71

der

Wiederum kann man gewisse Streckenbeziehungen zur Konstruktion von Grund- und Aufriß verwenden. Ist nämlich Radius des Kreises durch ABCG'... und r2 der des Kreises durch D'E'H'J'..., so geht die Beziehung: O'B: O'H' BC: H'K' über

:

=

Fig. 103.

2

in: r1r, s:d, wo s und d Seite und Diagonale eines regulären Fünfecks sind. Da M'C=r, und M'C: H'B=d: sr2r1 = T1:72-717 folgt: H'Br2- r1, und da die Kanten JK und HB aufeinander senkrecht stehen, ergiebt sich wie früher: H"B" = J'K' : J"K" H'B = T2- T1⋅

=

und

133. Außer den angeführten gewöhnlichen regelmäßigen

Vielflachen giebt es noch verschiedene sternförmige regelmäßige Vielflache. Diese Vielflache sind dadurch charakterisiert, daß entweder die Seitenflächen reguläre Sternfünfecke oder die Ecken reguläre Sternfünfkante sind; sie lassen sich aus den gewöhnlichen Vielflachen ableiten, indem man ihre Ecken entweder wie die des Zwölf- oder wie die des Zwanzigflachs anordnet, aber in anderer Reihenfolge durch Kanten und Flächen verbindet. Sie sollen hier nicht weiter untersucht werden, vielmehr mag es genügen, auf die bezügliche Speziallitteratur hinzuweisen *).

134. Es mögen hier noch einige Fragen besprochen werden, die sich auf die einfachsten Vielflache, nämlich Tetraëder und Würfel beziehen.

Von einem Tetraëder kennt man beide Projektionen, jedoch nur der Form nicht der Lage und Größe nach; dasselbe sei zu zeichnen. Die gesuchten Projektionen nennen wir C2

B

2

Fig. 104.

2 2

wie gewöhnlich A'B'C'D' und A"B"C"D"; die gegebenen Figuren seien A,B,C,D, und A,B,C,D, und zwar setzen wir voraus, daß: ABCD2~ A"B"C"D" und A,B,C,D1 A'B'C'D' (Fig. 104). In der That können wir den Grundriß des Tetraëders auch der Größe nach wählen, also kongruent zu 41В1С1D1 annehmen; damit ist dann

2

1

2

=

1 19

2

2

A'B'C'D' und

auch die Größe des gesuchten Tetraëders fixiert. A"B"C"D" sind nun dadurch als orthogonale Projektionen des nämlichen Tetraëders charakterisiert, daß die Linien A'A', BB", C'C", D'D" senkrecht zu einer Geraden, nämlich der x-Achse, stehen, also untereinander parallel sind. In dem Schnittpunkte der Geraden A"B" und "D" fallen die Aufrisse F"G" zweier Punkte zusammen, deren Grundrisse F" und G' resp. auf A'B' und C'D' liegen; dabei ist: AF: F'B' A"F":F"B" und C'G': G'D' = C"G" : G"D". Ist A2 B2 X C2D2 = F2 = G2 und sind Fund G1 die homologen × 2 Punkte zu Fund G' in der Figur 41 B11D1, so folgen aus jenen Relationen die weiteren: AF: F1B1 = AF2: FB2 und CG1: G1D1 = C2G2: G2D2, wonach sich F1 und G1 direkt zeichnen lassen. Legt man nun die Figur A,B,C,D,F,G1 so in die Grundrißebene, daß FG1x-Achse wird, so stellt sie den gesuchten Grundriß unseres Tetraëders vor. Um den Aufriß zu finden, ziehe man durch D' eine Parallele zu F'G', die A'B' in H' schneiden mag und bestimme H2 auf A, B, gemäß der Relation: 4,H,: H,B2 = A'H': H'B'. Nun ДB2 2 gebe man der Figur A,B,C,D,F2H2 eine solche Lage, daß D2H2 in die Verlängerung von D'H' fällt, dann ist der gesuchte Aufriß zu dieser Figur ähnlich und ähnlich gelegen. Man hat nur D′′ = D2 zu wählen und auf den Geraden D12, D2B2 und DC, die Punkte A"B" und C" beziehentlich so zu bestimmen, daß AA", B'B", C'C" senkrecht zur z-Achse werden.

=

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

135. Einen Würfel von gegebener Kantenlänge zu zeichnen, wenn man die Richtungen der ersten Projektionen seiner Kanten kennt.

