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VI. Kapitel. Ebene Kurven und Raumkurven.

Begriff des Unendlichkleinen in der Geometrie.
413. Endliche, unendliche und unendlich kleine Größen. Die Ver-
gleichung endlicher Größen

303

414. Die Vergleichung unendlich kleiner Größen. Ordnungen der-
selben

304

415. Gleichungen zwischen unendlich kleinen Größen. Bestimmter
Grenzwert für das Verhältnis zweier und für die Summe
unendlich vieler unendlich kleiner Größen

416-418. Wichtige Beispiele für geometrische unendlich kleine Größen
verschiedener Ordnungen.

Erzeugung ebener Kurven.

419. Erzeugung einer ebenen Kurve als Bahn eines bewegten
Punktes. Nachbarpunkte, Kurvenelement. Stetigkeit. Se-
kante, Tangente. Stetigkeit in Bezug auf die Tangente

420. 421. Erzeugung durch eine bewegte Gerade als Hüllkurve. Nachbar-
tangenten, Kontingenzwinkel, Berührungspunkt. Die Stetig-
keit als projektive Eigenschaft. Asymptoten

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422. Gleichzeitige doppelte Erzeugung der Kurve. Fortschreitungs-
und Drehungssinn des Punktes resp. der zugehörigen Tan-
gente. Gewöhnlicher Kurvenpunkt, Wendepunkt, Rück-
kehrpunkt, Schnabelspitze, Doppelpunkt, isolierter Punkt . 310

Konstruktion von Tangenten und Normalen.

423. Zeichnung einer Kurve aus Punkten und Tangenten derselben
424. Tangente einer gezeichneten Kurve aus gegebenem Punkte
und ihr Berührungspunkt

311

425.

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311

312

426. Tangente und Normale in gegebenem Punkte einer gezeich-
neten Kurve
427. Normale aus gegebenem Punkte zu einer gezeichneten Kurve 313
428. Tangentenkonstruktion mittels der zur Konstruktion der Kurve

selbst dienenden Hilfskurven

429-433. Beispiele: Ellipse, Cassini'sche Kurve, Konchoide, Pascal'sche Schneckenlinie

314

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Krümmung der Kurven, Evoluten.

435. Krümmungsmaß. Mittlere Krümmung eines Kurvenbogens,
Krümmung einer Kurve in gegebenem Punkte. Stetigkeit
in Bezug auf die Krümmung. Die für das Krümmungsmaß
in Betracht kommenden unendlich kleinen Größen

436. Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkt. Konkave und
konvexe Seite einer Kurve, Krümmungswechsel

437-439. Der den Krümmungskreis bestimmende Grenzprozeß. Drei-
punktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve.
Krümmungsmittelpunkt als Schnitt benachbarter Kurven-

normalen

440. Evolute und Evolventen einer Kurve

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320

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441. Vierpunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve,
Scheitelpunkte. Verhalten der Evolute

442. Verhalten der Krümmung im Wendepunkte, Rückkehrpunkte
und bei der Schnabelspitze

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443. Konstruktion des Krümmungskreises für einen Punkt einer
gezeichneten Kurve.

324

444. Beziehung zwischen der Krümmung einer ebenen Kurve und
der ihres perspektiven Bildes

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Rektifikation von Kurven.

445. Regel zur näherungsweisen Rektifikation. Rektifikation eines
Kreises

Raumkurven und ihre Projektionen; abwickelbare Flächen.
446. Entstehung einer Raumkurve. Kurvenelement, Tangente,
Schmiegungsebene. Normalebene, Hauptnormale, Binormale,
Rektifizierende Ebene ..

447. Gleichzeitige Bewegungen des erzeugenden Punktes, der Tan-
gente und der Schmiegungsebene. Stetigkeit. Kontingenz-
und Torsionswinkel. Krümmung, Torsion
448. Die zur Raumkurve gehörige abwickelbare Fläche. Ihre Er-
zeugung durch die Tangenten und Schmiegungsebenen . .
449. Die Raumkurve als Rückkehrkurve der abwickelbaren Fläche
450. Abwickelung der Fläche und der auf ihr liegenden Kurven.
451. Elemente, die bei der Abwickelung erhalten bleiben: Bogen-
längen der Kurven und ihre Winkel mit den Erzeugenden,
Kontingenzwinkel, Bogenelemente und Krümmung der Rück-
kehrkurve

452. Beziehung zwischen den Krümmungsradien entsprechender
Punkte einer Kurve der abwickelbaren Fläche und der ab-
gewickelten Kurve.

