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Ebene Schnitte und Netze von Vielflachen, insbesondere Prismen

und Pyramiden.

139. Ist ein ebenflächiger Körper durch seine Projektionen gegeben und soll man einen ebenen Schnitt durch ihn legen, so geht man meist von der Bestimmung der Ecken des Schnittpolygons aus; in speziellen Fällen ist es möglich, sogleich die Seiten desselben zu zeichnen.

Um nun auf einer Polyederkante JK ihren Schnittpunkt S mit der gegebenen Ebene E zu finden, benutzt man am besten zwei in

E gelegene parallele Gerade, etwa zwei Hauptlinien a || b || TTj. Man denke sich (Fig. 109) durch JK eine vertikale Hilfsebene, die a und b in P und Q resp. schneiden mag, dann ist: J"K" x P"Q' = S". Auf diese Weise findet man alle Ecken des Schnittpolygons. Von den Polyederkanten sind natürlich nur die zu benutzen, die unverlängert die Ebene E wirklich treffen.

Um die wahre Gestalt der Seitenflächen und der Schnittfläche des Körpers zu bestimmen, muß man ihre Ebenen zu einer Tafel parallel drehen (85) oder in die Tafel umlegen (80). Hierbei genügt es, die Endlage einer Ecke des betreffenden Polygons durch die Drehung zu bestimmen; die übrigen ergeben sich aus der Affinität, die zwischen seiner Projektion und Umlegung besteht. — Legt man alle Seitenflächen eines Polyeders in einer Ebene nebeneinander, so daß jede mit der vorhergehenden eine Kante gemein hat, so erhält man ein Netz des Vielflachs.

Statt der Polyederkanten kann man zuweilen direkt die Polyederflächen mit der Ebene E schneiden und erhält so die Seiten des Schnittpolygons. Die weiteren Beispiele zeigen die Anwendung dieses Verfahrens auf Prismen und Pyramiden.

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140. Eine prismatische Fläche wird von einer Geraden beschrieben, die an einem ebenen (offenen oder geschlossenen) Polygon so hingleitet, daß sie beständig die gleicbe Richtung beibehält . Das Polygon heißt Leitlinie, die bewegliche Gerade wird im allgemeinen Erzeugende, im besonderen, wenn sie durch eine Ecke des Polygons geht, Kante genannt. Zwei parallele Ebenen schneiden die prismatische Fläche in kongruenten Polygonen, der von ihnen begrenzte Körper heißt Prisma. Jene Polygone heißen die Grundfläche oder Basis resp. die Endfläche, die übrigen Flächen (Parallelogramme) die Seitenflächen des Prismas. Stehen die Kanten senkrecht auf der Basis, so heißt das Prisma gerade, sonst heißt es schief. Der Abstand zwischen der Grund- und Endfläche heißt die Höhe.

Eine pyramidale Fläche entsteht, wenn eine Gerade an einem ebenen Polygon so hingleitet, daß sie dabei beständig durch einen festen Punkt geht. Das Polygon heißt wieder Leitlinie, die bewegliche Gerade wieder Kante oder Erzeugende, je nachdem sie durch eine Ecke des Polygons verläuft oder nicht; den festen Punkt nennt man Spitze oder Scheitel. Parallele Ebenen schneiden die Fläche in ähnlichen und ähnlich gelegenen Polygonen resp. Polygonstücken. Die pyramidale Fläche besteht aus zwei symmetrischen sich im Scheitel gegenüberstehenden Flächenteilen. Eine Ebene schneidet eine solche Fläche in einem Polygon, oder in mehreren Polygonstücken, je nachdem eine Parallelebene durch den Scheitel nur diesen selbst oder mehrere Erzeugende enthält .

Der von einer Ebene und einer pyramidalen Fläche begrenzte Körper heißt Pyramide. Erstere wird Grundfläche, die übrigen Flächen (Dreiecke) werden Seitenflächen genannt. Unter der Höhe der Pyramide versteht man das von der Spitze auf die Basisfläche gefällte Lot.

141. Ein reguläres Prisma, dessen Basis und Achse gegeben ist, zu zeichnen, sowie einen ebenen Schnitt desselben und das Netz des einen Teiles anzugeben (Fig. 110).

