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sitzen; sind dann alle Ecken Dreikante, so hat man es mit dem Zwölfflach mit 20 Ecken zu thun.

126. Es mag hier noch darauf hingewiesen werden, daß nicht alle Annahmen über die Zahlen der Ecken und Flächen, welche dem Eul er sehen Satze genügen, auch wirklich einem Vielflache entsprechen. Einige Beispiele mögen dieses erläutern. Gehen wir von dem Falle aus, daß alle Seitenflächen Dreiecke sind, so folgt

aus dem Eulerschen Satze die Zahl der Ecken: E = + 2. Bezeichnen wir die Zahl der Dreiecke, Vierecke u. s. w. wie vorher mit F3, Fi u. s. w. und analog die Zahl der Dreikante, Vierkante u. s. w. mit E3, E^ u. s. w., so ergeben sich folgende Fälle.

Ist Fs = 4, also E = 4, so findet man ein Vielflach mit E3 = 4.

Ist Fs = 6, also E = 5, so findet man ein Vielflach mit Es = 2, Ei = 3.

Ist F3 = 8, also E = 6, so findet man ein Vielflach mit E3 = E4 = E5 = 2 und eins mit: E. = 6.

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Dagegen kann weder ein Vielflach mit: E3 = Es = 1, Ei = 4 noch ein solches mit: E3 = E5 = 8 existieren, wie man sich leicht überzeugt, obgleich diese Zahlen den weiter oben angeführten Relationen genügen.

Ist Fs = 10, also E = 7, so giebt es Vielflache mit: E3 = Es = 3, Ee = 1, oder mit: E3 = E6 = 2, Ei = 3, oder mit: E3 = E4 = Es = 2, Ee = 1, oder mit: E3 = 1, Ei = E5 = 3, oder mit: Ei = 5, E5 = 2. Andere Vielflache kann es dagegen hier nicht geben, so z. B. existiert ein Vielflach mit E3 = 2, Ei = l, Es = 4 nicht, obgleich die angeführten Relationen diese Möglichkeit zulassen. Diese Beispiele mögen zur Beleuchtung des Gesagten genügen.

127. Über die Konstruktion von Vielflachen ist im allgemeinen wenig zu sagen. Man hat besonders auf die Gruppierung der Kanten in den Seitenfläcben und an den körperlichen Ecken zu achten; das Zeichnen der Kanten basiert }m wesentlichen auf Dreieckskonstruktionen und auf der Affinität zwischen beiden Projektionen einer Seitenfläche, sowie auf der Konstruktion von Dreikanten. Ein Vielflach aus den Längen seiner Kanten und ihrer Anordnung zu zeichnen müßte nach 124 möglich sein, doch giebt es in den einfachsten Fällen bereits eine so große Anzahl von Lösungen (die, analytisch aufgefaßt, durch Bestimmung der Wurzeln von einer Reihe quadratischer und höherer Gleichungen gefunden werden müssen), daß das Problem konstruktiv zu große Schwierigkeiten bietet.

Bei der Projektion eines Vielflachs haben wir einen sichtbaren und einen unsichtbaren Teil zu unterscheiden. Jeder projizierende Strahl, der das Vielflach durchschneidet, enthält einen sichtbaren und einen oder mehrere unsichtbare Punkte seiner Oberfläche; der sichtbare Punkt ist derjenige, der am weitesten von der Projektionsebene absteht, die anderen Punkte sind verdeckt. Es giebt auf dem Vielflach ein Polygon (oder mehrere), in dessen Punkten die projizierenden Strahlen das Vielflach nur streifen; dieses Polygon wird als der wahre Umriß und seine Projektion als der scheinbare Umriß bezeichnet. Der wahre Umriß trennt offenbar im allgemeinen den sichtbaren Teil der Oberfläche von dem unsichtbaren; es kann indessen vorkommen, daß er selbst unsichtbar ist, womit auch die beiderseits anliegenden Seitenflächen unsichtbar werden. In allen Fällen wird das erwähnte Kriterium ausreichen, um zu entscheiden, ob eine Kante sichtbar ist oder nicht. Am besten wählt man dazu projizierende Strahlen, die zwei Kanten des Vielflachs treffen, also durch einen Schnittpunkt ihrer Projektionen gehen; aus der anderen Projektion kann man dann unmittelbar ersehen, welcher der beiden Punkte der Projektionsebene näher liegt und somit verdeckt wird. Die unsichtbaren Kanten eines Vielflachs sind in den Zeichnungen punktiert.

