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um ax in die Grundrißebene die Lage AB0E0F0C0, wo Je^fjioj. Da B'F0 J_ öj , so kann man B' und ebenso C, B' angeben. Benutzt man eine Hilfsebene TT3 J_ ax im Punkte X, so erbält man in ihr als Seitenansicht des Fünfecks ABEFC die Gerade XB'"E"', wo XB'" = XB0

und XE"' gleich dem Lot vonXauf E0F0 ist^'.S'll aj)E'F' ist dann parallel zu ax und gleich E0F0 und geht verlängert durch E'".

Ganz in gleicher Weise finden sich die ersten Projektionen der Eckpunkte G, H, J, K; die 10 übrigen Eckpunkte liegen diesen diametral gegenüber und sind dadurch direkt gegeben, somit ist der Grundriß des Zwölfflachs bestimmt. Zur Kontrolle dient, daß sich B'E' und B0E0 auf ax schneiden müssen. Um den Aufriß zu zeichnen, suchen wir zuerst noch den Seitenriß O"' von O. O liegt aber senkrecht über dem Mittelpunkt Z des Fünfecks ABEFC, also ist 0"Z"' J_ XZ"' und XZ"' = AZ0. Da man nun Grundriß und Seitenriß von B, E und O kennt, kann man unmittelbar ihre Aufrisse finden und hieraus, wie leicht zu erkennen, die Aufrisse sämtlicher Ecken und so den Aufriß des Zwölfflachs selbst.

Auch hier mögen wieder die Beziehungen zwischen den einzelnen Strecken erwähnt werden. Wenn wir, wie vorher, mit.? und d Seite und Diagonale des Fünfecks bezeichnen, so ist d: s = s: d s = G'B': CA = G'S': H'I/, da sich die Projektionen paralleler Strecken, wie die Strecken selbst verhalten. Nun ist: B'S' = CA, also *: d = B'S': G'B' sowie s:d - s = CA: G'S', und durch Einfügen in die obige Relation kommt: d:s:d s = CA: G'S' :H'L'. Nimmt man CA an, so kann man hiernach die anderen Strecken finden. Die Diagonalen MB und BG liegen wieder in einer Vertikal

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Fig. 101.

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ebene tind stehen aufeinander senkrecht (vergl. 141), folglich ist (M" H x) - {B" _\x) = B'G' und (ö" Ha;) - (2/' H *) = ifcf'i)'. Die Kanten ^Cund Z/Z sind zu jenen Diagonalen parallel, also ist auch: (C"_\ x) = H'L' und (Z"H x) - {H"_\ x) = AG.

131. Konstruktion des Zwanzigflachs. Beim Zwanzigflach stoßen in jeder Ecke fünf Kanten zusammen, die ein reguläres Fünf kant, und deren Endpunkte ein reguläres Fünfeck bildenJe zwei aufeinanderfolgende Seiten des Fünfecks sind zwei Kanten des Zwanzigflachs, die nicht der nämlichen Seitenfläche angehören. Umgekehrt bilden je zwei von einer Ecke

ausgehende Kanten,

die nicht der gleichen
Seitenfläche angehö-
ren , zwei Seiten
eines regulären Fünf-
ecks, dessen andere
Seiten ebenfalls Kan-
ten des Zwanzig- 0___
flachs sind. Ganz
ähnlich wie beim
Zwölfflach zeigt man
auch hier, daß die
Eckpunkte paar-
weise auf sechs
Achsen liegen, Fi8- 102-

die durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehen, daß dieser Mittelpunkt senkrecht über der Mitte jeder Seitenfläche liegt und daß diese paarweise parallel sind.

