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QQ" 1e, und QX ist die Hypotenuse eines Dreiecks mit den Katheten Q"X und (Qx). Zur Bestimmung der übrigen Punkte kann man auch die Affinität von Q"R"S"T"U" und QR.S.TU benutzen.

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Um das Netz des einen Stückes des Prismas mit der Grundfläche ABCDE und der Endfläche QRSTU zu zeichnen, braucht man nur zu bedenken, daß die Seitenflächen Trapeze sind, deren Seiten man kennt. Im Trapez ABRQ ist AB = Ã ̧В。, QR = Q。RO, Ro AQAQ und ▲ ABR = ▲ BAQ R; fernerist: AQ: BR: CS: DT:EU = A"Q" : B"R" : C"S":D"T": E"U". In der Figur ist AQ, 2 A′′Q" und QQAE gewählt; ist dann ebenso AR1 = 2 A′′R", etc., so muß auch RR || AE sein, etc. Es mag noch erwähnt werden, daß auch die Fünfecke ABCDE und QRSTU affin sind, die Affinitätsachse ist die Schnittlinie ihrer beiden Ebenen, auch die Projektionen sind infolgedessen affin.

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142. Von einem schiefen Prisma soll das Netz entwickelt werden (Fig. 111). Seine Grundfläche ABCD mag in der Horizontalebene liegen und die Projektionen der Kante AK mögen gegeben sein, dann lassen sich die Projektionen des Prismas direkt zeichnen. Um das Netz zu bestimmen verfährt man am besten so, daß man einen Schnitt senkrecht zu den Kanten ausführt und dessen wahre Größe sucht. Dazu benutze man eine zu den Kanten parallele Vertikalebene als Seitenrißebene und zeichne den Seitenriẞ des Prismas. Die Ebene des Normalschnittes hat die Spuren e̟1 1 A'K', e̟2 1 A"K", ez 1 A""K" und der Seitenriß des Schnittpolygons fällt mit e zusammen, woraus sich auch seine anderen Projektionen ergeben. Um die wahre Größe von LMNO zu finden, legt man dieses Viereck um e, in П, nieder, was mit Hilfe des Seitenrisses in bekannter Weise geschieht. Die Vierecke ABCD, L'M'N'O', und L.M.NO, sind affin, e, ist für alle drei die gemeinsame Affinitätsachse.

Schneidet man die prismatische Fläche längs einer Kante auf und breitet sie in eine Ebene aus, so werden alle Kanten parallel und die Seiten des Normalschnittes bilden Stücke einer dazu senkrechten Geraden. Hiernach kann man das Netz zeichnen, indem man die Teilstücke der Kanten aus dem Seitenriß direkt entnehmen kann. In der Figur ist nur das Netz des einen Stückes des Prismas entworfen.

Handelt es sich nur um das Netz, so kann man die Projektionen des Normalschnittes fortlassen, da alsdann die Konstruktion seiner wahren Gestalt L.M.NO, genügt. Wollte man einen schiefen

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Schnitt zeichnen, so könnte man ganz wie vorher beim geraden Prisma verfahren.

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143. Eine beliebige Pyramide mit einer Ebene zu schneiden und ihr Netz zu entwickeln (Fig. 112). Wir wollen annehmen, daß die Basisebene ABCDE der Pyramide mit der Horizontalebene zusammenfällt; aus der Lage dieses Polygons und der der Spitze gehen die Projektionen der Pyramide hervor. Sind e1 und e, die Spuren der Schnittebene E, so kann man zunächst J = 48 × E AS in der bekannten Weise finden. Das Schnittpolygon JKLMN bestimmt sich dann dadurch, daß es mit ABCDE in perspektiver Lage ist (vergl. 165), d. h. daß die Schnittpunkte homologer Seiten AB × JK, BC × KL, CD × LM, .... auf e1 liegen, wie das ja klar

ist. Die Konstruktion läßt sich auch in der Weise ausführen, daß man eine horizontale Hilfsebene durch die Spitze & benutzt. E besitzt dann die Hilfsspur e, || e, und die Seitenfläche SAB die Hilfsspur SQAB und es ist J'K' die Verbindungslinie des Punktes eX AB mit e' × S'Q'; analog konstruiert man K'L' etc. Endlich könnte man bei der Konstruktion wieder eine Hilfsebene e, wählen und würde dann wie bei den vorausgehenden Aufgaben verfahren.