128. Ein Vielflach, das nur reguläre, unter sich kongruente Seitenpolygone und ebenso reguläre, unter sich kongruente Ecken besitzt, heißt regulär. Nach 125 giebt es folgende reguläre Vielflache: das Vierflach (Tetraeder), Achtflach (Oktaeder) und Zwanzigflach (Ikosaeder), die von Dreiecken begrenzt werden, das Sechs flach (Würfel, Hexaeder), das von Quadraten und das Zwölfflach (Dodekaeder), das von Fünfecken gebildet wird.

Die Konstruktion der regulären Vielflache. Wir können hier vom Vierflach und vom Würfel absehen, da ihre Konstruktion ohne weiteres einleuchtet. Beim regulären Achtflach stoßen in den Ecken je vier gleiche Kanten zusammen, die ein reguläres Vierkant bilden und deren Endpunkte deshalb ein Quadrat bestimmen. Hieraus erkennt man, daß die 12 Kanten des Achtflachs drei Quadrate bilden, deren Ebenen aufeinander senkrecht stehen. Der Schnittpunkt dieser Ebenen ist der Mittelpunkt des regulären Achtflachs; ihre Schnittlinien sind die drei Diagonalen oder Achsen desselben und tragen die 6 Ecken; sie sind zugleich die Diagonalen der genannten Quadrate.

Um das Achtflach darzustellen, stellen wir etwa eine Achse senkrecht zur Horizontalebene, sie projiziert sich dann im Aufriß in wahrer Länge, während die beiden anderen Achsen im Grundriß in wahrer Länge erscheinen. Der Grundriß wird demnach ein Quadrat mit seinen beiden Diagonalen, im Aufriß liegen die Punkte C", B", E", F" auf einer Parallelen zur x- Achse, da das Quadrat CEBF zum Grundriß parallel ist (Fig. 98).

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Wir geben noch eine zweite Darstellung des Achtflachs, indem wir eine Seitenfläche in die Grundrißebene legen, etwa A ACE (Fig. 99). Der Mittelpunkt O des Achtflachs liegt senkrecht über der Mitte jeder Seitenfläche, also fällt O' mit dem Mittelpunkt von A ÄCE' zusammen. Verlängert man OA, OC und OE um sich selbst über O hinaus, so erhält man die Achsen AB, CB und EF, so daß O' die Projektionen ÄB', CB' und E'F halbiert, wodurch sich der Grundriß bestimmt. Im Aufriß fällt Ä'C'E" auf die x-Achse und B"B"F" wird parallel zn ihr; es ist also nur noch der Abstand dieser beiden Parallelen zu finden. 'Hierzu können wir etwa die Seite AD benutzen, von der wir die Projektion A'B' und die wahre Länge (= A'C") kennen. Jener Abstand ist = B0B', wenn B0Ä = ÄC ist.

129. Konstruktion des Zwölfflachs. Die Ecken des Zwölfflachs sind reguläre Dreikante; errichtet man in den Mitten dreier, in einer Ecke zusammenlaufenden Kanten senkrechte Ebenen, so schneiden sich diese in einem Punkte O, der auf der Mittelsenkrechten jedes der drei regulären Fünfecke liegt, die jene körper

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liehe Ecke bilden. Durch O geht demnach jede Ebene, die in der Mitte irgend einer Kante der genannten drei Fünfecke auf dieser senkrecht , steht. Daraus geht weiter hervor, daß durch O die Mittelsenkrechte jeder Seitenfläche geht, die an zwei jener drei Fünfecke angrenzt. Durch Fortsetzung dieser Betrachtung folgt: O liegt über den Mitten aller Seitenflächen und ist von allen Ecken des Zwölfflachs gleich weit entfernt, man nennt deshalb O den Mittelpunkt. Die Seitenflächen sind paarweise parallel und die Ecken liegen paarweise auf 10 Achsen durch O. Man überzeugt sich hiervon leicht, wenn man

das Zwölfflach um eine zu einer Fläche senkrechte Achse durch O dreht, und zwar um einen Winkel, der $ R (oder ein Vielfaches davon) beträgt. Es kommt dann das Zwölfflach mit sich selbst zur Deckung; die Fläche senkrecht zur Drehachse geht in sich selbst, von den fünf angrenzenden Flächen geht jede in die nächste über. Gleiches gilt von den fünf Flächen, die an jene anstoßen, so daß die Fie-100- letzte Fläche bei

der Drehung in sich übergehen, also auf der Drehachse senkrecht stehen muß.

