liche Ecke bilden. Durch O geht demnach jede Ebene, die in der Mitte irgend einer Kante der genannten drei Fünfecke auf dieser senkrecht steht. Daraus geht weiter hervor, daß durch O die Mittelsenkrechte jeder Seitenfläche geht, die an zwei jener drei Fünfecke angrenzt. Durch Fortsetzung dieser Betrachtung folgt: O liegt über den Mitten aller Seitenflächen und ist von allen Ecken des Zwölfflachs gleich weit entfernt, man nennt deshalb O den Mittelpunkt. Die Seitenflächen sind paarweise parallel und die Ecken liegen paarweise auf 10 Achsen durch O. Man überzeugt sich hiervon leicht, wenn man Winkel, der R (oder ein Vielfaches davon) beträgt. Es kommt dann das Zwölfflach mit sich selbst zur Deckung; die Fläche senkrecht zur Drehachse geht in sich selbst, von den fünf angrenzenden Flächen geht jede in die nächste über. Gleiches gilt von den fünf Flächen, die an jene anstoßen, so daß die letzte Fläche bei der Drehung in sich übergehen, also auf der Drehachse senkrecht stehen muß. Bei der Darstellung mag eine Fläche in den Grundriß fallen, eine zweite ist dann hierzu parallel und erscheint in der Projektion wie diese als reguläres, aber um 2 R gedrehtes Fünfeck. Die der ersteren anliegenden 5 Flächen werden sich dann im Grundriß als kongruente Fünfecke projizieren, ebenso die 5 Flächen, die an die zweitgenannte angrenzen (Fig. 100). = Ο Die Horizontalprojektionen der 20 Eckpunkte kommen auf zwei koncentrische Kreise zu liegen. Das Basisfünfeck sei ABCDE, ein angrenzendes ABHGF. Um seine Projektion zu erhalten, denke man sich dasselbe um AB gedreht, bis es mit dem Basisfünfeck zusammenfällt und HGF in CDE zu liegen kommen. BH und ebenso BH' schließt mit BA und BC gleiche Winkel ein und, da HH' AB, ist H' bestimmt; hiermit sind alle Ecken im Grundriß gefunden. Als Kontrolle dient der Umstand, daß sich GH, DC und G'H' auf der Verlängerung von AB schneiden müssen. Im Aufriß liegen die Ecken zu je 5 auf vier Parallelen zur x-Achse, deren Abstände man durch Bestimmung der Abstände HH' und GG' gewinnt. Zu ibrer Ermittelung wähle man eine Hilfsebene ПAB und zeichne in ihr eine Seitenansicht des Fünfecks ABHGF, das hier als Gerade erscheint (XH"" XH, XG"" GY), wo dann H""H' und G"G1 die gesuchten Abstände sind (H"'H' || G′′'G' || BA). Selbstverständlich ist von den 4 Parallelen die zweite ebensoweit entfernt von der ersten, wie die dritte von der vierten. = = = 3 Zur Konstruktion können auch die folgenden Beziehungen verwendet werden. Es sei Es sei r, der Radius des Kreises ABCDES'T'... und r2 der des Kreises durch F'G'H'J'K'. . . .; ferner sei s die Seite und d die Diagonale des Fünfecks ABCDE. Dann ist r12 = V'R: N'Q's: d; ferner M'N'= r1 und R'N'=r2, da R'N' || P'Q' || O'M' und M'N' || O'R'; endlich R'F' = r1, da R'F'S'O' ein Parallelogramm ist. Daraus folgt noch ER' r2r, und da P'Q': ER' = r2r, ist, folgt weiter: rr1 = r12 — r1 oder: d: ss: ds, wie ja bekannt. Offenbar ist L'N'N'R' und da die Diagonale LN ||T1, so stehen die Diagonalen LN und NR aufeinander senkrecht. Gleiches gilt für je zwei Diagonalen, die in der nämlichen relativen Lage sich befinden, so ist NRRF. Aber es ist die Ebene NRF П2, demnach ist NR ebenso gegen П1 (resp. П2) geneigt wie RF gegen Ã1⁄2 (resp. П1) und da NR = RF = d, ergiebt sich: R"F" = R'N' = r2 und R"N" RF = 2. : 1 Aus dem Gesagten geht auch hervor, daß die 8 Eckpunkte NRFELTHC die Ecken eines Würfels bilden. 130. Wir wollen das Zwölfflach noch in einer zweiten Lage zeichnen, wobei eine Achse, etwa AV, vertikal gestellt sein mag (Fig. 101). Die drei von ▲ ausgehenden Kanten, etwa AB, AC, AD, haben gleiche Neigung unter sich und gleiche Neigung gegen die Horizontalebene, sie projizieren sich also als gleiche Strecken, deren Neigungswinkel R betragen. Die erste Spurlinie der Ebene ABC ist a1 ¦ AD', und die in dieser Ebene gelegene Seitenfläche ABEFC erhält durch Umlegen 3 um a, in die Grundrißebene die Lage AB,E,FC, wo EFla. Da B'Ba, so kann man B' und ebenso C', D' angeben. Benutzt man eine Hilfsebene П ̧ a1 im Punkte X, so erhält man in ihr als Seitenansicht des Fünfecks ABEFC die Gerade XB'"E""', wo XB"" = XB。 