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456.

Evolutenfläche und Evolventen

Ebene Projektionen einer Raumkurve. Rückkehr-, Doppel- und
Wendepunkte, die den Tangenten, Sehnen und Schmiegungs-
ebenen durch das Projektionscentrum entsprechen
457. Singularitäten bei den Raumkurven. Stationäre Ebene,
Streckungspunkt, Rückkehrpunkt.

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458. Konstruktion der Tangente und Schmiegungsebene in einem
Punkte einer Raumkurve.

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Krumme Oberflächen.

459. Bestimmung einer krummen Fläche durch ein sie überdeckendes
Kurvensystem, Nachbarkurven. Erzeugung durch stetige

Bewegung einer konstanten oder ihre Form ändernden Kurve 336 460. 461. Tangenten und Tangentialebenen einer Fläche. Knotenpunkte. 337 462. 463. Flächennormale, Normalschnitte. Isolierter, gewöhnlicher Doppelpunkt oder Rückkehrpunkt im Schnitt mit der Tan

465.

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gentialebene; elliptische, hyperbolische oder parabolische
Krümmung. Haupttangenten. Spezialfälle der abwickel-
baren, der Kegel- und Cylinderflächen.

464. Tangentenkegel einer Fläche aus einem Raumpunkte.

VII. Kapitel. Kugel, Cylinder, Kegel.

Kugel, Cylinder und Kegel, ihre Projektionen, Eigen- und

Schlagschatten.

466. Bestimmung der Projektionen eines Flächenpunktes. Sicht-
bare und unsichtbare Flächenteile. Doppelkurven, wahrer
und scheinbarer Umriß. Projektion einer auf der Fläche
liegenden Kurve. Projizierender Cylinder, zur Projektions-
richtung parallele Tangentialebenen .

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467. Lichtstrahlencylinder, Lichtgrenze auf der Fläche. Flächen-
teile im Lichte, im Eigen- und Schlagschatten
468. Darstellung der Kugel, der Lichtgrenze auf ihr und ihres
Schlagschattens

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469. Cylinderflächen. Ihre Entstehung, Mantellinien, Tangential-
ebenen

344

470. Wahrer und scheinbarer Umriß einer Cylinderfläche. Licht-
grenze, Eigen- und Schlagschatten

345

471. Darstellung des elliptischen Cylinders, Lichtgrenze, Schlag-
schatten

346

348

472. Hohlcylinder, Schlagschatten auf der Innenfläche

473. Tangentialebenen eines Cylinders aus gegebenem Raumpunkte 348 474. Kegelflächen. Ihre Entstehung, Spitze, Mantellinien, Tangentialebenen

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Wahrer und scheinbarer Umriß einer Kegelfläche. Lichtgrenze,
Eigen- und Schlagschatten

349

475.

349

476. Darstellung des geraden Kreiskegels in beliebiger Lage. Licht-
grenze, Eigen- und Schlagschatten

350

477. Hohlkegel, Schlagschatten auf der Innenfläche. Tangential-
ebenen des Kegels aus gegebenem Raumpunkte

352

478. Polstrahlen und Polarebenen, Achsen und Symmetrieebenen eines
Kegels, dessen Grundkurve ein gegebener Kegelschnitt ist 353
479. Konjugierte, insbesondere rechtwinklige konjugierte Strahlen
des Kegels. Konjugierte Punkte bezüglich der Grundkurve.
Ort der konjugierten Punkte zu denen einer Geraden. Spur-
punkte der Kegelachsen.

180-483. Ausführung der Achsenbestimmung mit Hilfe einer gleich-
seitigen Hyperbel und eines Kreises. Bestimmung der Hy-
perbel. Hilfssatz. Bestimmung des Kreises. Allgemeiner
Beweis des Hilfssatzes.

