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sichtbar. Eine Seite ist demnach stets unsichtbar, wenn einer ihrer Endpunkte auf einer unsichtbaren Kante eines Vielfachs liegt; sie kann aber auch unsichtbar sein, wenn sie zwei sichtbare Kanten verbindet, die dann entweder dem gleichen Vielflach angehören müssen, oder von denen eine auf dem scheinbaren Umriß liegen muß.

Um die Durchdringungsfigur zu konstruieren, kann man die Seiten des einen Vielflachs mit denen des anderen zum Schnitt bringen, man erhält so die Seiten dieser Figur, deren Ecken sich auf den unverlängerten Kanten der Vielflache befinden müssen (Flächenverfahren). Man kann aber auch die unverlängerten Kanten jedes der beiden Vielflache mit den Seiten des anderen schneiden, wodurch sich die Ecken der Durchdringungsfigur ergeben. Es sind dann diese Ecken in solcher Folge zu verbinden, daß je zwei aufeinanderfolgende Ecken bei beiden Vielflachen in der nämlichen Seite liegen (Kantenverfahren). Das letztere wird ge

wöhnlich angewendet.

146. Die Durchdringung eines Würfels mit einem Tetraeder zu zeichnen (Fig. 114). Eine Diagonale des Würfels soll auf П, senkrecht stehen. Um ihn in dieser Lage zu zeichnen, gehen wir von einer speziellen Lage aus, wobei die Würfelseite ABCD in П, liegt und drehen den Würfel um die Gerade a (a1 AC), bis seine Diagonale AC1 zu П, senkrecht wird. Hierzu benutzen wir, wie bekannt, eine zu a senkrechte Hilfsebene als Seitenriß; daraus ergeben sich Grund- und Aufriß des Würfels. Das Tetraëder mag durch seine Projektionen gegeben sein. Wir wenden das Kantenverfahren an. Die erste projizierende Ebene durch GH schneidet die Würfelseite BB1CC in der Geraden KL und es ist G"H" × K"L" = 1" ein Eckpunkt des Durchdringungspolygons. Die Kante GH durchdringt ferner die Seite ДВВ im Punkte 10. Ganz in gleicher Weise sind auf den übrigen Kanten des Tetraëders, sowie auf denjenigen des Würfels die Durchstoßpunkte zu bestimmen. Natürlich werden nicht alle Kanten an der Durchdringung teilnehmen und um sich keine überflüssige Mühe zu machen, wird man am besten in der folgenden Weise vorgehen. Ist eine Ecke des Durchdringungspolygons, etwa 1 = GH X BB,C,C × gefunden, so ist seine Seite 1, 2 GHF × BB,C,C; der Eckpunkt 2 muß also auf einer Kante der einen oder anderen Seitenfläche liegen. Wir können nun irgend eine Kante der einen Fläche mit der anderen zum Schnitt bringen; befindet sich dieser Schnittpunkt auf der Kante und der Fläche selbst, so ist er der Punkt 2, liegt er

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dagegen auf der Verlängerung der Kante oder Fläche, so befindet er sich auf der Verlängerung von 1, 2. Gleichwohl ist hierdurch die Richtung der Seite 1, 2 und damit offenbar auch der Eck

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punkt 2 gefunden, der auf der Berandung der einen und im Innern der anderen Fläche gelegen sein muß. So würden wir, wenn wir in der Figur die Kante CC, benutzt hätten, direkt den Punkt 2 gewonnen haben, während wir bei Benutzung der Kante HF zu

nächst ihren Schnittpunkt N und damit 1, N und so auch 2 erhalten würden.

Die Reihenfolge der Ecken des Durchdringungspolygons ergiebt sich sofort aus der Bemerkung, daß zwei aufeinanderfolgende Ecken bei beiden Vielflachen der nämlichen Seitenfläche, resp. deren Berandung, angehören müssen. So finden sich die Folgen der Ecken:

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Im Punkte 5 treffen sich zufällig zwei Kanten und es laufen von ihm vier Durchdringungslinien aus. Was die Sichtbarkeit der einzelnen Linien anlangt, so genügt das, was in voriger Nummer im allgemeinen darüber gesagt worden ist. Es folgt daraus, daß die sichtbaren Teile der Durchdringungsfigur immer von den Umrissen der beiden Vielflache begrenzt werden. Von einer Ecke dieser Figur, die auf dem sichtbaren Teil des Umrisses liegt, geht stets eine sichtbare und eine unsichtbare Seite aus.

