Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

sich aber im Aufriß als eine Gerade, die auf D"J" in der Mitte senkrecht steht, auf der sich also M" befinden muß. Wählt man

M

B"

endlich auf dem Kreise durch ABC einen Punkt K so, daß M'K||x-Achse, so ist MK ein Kugelradius, dessen wahre Größe gleich M"K" ist, wonach sich die Kugelprojektionen direkt zeichnen lassen.

138. Einem Vierflach eine Kugel einzubeschreiben.

Der Kugelmittelpunkt muß von den vier Flächen des Körpers gleichen Abstand besitzen. Sind nun A, B, C, D wieder die vier Ecken und konstruiert man drei Ebenen, die die Flächenwinkel längs der Kanten AB, BC, CA halbieren, so hat ihr Schnittpunkt offenbar gleichen Abstand von den vier Seitenflächen, ist also der gesuchte Kugelmittelpunkt. Durch ihn gehen natürlich auch die Halbierungsebenen der Winkel an den anderen Kanten. Je nachdem man nun bei jenen Kanten die Innen- oder die Außenwinkel halbiert, erhält man acht verschiedene Lagen und demnach acht einbeschriebene Kugeln, die freilich die Flächen nicht alle von innen, sondern teilweise von außen berühren. Halbiert man überall die Innenwinkel, so liegt die einbeschriebene Kugel im Innern des Vierflachs.

Fig. 107.

Um diese Kugel zu finden, setzen wir wieder voraus, daß die Ecken ABC in der Grundrißebene liegen, dann können wir uns zur Konstruktion der Halbierungsebenen in den Kanten AB, BC, CA der folgenden Methode bedienen (Fig. 108). Die Halbierungsebene durch die Kante AB schließt mit der Seite ABD und der Grundrißebene gleiche Winkel ein, also auch mit jeder anderen Horizontalebene. Legt man demnach durch die Ecke D eine horizontale Hilfsebene, so wird dieselbe von jener Halbierungsebene in einer Hilfsspur c geschnitten (c|| AB), und es muß D von e und AB gleichen Abstand besitzen, d. h. es muß DH = DL sein, denn ▲ DHL ist gleich

c

schenklig wegen der Gleichheit der Winkel bei H und L. Nun bestimmt sich DH als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten D'H und D'E; man hat also nur D'L' = DL = DH auf die Verlängerung von HD' aufzutragen, um I und damit c zu finden. Analog verfährt man, um die Projektionen a' und ' der b' Hilfsspuren a und b bei den Halbierungsebenen durch die Kanten BC und CA zu gewinnen. Bezeichnen wir jetzt das Dreieck der drei Hilfsspuren mit 4,B11, so sind AД1, BB1, CC1 die gegenseitigen Schnittlinien unserer Halbierungsebenen und ihr gemeinsamer

D

H

Fig. 108.

Punkt ist der gesuchte Kugelmittelpunkt (0′ = A1‚' × BB1' × CC1 und O′′ auf A′′Â,"). Der Kugelradius ist gleich dem Abstande des Punktes O" von der x-Achse.

Für die Halbierungsebene des Außenwinkels an der Kante AB gilt wiederum die Beziehung, daß der Abstand ihrer Hilfsspur von D gleich DH ist, nur ist dieser Abstand in entgegengesetzter Richtung wie vorher aufzutragen. Hieraus folgt sofort die Konstruktion der anderen berührenden Kugeln.

Die horizontale Hilfsebene kann auch in beliebigem Abstand von der Grundrißebene gewählt werden. Dann hat man zunächst das Hilfsspurdreieck der Flächen DAB, DBC, DCA zu zeichnen, was eine geringe Abänderung obiger Konstruktion nach sich zieht.

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

8

Ebene Schnitte und Netze von Vielflachen, insbesondere Prismen und Pyramiden.

139. Ist ein ebenflächiger Körper durch seine Projektionen gegeben und soll man einen ebenen Schnitt durch ihn legen, so geht man meist von der Bestimmung der Ecken des Schnittpolygons aus; in speziellen Fällen ist es möglich, sogleich die Seiten desselben zu zeichnen.

T"

-b"

Um nun auf einer Polyëderkante JK ihren Schnittpunkt S mit der gegebenen Ebene E zu finden, benutzt man am besten zwei in E gelegene parallele Gerade, etwa zwei Hauptlinien a||b||T1. Man denke sich (Fig. 109) durch JK eine vertikale Hilfsebene, die a und b in P und Q resp. schneiden mag, dann ist: J"K" × P"Q" =S". Auf diese Weise findet man alle Ecken des Schnittpolygons. Von den Polyëderkanten sind natürlich nur die zu benutzen, die unverlängert die Ebene E wirklich treffen.

