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auch die Größe des gesuchten Tetraeders fixiert. ÄB'CD und A"B"C"B" sind nun dadurch als orthogonale Projektionen des nämlichen Tetraeders charakterisiert, daß die Linien ÄA", B'B", CC", B'B" senkrecht zu einer Geraden, nämlich der ar-Achse, stehen, also untereinander parallel sind. In dem Schnittpunkte der Geraden A"B" und C"B" fallen die Aufrisse F"=G" zweier Punkte zusammen, deren Grundrisse F ' und G' resp. auf Äß' und CB' liegen; dabei ist: ÄF': F'B'= A"F" : F"B" und CG': G'B' = C"G": G"B". Ist A2B2 x C2D2 = F2= G2 und sind Fx und Gx die homologen Punkte zu F und G' in der Figur AxBxCxBx, so folgen aus jenen Relationen die weiteren: AxFx: FxBx = AiF2: F2B2 und C^-.G^ = C2G2: G2B2, wonach sich Fx und Gx direkt zeichnen lassen. Legt man nun die Figur AxBxCxBxFxGx so in die Grundrißebene, daß FxGx J_ x-Achse wird, so stellt sie den gesuchten Grundriß unseres Tetraeders vor. Um den Aufriß zu finden, ziehe man durch D' eine Parallele zu F'G', die ÄB' in FL' schneiden mag und bestimme H2 auf A2B2 gemäß der Relation: A2H2: H2B2 = ÄH': H'B'. Nun gebe man der Figur A2B2C'2B2F2H2 eine solche Lage, daß B2H2 in die Verlängerung von B'H' fällt, dann ist der gesuchte Aufriß zu dieser Figur ähnlich und ähnlich gelegen. Man hat nur B" = B2 zu wählen und auf den Geraden B2A2, B2B2 und B2C2 die Punkte A"B" und C" beziehentlich so zu bestimmen, daß A'A", B'B", CC" senkrecht zur ar-Achse werden.

135. Einen Würfel von gegebener Kantenlänge zu zeichnen, wenn man die Richtungen der ersten Projektionen seiner Kanten kennt.

Sei A eine Ecke und seien AB, AC, AB die drei von dieser Ecke ausgehenden Kanten des Würfels, so mögen A und die Richtungen b', c', d', auf denen die Punkte B', C, B' gelegen sind, gegeben sein (Fig. 105). Da nun die Kante AB auf der Seitenfläche ACB senkrecht steht, so steht b' auf der ersten Spurlinie von ACB senkrecht. Analoges gilt für die beiden anderen Kanten. Das Spurendreieck BxCxBx in einer horizontalen Hilfsebene ist also so beschaffen, daß b', c, d' seine Höhen sind; dabei kann ein Spurpunkt, etwa Bv noch beliebig gewählt werden, was einem bestimmten Abstand der Ecke A von der Hilfsebene entspricht. Legt man jetzt die Ebene BxACx um die Spur BxCx in die Hilfsebene um, so erhält man -Öj^cj, wo AA0 J_ -sjcj und B^A^ J_ CxA0; ganz ebenso findet man CxA°Bx durch Umlegen der Ebene CxADv . Auf A0Bx, A^ resp.

und A°Bx trägt man die Kantenlänge des Würfels gleich A0B0 = A0C0 = A°C° = A°B° auf und gewinnt dann durch Zurückdrehen der umgelegten Ebenen B', C, B' und damit die erste Projektion des Würfels. Um den Aufriß des Würfels zu zeichnen, hat man noch die Abstände der Ecken ABCB von der Hilfsebene zu bestimmen, was in bekannter Weise geschieht; so ergiebt sich z. B. der Abstand AA0 des Punktes A von der Hilfsbene als Kathete , eines rechtwinkli\ genDreiecks, dessen , Hypotenuse = A0J , und dessen andere / Kathete = AJ ist. 136. Einen Würfel zu zeichnen, wenn man die Längen der ersten Projektionen seiner Kanten kennt.schenklig wegen der Gleichheit der Winkel bei H und L. Nun bestimmt sich BH als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten B'H und B"E; man hat also nur B'L' = BL = BH auf die Verlängerung von HB' aufzutragen, um L' .und damit e zu finden. Analog verfährt man, um die Projektionen a und b' der Hilfsspuren a und b bei den Halbierungsebenen durch die Kanten BC und CA zu gewinnen. Bezeichnen wir jetzt das Dreieck der drei Hilfsspuren mit A^BxCv so sind AAv BBv CCx die gegenseitigen Schnittlinien unserer Halbierungsebenen und ihr gemeinsamer

Eine Ecke des Würfels, etwa A, verlegen wir in die Horizontalebene, sind dann B, C und B die benachbarten Ecken und B', C, B' ihre Projektionen, so ist:

AB'2 + BB'2 = AC2 + CO'2 = AD'2 + BB'2 = k2, wo k die Länge der Kanten des Würfels bedeutet. Nun läßt sich aber auch leicht zeigen, daß:

BB'2 + CC2 + BB'2 = A2 ist. Errichtet man nämlich in A eine Vertikale, macht sie = k und fällt von ihrem Endpunkte Lote auf die Kanten AB, AC, AB, so werden auf ihnen Strecken abgeschnitten, welche resp. gleich BB', CC, BB' sind. Diese in A zusammenstoßenden Strecken bestimmen ein rechtwinkliges Parallelepipedon, dessen Diagonale eben jene Vertikale h ist. Für ein solches Parallelepipedon gilt aber der Satz, daß die Summe der Quadrate dreier zu einander rechtwinkliger Kanten gleich dem Quadrate der Diagonale ist.