Wählt man bei der Darstellung eine Achse etwa AQ senkrecht zum Grundriß, so bilden die Endpunkte der Kanten, die von A ausstrahlen, ein horizontales Fünfeck, ebenso die der von Q ausstrahlenden Kanten. Die Eckpunkte beider Fünfecke liegen sich diametral gegenüber, wonach sich der Grundriß sofort ergiebt(Fig. 102). Um den Aufriß zu zeichnen, braucht man nur noch die Abstände der beiden horizontalen Fünfecke von der Grundrißebene zu kennen. Sind nun die Kanten aus A der Reihe nach AB, AC, AB, AH, AF, und ist öj die erste Spur der Fläche ABC, so ist ax J_ AE'. Durch Umlegen von A ABC um ax erhält man das gleichseitige Dreieck AB0C0. In einer Hilfsebene TT3 J_ ax im Punkte X sucht man den Seitenriß B'" von B (XB0 = XB'") und den Seitenriß Z"' von dem Mittelpunkte Z des A ABC (AZ0 = XZ"'). Da der Mittelpunkt O des Zwanzignachs senkrecht über der Mittel des A ABC liegt, so \&tZ"'O"' _L XB'". Aus Grund- und Seitenriß von B und O findet man aber die Aufrisse dieser beiden Punkte und damit die Aufrisse aller 12 Eckpunkte. Man hätte bei der Konstruktion auch das ebene reguläre Fünfeak mit den Seiten AB und AB, dessen erste Spurlinie auf AC senkrecht steht, benutzen können, dann wäre die Konstruktion von O überflüssig geworden. Vielflachen giebt es noch verschiedene sternförmige regelmäßige Vielflache. Diese Vielflache sind dadurch charakterisiert, daß entweder die Seitenflächen reguläre Sternfünfecke oder die Ecken reguläre Sternfünf kante sind; sie lassen sich aus den gewöhnlichen Vielflachen ableiten, indem man ihre Ecken entweder wie die des Zwölf- oder wie die des Zwanzigflachs anordnet, aber in anderer Reihenfolge durch Kanten und Flächen verbindet. Sie sollen hier nicht weiter untersucht werden, vielmehr mag es genügen, auf die bezügliche Speziallitteratur hinzuweisen*).

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Die Höhe der Ecken über der Horizontalebene bestimmen sich auch durch folgende Betrachtung. Es ist AD'± B'F' und folglich auch AB J_ BF, da BF horizontal; analog ist AE ± BG, da diese Kanten in der gleichen gegenseitigen Lage sich befinden wie jene. Man folgert daraus (wie in 129), daß A"E'= D'G' und B"G"= AE'.

132; Legt man bei der Darstellung eine Seitenfläche des Zwanzigflachs etwa A ABC in die Grundrißebene hinein, und sind die Kanten aus A der Reihe nach AB, AC, AB, AE, AL, so läßt sich die räumliche Lage von AB, AE, AL in folgender Weise bestimmen (Fig. 103). AB, AC, AB bilden ein Dreikant, für das i_ BAC = i_ CAB = | R und i_ BAB = £ R ist, da ja nach Früherem BA und AB zwei Seiten eines regulären Fünfecks sind; ganz ebenso' bestimmt sich die Kante AL. Auch die Kanten AB, AC, AE bilden ein Dreikant, für das i_ BAC = f R und z_ CAE = l_ BAE = f R ist. Man zeichnet zunächst das um AB umgelegte Kantenfünfeck BAE0G0B0 und dreht es um AB zurück, so daß E' auf die Halbierungslinie des i_ BAC zu liegen kommt; durch Affinität findet man auch G' und H' (H'B = E'A, G0E0 x G'E' auf AB). Beachtet man noch, daß die Ecken paarweise diametral einander gegenüberliegen, so kann man den Grundriß vollständig zeichnen. Im Aufriß liegen die 12 Ecken zu je drei auf vier Geraden parallel zur ar-Achse, deren Abstände noch zu konstruieren sind. Dies geschieht wieder durch Benutzung einer Hilfsebene TT3 ± AB im Punkte X, in der man die Seitenrisse E" und G"' zeichnet.

Anstatt das Fünfeck BAEGH zu benutzen, hätte man auch das Fünfeck CALHJ bei der Konstruktion verwerten können.

Wiederum kann man gewisse Streckenbeziehungen zur Konstruktion von Grund- und Aufriß verwenden. Ist nämlich rx der Radius des Kreises durch ABCG' . . . und r2 der des Kreises durch D'E'H'J' so geht die Beziehung: O'B-.O'H'= BC-.E'K' über

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134. Es mögen hier noch einige Fragen besprochen werden, die sich auf die einfachsten Vielflache, nämlich Tetraeder und Würfel beziehen.

Von einem Tetraeder kennt man beide Projektionen, jedoch nur der Form nicht der Lage und Größe nach; dasselbe sei zu zeichnen. Die gesuchten Projektionen nennen wir

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