Fig. 109.

a"

a'

Um die wahre Gestalt der Seitenflächen und und der Schnittfläche des Körpers zu bestimmen, muß man ihre Ebenen zu einer Tafel parallel drehen (85) oder in die Tafel umlegen (80). Hierbei genügt es, die Endlage einer Ecke des betreffenden Polygons durch die Drehung zu bestimmen; die übrigen ergeben sich aus der Affinität, die zwischen seiner Projektion und Umlegung besteht. Legt man alle Seitenflächen eines Polyëders in einer Ebene nebeneinander, so daß jede mit der vorhergehenden eine Kante gemein hat, so erhält man ein Netz des Vielflachs.

[ocr errors]

Statt der Polyëderkanten kann man zuweilen direkt die Polyëderflächen mit der Ebene E schneiden und erhält so die Seiten des Schnittpolygons. Die weiteren Beispiele zeigen die Anwendung dieses Verfahrens auf Prismen und Pyramiden.

140. Eine prismatische Fläche wird von einer Geraden beschrieben, die an einem ebenen (offenen oder geschlossenen) Polygon so hingleitet, daß sie beständig die gleiche Richtung beibehält. Das Polygon heißt Leitlinie, die bewegliche Gerade wird im allgemeinen Erzeugende, im besonderen, wenn sie durch eine Ecke des Polygons geht, Kante genannt. Zwei parallele Ebenen schneiden die prismatische Fläche in kongruenten Polygonen, der von ihnen begrenzte Körper heißt Prisma. Jene Polygone heißen die Grundfläche oder Basis resp. die Endfläche, die übrigen Flächen (Parallelogramme) die Seitenflächen des Prismas. Stehen die Kanten senkrecht auf der Basis, so heißt das Prisma gerade, sonst heißt es schief. Der Abstand zwischen der Grund- und Endfläche heißt die Höhe.

Eine pyramidale Fläche entsteht, wenn eine Gerade an einem ebenen Polygon so hingleitet, daß sie dabei beständig durch einen festen Punkt geht. Das Polygon heißt wieder Leitlinie, die bewegliche Gerade wieder Kante oder Erzeugende, je nachdem sie durch eine Ecke des Polygons verläuft oder nicht; den festen Punkt nennt man Spitze oder Scheitel. Parallele Ebenen schneiden die Fläche in ähnlichen und ähnlich gelegenen Polygonen resp. Polygonstücken. Die pyramidale Fläche besteht aus zwei symmetrischen sich im Scheitel gegenüberstehenden Flächenteilen. Eine Ebene schneidet eine solche Fläche in einem Polygon, oder in mehreren Polygonstücken, je nachdem eine Parallelebene durch den Scheitel nur diesen selbst oder mehrere Erzeugende enthält.

Der von einer Ebene und einer pyramidalen Fläche begrenzte Körper heißt Pyramide. Erstere wird Grundfläche, die übrigen Flächen (Dreiecke) werden Seitenflächen genannt. Unter der Höhe der Pyramide versteht man das von der Spitze auf die Basisfläche gefällte Lot.

141. Ein reguläres Prisma, dessen Basis und Achse gegeben ist, zu zeichnen, sowie einen ebenen Schnitt desselben und das Netz des einen Teiles anzugeben (Fig. 110).

Bei einem regulären Prisma ist die Grundfläche ein reguläres Polygon und die Kanten stehen auf ihr senkrecht; die Verbindungslinie der Mittelpunkte der Grund- und Endfläche heißt die Achse, und ist offenbar zu den Kanten parallel. Sei JK die Achse und ABCDE das um die Hauptlinie h der Grundebene zu П, parallel gedrehte reguläre Polygon, so benutze man eine vertikale Hilfsebene durch JK und drehe sie parallel TT, um die Hauptlinie JL. Die mit der Hilfsebene gedrehte Achse des Prismas ist dann JK;

1

die Projektion von A,B,C,D,E auf die Hilfsebene fällt mit JK', diejenige von ABCDE mit AD▲ zusammen, wo ADA 1 JK und J'▲▲ = (A。 − h'). Aus der Hilfsprojektion des Basispolygons ergeben sich aber sofort sein Grund- und Aufriß (1⁄4 ̧' || h' und ' _ h' etc., Â ̧Ã'′ = (A′′ — J′′"L") etc.). Hierauf lassen sich die Projektionen des Prismas leicht vervollständigen.

[ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

Ist die Schnittebene E durch ihre Spuren e, e gegeben, so zeichne man zunächst in ihr eine Hauptlinie . Die Vertikalebene in B'M' schneidet E in der Geraden FG; R" ist also der Aufriß der auf BM gelegenen Ecke des Schnittpolygons. Hiernach lassen sich die Projektionen dieses Polygons QRSTU angeben; denn es ist H"S" || F"G" und He1 × C'N' etc. H' Um seine wahre Größe QRSTU zu finden, legen wir es um die Spur e, in П, um; dabei ist

=

« ZurückWeiter »