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Fig. 105.

Aus jenen Relationen folgt nun die weitere: AB'2 + AC2 + AB'2 = 2 k2, die unmittelbar eine Konstruktion der Kantenlänge k ermöglicht, wie dies Fig. 106 zeigt (wobei AB' = b, AC = c, AB' = d). Hiermit kennt man auch sofort die Neigungswinkel, die die Kanten AB, AC, AB mit der Horizontalebene einschließen. Nimmt man nun eine Aufrißebene zu Hilfe, die einer Kante, etwa AB, parallel ist und dreht die beiden anderen Kanten AC und AB um eine in A vertikale Achse, bis sie zur Aufrißebene parallel werden, so erhält man A"B", A"CA", A"BA', AB' = b, ACA' = c, ABA = d. Dreht man jetzt die beiden Kanten AC und AB wieder zurück, bis sie ihre richtige räumliche Lage eingenommen haben, d. h. bis sie beide auf AB senkrecht stehen, so erhält man die gewünschten Projektionen A"C", A" B" (wo CA'C" || BA"B" || x - Achse, A"C"±A"B-, A"B"± A"B") und AC, AB' (wo AC = ACA', AB' = ABA'). Die weiteren Kanten des Würfels lassen sich dann unmittelbar in ihren Projektionen zeichnen.

137. Einem Vierflach eine Kugel umzuschreiben.

Der Einfachheit halber mögen drei Ecken des Vierflachs ABCB in der Horizontalebene gelegen sein (Fig. 107). Dann gehört der Kreis durch die Ecken ABC der Kugel an und ihr Mittelpunkt M liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M' dieses Kreises. Wählt man nun J auf diesem Kreise so, daß -ö'</|| x-Achse, so ist BJ eine zur Aufrißebene parallele Sehne der Kugel. Nun geht jede in der Mitte einer Kugelsehne zu ihr senkrechte Ebene durch den Kugelmittelpunkt. Die Mittelebene der Sehne BJ projiziert

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Pig. 106.

sich aber im Aufriß als eine Gerade, die auf B"J" in der Mitte senkrecht steht, auf der sich also M" befinden muß. Wählt man

flächen, ist also der gesuchte Kugelmittelpunkt. Durch ihn gehen natürlich auch die Halbierungsebenen der Winkel an den anderen Kanten. Je nachdem man nun bei jenen Kanten die Innen- oder die Außenwinkel halbiert, erhält man acht verschiedene Lagen und demnach acht einbeschriebene Kugeln, die freilich die Flächen nicht alle von innen, sondern teilweise von außen berühren. Halbiert man überall die Innenwinkel, so liegt die einbeschriebene Kugel im Innern des Vierflachs.

Um diese Kugel zu finden, setzen wir wieder voraus, daß die Ecken ABC in der Grundrißebene liegen, dann können wir uns zur Konstruktion der Halbierungsebenen in den Kanten AB, BC, CA der folgenden Methode bedienen (Fig. 108). Die Halbierungsebene durch die Kante AB schließt mit der Seite ABB und der Grundrißebene gleiche Winkel ein, also auch mit jeder anderen Horizontalebene. Legt man demnach durch die Ecke B eine horizontale Hilfsebene, so wird dieselbe von jener Halbierungsebene in einer Hilfsspur c geschnitten (c\\AB), und es muß B von c und AB gleichen Abstand besitzen, d. h. es muß BH = BL sein, denn A BHL ist gleich

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Punkt O ist der gesuchte Kugelmittelpunkt {& = AA^ x BB/ x CC^ und O" auf A"Ax"). Der Kugelradius ist gleich dem Abstande des Punktes O" von der x- Achse.

Für die Halbierungsebene des Außenwinkels an der Kante AB gilt wiederum die Beziehung, daß der Abstand ihrer Hilfsspur von D gleich BH ist, nur ist dieser Abstand in entgegengesetzter Richtung wie vorher aufzutragen. Hieraus folgt sofort die Konstruktion der anderen berührenden Kugeln.

Die horizontale Hilfsebene kann auch in beliebigem Abstand von der Grundrißebene gewählt werden. Dann hat man zunächst das Hilfsspurdreieck der Flächen BAB, BBC, BCA zu zeichnen, was eine geringe Abänderung obiger Konstruktion nach sich zieht.

Röhn U. Papperitz. I. 2. Aufl. 8

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