147. Die Durchdringung eines Prismas und einer Pyramide, die auf der Horizontalebene aufstehen (Fig. 115).

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1

Hier läßt sich am leichtesten das Flächenverfahren durchführen, indem man außer П, noch eine horizontale Hilfsebene π durch die Spitze der Pyramide verwendet. Jede Seitenfläche der Pyramide besitzt in П, eine zu ihrer ersten Spur parallele Hilfsspur durch S, während die paarweise parallelen Spuren der Seitenflächen des Prismas zwei kongruente Vierecke bilden. Mit Hilfe dieser Spurlinien findet man die ersten und die Hilfsspurpunkte der Seiten der Durchdringungsfigur. In der Figur ist die obere Endfläche des Prismas bereits so gewählt, daß sie durch & hindurchgeht; liegt dieser Fall nicht vor, so muß erst das zu EFGH kongruente Schnittpolygon gezeichnet werden. Die Seitenflächen SBC und EFKJ schneiden sich in der Geraden NN,, wo NBC × EF, N1 = JK × SN1 und SN || BC ist; diese Gerade nimmt nur insoweit an der Durchdringungsfigur teil, als sie zugleich im Innern der beiden Vielecke SBC und EFKJ liegt, d. h. in der Erstreckung von 1 nach 2. In 2 setzt sich dann die Seite 2, 3 an, die ebenfalls der Fläche EFKJ

angehören muß und von der (der erstgenannten Pyramidenseite benachbarten) Seite CDS ausgeschnitten wird. In gleicher Weise läßt sich die ganze Durchdringung im Grundriß zeichnen.

N"

Den

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Fig. 115.

Aufriß erhält man entweder durch direktes Hinaufloten der Punkte 1', 2, 3', . . . oder durch Hinaufloten der Spurpunkte N, N,

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148. Das hier geschilderte Verfahren läßt sich mit geringer Abänderung auch bei der Durchdringung von Prisma mit Prisma, Prisma mit Pyramide und Pyramide mit Pyramide bei allgemeiner Lage anwenden. Im ersten Fall wähle man zwei parallele Hilfsebenen senkrecht zum Aufriß (oder Grundriß), die sonst beliebig sein können; sie schneiden die Prismen in kongruenten Vielecken,

deren parallele Seiten als Hilfsspuren der Prismenflächen betrachtet werden können. Zwei Hilfsspuren in der nämlichen Hilfsebene und die entsprechenden in der anderen liefern die beiden Hilfsspurpunkte einer Seite des Durchdringungspolygons, das im Grundriß unmittelbar gezeichnet werden kann. Tritt an Stelle eines gegebenen Prismas eine Pyramide, so schneiden die Hilfsebenen nicht kongruente, sondern ähnliche Vielflache aus. Gewöhnlich wird man in diesem Falle eine Hilfsebene durch die Spitze der Pyramide legen. Analog verfährt man bei zwei Pyramiden.

149. Die Durchdringung zweier Pyramiden in allgemeiner Lage (Fig. 116). Das Kantenverfahren läßt sich hier in besonderer Weise abändern, wie es sich später noch in anderen Fällen vorteilhaft erweisen wird. Verbindet man die Spitzen beider Pyramiden durch eine Gerade a und legt durch dieselbe eine beliebige Ebene, so schneidet sie jede der beiden Mantelflächen in zwei oder mehr erzeugenden Geraden, deren gegenseitige Schnittpunkte auf der Durchdringungsfigur gelegen sind. Wählt man die Ebene durch a speziell so, daß sie eine Pyramidenkante enthält, so ergeben sich auf dieser zwei oder mehr Ecken der Durchdringungsfigur. Sind nun A und B die Basisebenen der beiden Pyramiden, ist s ihre Schnittlinie und sind P und Q die Spurpunkte von a in den Ebenen A und B, so schneidet eine beliebige Ebene E durch a aus den Ebenen A und B Gerade aus, die durch P resp. Q verlaufen und sich auf s treffen; umgekehrt bestimmen zwei derartige Gerade eine Ebene durch a. Wir suchen demgemäß zunächst auf der Verbindungslinie a der Spitzen S und 7 die Punkte P = a × A und Q = a × B und zwar ist P" a" × K"L" und Q′′ = a" × H"J". Sodann bestimmen wir Q" s, indem wir irgend zwei Strahlen in A mit der Ebene B des Vierecks ABCD zum Schnitt bringen; so liefert die Gerade PE in A den Punkt O von ▾ (M" =P"E" x B"C", N" = P"E" x C"D", M' auf B'C', N' auf C D', 0' = P'E' × M'N'). Nach Auffindung von s verbinden wir P mit einem der Punkte E, F, G, etwa mit E, suchen den Punkt O PE × s auf und verbinden ihn mit Q; diese Linie schneidet das Viereck ABCD in den Punkten U, V; die Kante TE durchdringt demnach die andere Pyramide in den Punkten 1 = TE × SV und 6 = TEX SU. Ganz analog verfahren wir mit sämtlichen Kanten aus S sowohl wie aus T und erhalten so alle Ecken der Durchdringungsfigur; die Reihenfolge derselben ist nach dem früher Gesagten leicht anzugeben.

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=

T

×

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150. Das soeben geschilderte Verfahren läßt sich ganz in der gleichen Weise anwenden bei Durchdringung von Pyramide und

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