erzeugenden Geraden, deren gegenseitige Schnittpunkte auf der Durchdringungsfigur gelegen sind. Wählt man die Ebene durch a speziell so, daß sie eine Pyramidenkante enthält, so ergeben sich auf dieser zwei oder mehr Ecken der Durchdringungsfigur. Sind nun A und B die Basisebenen der beiden Pyramiden, ist s ihre Schnittlinie und sind P und Q die Spurpunkte von a in den Ebenen A und B, so schneidet eine beliebige Ebene E durch a aus den Ebenen A und B Gerade aus, die durch P resp. Q verlaufen und sich auf s treffen; umgekehrt bestimmen zwei derartige Gerade eine Ebene durch a. Wir suchen demgemäß zunächst auf der Verbindungslinie a der Spitzen S und T die Punkte P a x A und Q = a x B und zwar ist P" = a" x K"L" und Q" = a" x H"J". Sodann bestimmen wir s, indem wir irgend zwei Strahlen in A mit der Ebene B des Vierecks ABCB zum Schnitt bringen; so liefert die Gerade PE in A den Punkt O von i (M" = P"E" x B"C", N" = P"E" x C"B", M' auf B'C, N' auf O B', O' = P'E' x M'N'). Nach Auffindung von « verbinden wir P mit einem der Punkte E, F, G, etwa mit E, suchen den Punkt O = PE x s auf und verbinden ihn mit Q; diese Linie schneidet das Viereck ABCB in den Punkten U, V; die Kante TE durchdringt demnach die andere Pyramide in den Punkten 1 = TE x SV und 6 = TE x SU. Ganz analog verfahren wir mit sämtlichen Kanten aus S sowohl wie aus T und erhalten so alle Ecken der Durchdringungsfigur; die Reihenfolge derselben ist nach dem früher Gesagten leicht anzugeben.

150. Das soeben geschilderte Verfahren läßt sich ganz in der gleichen Weise anwenden bei Durchdringung von Pyramide und Prisma. Zunächst legt man eine Gerade a durch die Spitze der Pyramide parallel zu den Kanten des Prismas, sucht ihre Spurpunkte P und Q in den Basisebenen A und B und die Gerade < = Ax B auf. Dann ist genau wie vorher zu verfahren, indem jede Ebene durch a beide Flächen in Erzeugenden, nämlich die Pyramide in Geraden durch den Scheitel und das Prisma in Parallelen zu den Kanten schneidet.

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Handelt es sich Um die Durchdringung zweier Prismen, so bestimme man die Schnittlinie s ihrer Basisebenen A und B und in diesen die Spurlinien einer zu den Kanten beider Prismen parallelen Ebene E, etwa w = A x E, t = BxE. Jede zu E parallele Ebene schneidet aus A und B Spuren aus, die zu u resp. v parallel sind und sich auf s treffen, sie schneidet die Prismen in Geraden, die den Kanten parallel laufen. Legt man die zu E parallele Ebene durch eine Kante, d. h. legt man ihre eine Spurlinie durch die bezügliche Ecke des Basispolygons, so gewinnt man Eckpunkte der Durchdringungsfigur, die sich hiernach leicht völlig zeichnen läßt.

Schlagschatten und Eigenschatten bei Vielflachen.

151. Unter der Annahme paralleler Lichtstrahlen bildet der Schlagschatten eines Körpers auf irgend eine Ebene, z. B. auf die Grund- oder Aufrißebene, nichts anderes als eine schiefe Parallelprojektion. Ganz ebenso nun wie die Oberfläche eines Vielflachs in Bezug auf eine bestimmte Projektionsrichtung in einen sichtbaren und einen unsichtbaren Teil zerfällt, die längs des Umrisses aneinander grenzen, zerfällt die Oberfläche desselben in einen beleuchteten und einen im Eigenschatten liegenden Teil, die läDgs eines Polygons, des Lichtgrenzpolygons oder kurz der Lichtgrenze aneinanderstoßen. Alle Kanten, in denen der Lichtstrahl den Körper bloß streift, ohne in ihn einzudringen, gehören der Lichtgrenze an; alle Punkte, in denen der verlängerte Lichtstrahl in den Körper eindringt, liegen auf seinem beleuchteten Teile, die Punkte dagegen, in denen der verlängerte Lichtstrahl aus dem Körper heraustritt, befinden sich im Eigenschatten. Wird ein Lichtstrahl, bevor er auf den Körper trifft, durch dazwischen liegende Gegenstände aufgehalten, so liegt die betreffende Stelle des Körpers im Schlagschatten. Von den Durchstoßpunkten eines Lichtstrahles mit einem oder mehreren Körpern ist der erste im

Lichte, der zweite, vierte, im Eigenschatten, der dritte, fünfte,....

im Schlagschatten. Die Schlagschattengrenze auf einer Projektionsebene wird gebildet von dem Schatten des Lichtgrenzpolygons. Der Schlagschatten auf einen Körper kann teilweise von dem Lichtgrenzpolygon begrenzt werden.

152. Den Schlagschatten eines Zwölfflachs auf die Projektionsebenen sowie seinen Eigenschatten zu bestimmen (Fig. 117). Wir nehmen an, daß seine Projektionen nach der früheren Darlegung gefunden und die des Lichtstrahles /' und gegeben sind. Die Schatten eines Eckpunktes auf die Grund- und Aufrißebene sind die Spurpunkte des durch ihn gelegten Lichtstrahles, so z. B. bilden E^ und E* Grund- und Aufrißschatten von E. Läßt man alle Kanten Schatten werfen, so wird die Grenze

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