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Um das Netz zu zeichnen, legt man die Schnittflächen um ihre Basislinien nieder, also SAB um AB, SBC um BC, etc.; so entsteht SAB und JK und es ist J'K' × J„K

lygon JKLMN legt man um die Spur e,

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AB X e etc. Das Poin П1 nieder.

144. Den Stumpf einer vierseitigen Pyramide zu zeichnen, wenn das Basisviereck, sowie der Neigungswinkel a

der Schnittfläche gegen die Basis gegeben sind, und die Schnittfläche ein gegebenes Parallelogramm ist.

Um eine vierseitige Pyramide mit dem Scheitel S und dem Grundviereck ABCD in einem Parallelogramm JKLM zu schneiden, muß man die Schnittebene parallel den Geraden SU = SAB × SCD und SV SBC x SDA wählen (Fig. 113). Der Schnittpunkt von JK (in SAB) und LM (in SCD) muß nämlich auf SU liegen, und da JK || LM, so folgt weiter JK || SU || LM. Die Seiten des Parallelogramms JKLM sind paarweise den Geraden SU und SV parallel. Ko

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Die Diagonalen JL und KM des Parallelogramms müssen in den Ebenen SAC resp. SBD gelegen sein, also muß JL || SY und KM || SX sein, wo SY SAC × SUV und SX = SBD × SUV ist. Hiernach läßt sich nun die Konstruktion leicht durchführen. Mit ABCD ist auch U, V, X und Y bekannt. Denken wir uns die Ebene SUV um UV in П, umgelegt, so bestimmt sich So dadurch, daß ≤ US°V = [J1K11 und ▲ VS°X = ▲ L1K1M1 ist; S0 erscheint also als Schnittpunkt zweier Kreise, die über den Sehnen UV und VX resp. beschrieben

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sind und die bezüglichen Winkel als Peripheriewinkel über diesen Sehnen fassen. Mit Hilfe einer Ebene П, UV drehen wir jetzt SUV um UV, bis dieses Dreieck mit П1 den gegebenen Winkel a einschließt, dann ist S (S', S") die Spitze einer Pyramide, von der der gesuchte Pyramidenstumpf ein Teil ist. In der That schneidet jede zu USV parallele Ebene aus dieser Pyramide ein Parallelogramm, welches zu dem gegebenen JK111 ähnlich ist. Legt man nun noch die Seitenfläche SAB um АВ in П, um, so bestimmt sich JK in ihr dadurch, daß JK = JK, und JK || SU ist; dadurch ergiebt sich dann sofort J'K' und somit das Parallelogramm und die Spur der Schnittfläche in der Basisebene.

Die Aufgabe: eine abgestumpfte vierseitige Pyramide zu zeichnen, wenn die Vierecke in der Grund- und in der Schnittfläche, sowie der Neigungswinkel a dieser beiden Flächen bekannt sind, läßt sich ähnlich behandeln, doch ist hierbei auf die Darlegungen des folgenden Kapitels zu verweisen. Man bringt nämlich beide Vierecke auf der nämlichen Ebene in perspektive Lage und dreht dann die Ebene des einen Vierecks um die Achse der Perspektivität, bis sie mit der anderen Ebene den Winkel a einschließt; schließlich hat man nur noch die entsprechenden Ecken der beiden Vierecke zu verbinden.

Durchdringung zweier Vielflache.

145. Zwei Vielflache schneiden sich falls sie überhaupt ineinander eindringen in einem oder mehreren räumlichen Vielecken, deren Eckpunkte auf den Kanten der Vielflache liegen und in deren Seiten sich die Flächen beider durchschneiden. Die Seite eines Durchdringungspolygons verbindet entweder zwei Kanten des nämlichen Vielflachs oder eine Kante des einen Vielflachs mit einer des anderen. Im ersteren Falle müssen beide Kanten der nåmlichen Seitenfläche angehören und die nämliche Fläche durchstoßen, im zweiten Falle muß jede der beiden Kanten eine Fläche durchstoßen, welche von der anderen begrenzt wird. Besteht die ganze Durchdringungsfigur aus einem einzigen Polygon, so sagt man, daß die Vielflache ineinander eindringen, oder daß das eine ein Stück aus dem anderen ausschneide; bildet sie dagegen mehrere Polygone, so sagt man, das eine Vielflach durchdringe das andere.

Eine Seite der Durchdringungsfigur ist sichtbar, sobald sie in zwei sichtbaren Flächen gelegen ist, wenn man jedes Vielflach für sich allein betrachtet, in allen anderen Fällen ist sie un

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