und XE" gleich dem Lot von X auf EF ist (B'''B' || a1). E'F' ist dann parallel zu a1 und gleich EF, und geht verlängert durch E". P Ꮶ" E T' R M' H" H Ganz in gleicher Weise finden sich die ersten Projektionen der Eckpunkte G, H, J, K; die 10 übrigen Eckpunkte liegen diesen diametral gegenüber und sind dadurch direkt gegeben, somit ist der Grundriß des Zwölfflachs bestimmt. Zur Kontrolle dient, daß sich B'E' und BE auf a, schneiden müssen. Um den Aufriß zu zeichnen, suchen wir zuerst noch den Seitenriẞ O" von O. O liegt aber senkrecht über dem Mittelpunkt Z des Fünfecks ABEFC, also ist O"Z""_XZ"" und XZ"" = AZ. Da man nun Grundriß und Seitenriß von B, E und O kennt, kann man unmittelbar ihre Aufrisse finden und hieraus, wie leicht zu erkennen, die Aufrisse sämtlicher Ecken und so den Aufriß des Zwölfflachs selbst. Auch hier mögen wieder die Beziehungen zwischen den einzelnen Strecken erwähnt werden. Wenn wir, wie vorher, mit s und d Seite und Diagonale des Fünfecks bezeichnen, so ist d: ss : d − s = G'D': C'AG'S': H'I', da sich die Projektionen paralleler Strecken, wie die Strecken selbst verhalten. Nun ist: D'S' CA, also s: d D'S': G'D' sowie s:ds C'A: G'S', und durch Einfügen in die obige Relation kommt: d: s:ds C'A: G'S': H'L'. Nimmt man C'A an, so kann man hiernach die anderen Strecken finden. = R' Fig. 101. = = = Die Diagonalen MD und DG liegen wieder in einer Vertikal ebene und stehen aufeinander senkrecht (vergl. 141), folglich ist (M" − x) — (D′′ − x) = D'G' und (G′′ − x) − (D′′ − x) = M'D'. – Die – Kanten AC und HL sind zu jenen Diagonalen parallel, also ist auch: (C" - x) = H'L' und (L" x) — (H" -| x) = AC'. 131. Konstruktion des Zwanzigflachs. Beim Zwanzig flach stoßen in jeder Ecke fünf Kanten zusammen, die ein reguläres Fünfkant, und deren nämlichen Seiten- Eckpunkte paar weise auf sechs Achsen liegen, Fig. 102. die durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehen, daß dieser Mittelpunkt senkrecht über der Mitte jeder Seitenfläche liegt und daß diese paarweise parallel sind. Wählt man bei der Darstellung eine Achse etwa 4Q senkrecht zum Grundriß, so bilden die Endpunkte der Kanten, die von A ausstrahlen, ein horizontales Fünfeck, ebenso die der von Q ausstrahlenden Kanten. Die Eckpunkte beider Fünfecke liegen sich diametral gegenüber, wonach sich der Grundriß sofort ergiebt (Fig. 102). Um den Aufriß zu zeichnen, braucht man nur noch die Abstände der beiden horizontalen Fünfecke von der Grundrißebene zu kennen. Sind nun die Kanten aus der Reihe nach AB, AC, AD, AE, AF, und ist a die erste Spur der Fläche ABC, so ist a1 1 AE'. Durch Umlegen von ▲ ABC um a1 erhält man das gleichseitige Dreieck AB。C。. In einer Hilfsebene П, a1 im Punkte X sucht man den Seitenriß B'" von B (XB = XB"") und den Seitenriß Z"" von dem Mittelpunkte Z des ▲ ABC (AZ, XZ""). Da der Mittelpunkt O des Zwanzigflachs senkrecht über der Mitte Z des ▲ ABC liegt, so ist Z""O" 1 XB"": Aus Grund- und Seitenriß von B und O findet man aber die Aufrisse dieser beiden Punkte und damit die Aufrisse aller 12 Eckpunkte. Man hätte bei der Konstruktion auch das ebene reguläre Fünfeck mit den Seiten AB und AD, dessen erste Spurlinie auf AC' senkrecht steht, benutzen können, dann wäre die Konstruktion von O überflüssig geworden. = = Die Höhe der Ecken über der Horizontalebene bestimmen sich auch durch folgende Betrachtung. Es ist AD' B'F' und folglich auch AD BF, da BF horizontal; analog ist AE DG, da diese Kanten in der gleichen gegenseitigen Lage sich befinden wie jene. Man folgert daraus (wie in 129), daß A′′E" = D'G' und D'G" = AE'. 132. Legt man bei der Darstellung eine Seitenfläche des Zwanzigflachs etwa ▲ ABC in die Grundrißebene hinein, und sind die Kanten aus A der Reihe nach AB, AC, AD, AE, AL, so läßt sich die räumliche Lage von AD, AE, AL in folgender Weise bestimmen (Fig. 103). AB, AC, AD bilden ein Dreikant, für das BAC = ▲ 3 ▲ CAD = R und BAD & R ist, da ja nach Früherem BA und AD zwei Seiten eines regulären Fünfecks sind; ganz ebenso bestimmt sich die Kante AL. Auch die Kanten AB, AC, AE bilden ein Dreikant, für das BAC & R und CAE = L BAE = & R ist. Man zeichnet zunächst das um AB umgelegte Kantenfünfeck BAE GH。 und dreht es um AB zurück, so daß E' auf die Halbierungslinie des ▲ BAC zu liegen kommt; durch Affinität findet man auch G' und H' (H'B = E'A, GE× G'E' auf AB). Beachtet man noch, daß die Ecken paarweise diametral einander gegenüberliegen, so kann man den Grundriß vollständig zeichnen. Im Aufriß liegen die 12 Ecken zu je drei auf vier Geraden parallel zur x-Achse, deren Abstände noch zu konstruieren sind. Dies geschieht wieder durch Benutzung einer Hilfsebene П AВ im Punkte X, in der man die Seitenrisse E" und G"" zeichnet. = Anstatt das Fünfeck BAEGH zu benutzen, hätte man auch das Fünfeck CALHJ bei der Konstruktion verwerten können. |