Bei der Darstellung mag eine Fläche in den Grundriß fallen, eine zweite ist dann hierzu parallel und erscheint in der Projektion wie diese als reguläres, aber um 2 R gedrehtes Fünfeck. Die der ersteren anliegenden 5 Flächen werden sich dann im Grundriß als kongruente Fünfecke projizieren, ebenso die 5 Flächen, die an die zweitgenannte angrenzen (Fig. 100).

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Die Horizontalprojektionen der 20 Eckpunkte kommen auf zwei koncentrische Kreise zu liegen. Das Basisfünfeck sei ABCBE, ein angrenzendes ABHGF. Um seine Projektion zu erhalten, denke man sich dasselbe um AB gedreht, bis es mit dem Basisfünfeck zusammenfällt und H0G0F0 in CEE zu liegen kommen. BH und ebenso BH' schließt mit BA und BC gleiche Winkel ein und, da H0H' ± AB, ist H' bestimmt; hiermit sind alle Ecken im Grundriß gefunden. Als Kontrolle dient der Umstand, daß sich G0H0 = BC und G'H' auf der Verlängerung von AB schneiden müssen. Im Aufriß liegen die Ecken zu je 5 auf vier Parallelen zur ar-Achse, deren Abstände man durch Bestimmung der Abstände HH und GG' gewinnt. Zu ihrer Ermittelung wähle man eine Hilfsebene TT3 J_ AB und zeichne in ihr eine Seitenansicht des Fünfecks ABHGF, das hier als Gerade erscheint (XH"' = XH0, XG"' = GJ), wo dann H"'H' und G"'Gx die gesuchten Abstände sind {H"'H' || G"'G' || BA). Selbstverständlich ist von den 4 Parallelen die zweite ebensoweit entfernt von der ersten, wie die dritte von der vierten.

Zur Konstruktion können auch die folgenden Beziehungen verwendet werden. Es sei rx der Radius des Kreises ABCBES'T. . . und r2 der des Kreises durch F'G'H'J'K'. . . .; ferner sei s die Seite und d die Diagonale des Fünfecks ABCBE. Dann ist rx: r2 = V'R:N'Q' = s:d; ferner M'N' = rj und Ä'iV'= r2, da RN' \\ P'Qf || O'M und M'N' || Ci?'; endlich RF'= rx, da RF'S'O' ein Parallelogramm ist. Daraus folgt noch ER = r2r^ und da P'Q': ER = r2:rx ist, folgt weiter: r2 : rx = rx: r2 rj oder: d:s = s:d— s, wie ja bekannt. Offenbar ist L'N' J_ N'R und da die Diagonale XA||TTj, so stehen die Diagonalen LN und NR aufeinander senkrecht. Gleiches gilt für je zwei Diagonalen, die in der nämlichen relativen Lage sich befinden, so ist NR J_ RF. Aber es ist die Ebene NRF ± TT2, demnach ist NR ebenso gegen TTj (resp. TT2) geneigt wie RF gegen TT2 (resp. TTj) und da NR = RF= d, ergiebt sich: R'F" = RN' = r2 und R"N" = RF' = rv

Aus dem Gesagten geht auch hervor, daß die 8 Eckpunkte NRFELTHC die Ecken eines Würfels bilden.

130. Wir wollen das Zwölfflach noch in einer zweiten Lage zeichnen, wobei eine Achse, etwa A V, vertikal gestellt sein mag (Fig! 101). Die drei von A ausgehenden Kanten, etwa AB, AC, AB, haben gleiche Neigung unter sich und gleiche Neigung'gegen die Horizontalebene, sie projizieren sich also als gleiche Strecken, deren Neigungswinkel % R betragen. Die erste Spurlinie der Ebene ABC ist aj J_ AB', und die in dieser Ebene gelegene Seitenfläche ABEFC erhält durch Umlegen

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