Sei A eine Ecke und seien AB, AC, AD die drei von dieser Ecke ausgehenden Kanten des Würfels, so mögen A und die Richtungen b', c', d', auf denen die Punkte B', C', D' gelegen sind, gegeben sein (Fig. 105). Da nun die Kante AB auf der Seitenfläche ACD senkrecht steht, so steht b' auf der ersten Spurlinie von ACD senkrecht. Analoges gilt für die beiden anderen Kanten. Das Spurendreieck B11D1 in einer horizontalen Hilfsebene ist also so beschaffen, daß b, c, d' seine Höhen sind; dabei kann ein Spurpunkt, etwa B1, noch beliebig gewählt werden, was einem bestimmten Abstand der Ecke A von der Hilfsebene entspricht. Legt man jetzt die Ebene B1AC1 um die Spur B,C, in die Hilfsebene um, so erhält man B14C, wo Ado 1 B1C1 und B14, 1 C14; ganz ebenso findet man C14°D1 durch Umlegen der Ebene CAD1. Auf AB1, AC1 resp. A°C, und AD, trägt man die Kantenlänge des Würfels gleich AB。 AC 4°C 4°Do auf und gewinnt dann durch Zurück

=

=

=

drehen der umgelegten Ebenen B', C', D' und damit die erste Projektion des Würfels. Um den Aufriß des Würfels zu zeich

verlegen wir in die Horizontalebene, sind dann B, C und D die benachbarten Ecken und B', C', D' ihre Projektionen, so ist:

AC'2

AB'2 + BB'2 = AC′2 + CC'2 = AD'2 + DD'2 = k2,

wok die Länge der Kanten des Würfels bedeutet. Nun läßt sich aber auch leicht zeigen, daß:

BB'2 + CC12 + DD'2 = k2

ist. Errichtet man nämlich in A eine Vertikale, macht sie = k und fällt von ihrem Endpunkte Lote auf die Kanten AB, AC, AD, so werden auf ihnen Strecken abgeschnitten, welche resp. gleich BB', CC, DD' sind. Diese in A zusammenstoßenden Strecken bestimmen ein rechtwinkliges Parallelepipedon, dessen Diagonale eben jene Vertikale k ist. Für ein solches Parallelepipedon gilt aber der Satz, daß die Summe der Quadrate dreier zu einander rechtwinkliger Kanten gleich dem Quadrate der Diagonale ist.

c, AD' = d). Hiermit

die unmittelbar eine Konstruktion der Kantenlänge k ermöglicht, wie dies Fig. 106 zeigt (wobei AB' = b, AC' = c, AD' = kennt man auch sofort die Neigungswinkel, die die Kanten AB, AC, AD mit der Horizontalebene einschließen. Nimmt man nun eine Aufriẞebene zu Hilfe, die einer Kante, etwa AB, parallel ist und dreht die beiden anderen Kanten AC und AD um eine in A vertikale Achse, bis sie zur Aufrißebene parallel werden, so erhält man A"B", "C", A"D", AB′ = b, AC' ' = c, ADd. Dreht man jetzt die beiden Kanten AC und AD wieder zurück, bis sie ihre richtige räumliche Lage eingenommen haben, d. h. bis sie beide auf AB senkrecht stehen, so erhält man die gewünschten Projektionen "C", "D" (wo CA"C" || D "D" || x - Achse,

A"C"LA"B", A′′ D′′ 1 A′′B′′)

=

B

Fig. 106.

und AC", AD (wo AC' = AC, AD' AD). Die weiteren Kanten des Würfels lassen sich dann unmittelbar in ihren Projektionen zeichnen.

137. Einem Vierflach eine Kugel umzuschreiben.

Der Einfachheit halber mögen drei Ecken des Vierflachs ABCD in der Horizontalebene gelegen sein (Fig. 107). Dann gehört der Kreis durch die Ecken ABC der Kugel an und ihr Mittelpunkt M liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M' dieses Kreises. Wählt man nun auf diesem Kreise so, daß D'J|| x-Achse, so ist DJ eine zur Aufrißebene parallele Sehne der Kugel. Nun geht jede in der Mitte einer Kugelsehne zu ihr senkrechte Ebene durch den Kugelmittelpunkt. Die Mittelebene der Sehne DJ projiziert