Bei einem regulären Prisma ist die Grundfläche ein reguläres Polygon und die Kanten stehen auf ihr senkrecht; die Verbindungslinie der Mittelpunkte der Grund- und Endfläche heißt die Achse, und ist offenbar zu den Kanten parallel. Sei JK die Achse und A0B0C0D0E0 das um die Hauptlinie h der Grundebene zu TTj parallel gedrehte reguläre Polygon, so benutze man eine vertikale Hilfsebene durch JK und drehe sie parallel T\x um die Hauptlinie JL. Die mit der Hilfsebene gedrehte Achse des Prismas ist dann J'KA;

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Ist die Schnittebene E durch ihre Spuren ex, e2 gegeben, so zeichne man zunächst in ihr eine Hauptlinie i. Die Vertikalebene in B'M' schneidet E in der Geraden FG; R" ist also der Aufriß der auf BM gelegenen Ecke des Schnittpolygons. Hiernach lassen sich die Projektionen dieses Polygons QRSTU angeben; denn es ist E"S" || F"G" und H' = ex x CN' etc. Um seine wahre Größe Q0R0S0T0U0 zu finden, legen wir es um die Spur e2 in TT2 um; dabei ist Q0Q" J_ e2 und Q0X ist die Hypotenuse eines Dreiecks mit den Katheten Q"X und (Q' H x). Zur Bestimmung der übrigen Punkte kann man auch die Affinität von Q"B'S"T"U" und Q0R0S0T0U0 benutzen.

Um das Netz des einen Stückes des Prismas mit der Grundfläche ABCBE und der Endfläche QRSTU zu zeichnen, braucht man nur zu bedenken, daß die Seitenflächen Trapeze sind, deren Seiten man kennt. Im Trapez ABRQ ist AB = A0B0, QR = Q0R0, AQ=AAQAund l_ ABR = z_ BAQ = Ä;fernerist: AQ:BR-.CS: BT-.Eü = A'Q": B''R": C"S": B"T": E"U". In der Figur ist AQx = 2 A"Q" und QxQ,\\AE gewählt; ist dann ebenso ARx = 2A"R", etc., so muß auch RxR || AE sein, etc. Es mag noch erwähnt werden, daß auch die Fünfecke ABCBE und QRSTU affin sind, die Affinitätsachse ist die Schnittlinie ihrer beiden Ebenen, auch die Projektionen sind infolgedessen affin.

142. Von einem schiefen Prisma soll das Netz entwickelt werden (Fig. 111). Seine Grundfläche ABCB mag in der Horizontalebene liegen und die Projektionen der Kante AK mögen gegeben sein, dann lassen sich die Projektionen des Prismas direkt zeichnen. Um das Netz zu bestimmen verfährt man am besten so, daß man einen Schnitt senkrecht zu den Kanten ausführt und dessen wahre Größe sucht. Dazu benutze man eine zu den Kanten parallele Vertikalebene als Seitenrißebene und zeichne den Seitenriß des Prismas. Die Ebene des Normalschnittes hat die Spuren «j J_ A'K', e2 J_ A"K", es ± A"'K"' und der Seitenriß des Schnittpolygons fällt mit e3 zusammen, woraus sich auch seine anderen Projektionen ergeben. Um die wahre Größe von LMNO zu finden, legt man dieses Viereck um ex in TTj nieder, was mit Hilfe des Seitenrisses in bekannter Weise geschieht. Die Vierecke ABCB, L'M'N'O', und L0MoN0O0 sind affin, ex ist für alle drei die gemeinsame Affinitätsachse.

Schneidet man die prismatische Fläche längs einer Kante auf und breitet sie in eine Ebene aus, so werden alle Kanten parallel und die Seiten des Normalschnittes bilden Stücke einer dazu senkrechten Geraden. Hiernach kann man das Netz zeichnen, indem man die Teilstücke der Kanten aus dem Seitenriß direkt entnehmen kann. In der Figur ist nur das Netz des einen Stückes des Prismas entworfen.

Handelt es sich nur um das Netz, so kann man die Projektionen des Normalschnittes fortlassen, da alsdann die Konstruktion seiner wahren Gestalt L0M0N0O0 genügt. Wollte man einen schiefen Schnitt zeichnen, so könnte man ganz wie vorher beim geraden Prisma verfahren.

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Fig. 111.

143. Eine beliebige Pyramide mit einer Ebene zu schneiden und ihr Netz zu entwickeln (Fig. 112). Wir wollen annehmen, daß die Basisebene ABCBE der Pyramide mit der Horizontalebene zusammenfällt; aus der Lage dieses Polygons und der der Spitze gehen die Projektionen der Pyramide hervor. Sind ex und e2 die Spuren der Schnittebene E, so kann man zunächst / = AS x E in der bekannten Weise finden. Das Schnittpolygon JKLMN bestimmt sich dann dadurch, daß es mit ABCBE in perspektiver Lage ist (vergl. 165), d. h. daß die Schnittpunkte homologer Seiten AB x JK, BC x KL, CB x LM, .... auf ex liegen, wie das ja klar

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