Kugel, Cylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen. 484. Schnitt einer Kugel mit gegebener Ebene

354

355

359

485. Schnitt eines beliebigen Cylinders mit gegebener Ebene; Ab

wickelung

360

488.

490.

486. 487. Ebener Schnitt eines geraden Kreiscylinders; Abwickelung Ebener Schnitt eines schiefen Kreiscylinders; Abwickelung Ebener Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels 493. Ebener Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreiskegels 495. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreiskegel..

492.

494.

Durchdringung von Kugel-, Cylinder- und Kegelflächen. 496. 497. Allgemeines über Durchdringungen; Durchdringung von Cylinder- und Kegelflächen.

498. 499. Durchdringung zweier Cylinderflächen, deren Grundkurven Kegelschnitte sind

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506. Spezielle Durchdringungskurven zweier Kegelflächen
507. Eigenschaften der Raumkurven 3. Ordnung.

388

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508. 509. Konstruktion der Raumkurve 3. Ordnung als Schnitt zweier Kegel mit gemeinsamer Mantellinie .

389

Die sphärischen Kegelschnitte.

510. Entstehung der sphärischen Kegelschnitte

511. Brennpunkte und ihre Eigenschaften

392

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512. 513. Die Brennstrahlen des Kegels 2. Ordnung und ihre Konstruktion 395 514. 515. Die Projektionen der sphärischen Kegelschnitte

Die stereographische Projektion.

516. Entstehung und Eigenschaften der stereographischen Pro-
jektion. Abbildung der Kreise auf der Kugel in Kreise

397

der Ebene. Erhaltung der Winkel

517. Anwendung in der Kartenprojektion

399

400

Schlagschatten auf Kegel- und Cylinderflächen.

518. Bildung der Schlagschatten einer Fläche auf eine andere.

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EINLEITUNG.

Alle Zweige der Geometrie haben die Untersuchung gesetzmäßig entstandener Raumgebilde (ebener und räumlicher Figuren) zum Gegenstande. Während aber die Geometrie der Lage und die analytische Geometrie das hierdurch bezeichnete Ziel auf rein theoretischem Wege zu erreichen suchen, beschäftigt sich die darstellende Geometrie, wie schon ihr Name besagt, mit der praktischen Durchführung des Prozesses der Darstellung oder Konstruktion der Figuren, welche für die vorgenannten beiden Disziplinen an sich nebensächlich ist und mit steigender Entwickelung des Anschauungsvermögens mehr und mehr entbehrlich wird. Die darstellende Geometrie ist eine angewandte mathematische Disziplin: sie dient den Bedürfnissen der Praxis in verschiedenen Zweigen der technischen Wissenschaften und der Kunst. Zugleich aber bildet sie für den Mathematiker und Techniker das wirksamste Mittel, um das Vermögen der räumlichen Anschauung, dessen sie bei der Behandlung räumlicher geometrischer Fragen allenthalben bedürfen, bis zu möglichst hohem Grade zu entwickeln.

Der Zweck der darstellenden Geometrie ist die Bestimmung der Raumgebilde nach Gestalt, Größe und Lage durch die Konstruktion. Sie bedient sich dabei in der Hauptsache ebener Bilder derselben, indem sie zeigt, wie man mittels geeigneter Methoden erstens von den die Raumgebilde bestimmenden Angaben (also von ihrer Definition) ausgehend zu diesen Bildern gelangen, zweitens wie man von letzteren auf die Eigenschaften der dargestellten Figuren zurückschließen kann. In dieser letzteren Beziehung dient sie also dazu geometrische Eigenschaften räumlicher und ebener Gebilde aufzufinden und zu beweisen.

Außer auf die Strenge und Einfachheit des mathematischen Gedankenganges hat die darstellende Geometrie bei der Ausbildung ihrer Methoden auf die Erreichung größtmöglicher Genauigkeit für die praktische Ausführung der Konstruktionen Bedacht zu nehmen. Unter den verschiedenen möglichen Methoden, die zur gesetzmäßigen Abbildung der Raumfiguren führen, wählt sie demgemäß nur eine kleine Anzahl, als für ihre Zwecke geeignet, aus. Diese beziehen

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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