Seite VI. Kapitel. Ebene Kurven und Raumkurven. Begriff des Unendlichkleinen in der Geometrie. 303 414. Die Vergleichung unendlich kleiner Größen. Ordnungen der- 304 415. Gleichungen zwischen unendlich kleinen Größen. Bestimmter 416-418. Wichtige Beispiele für geometrische unendlich kleine Größen Erzeugung ebener Kurven. 419. Erzeugung einer ebenen Kurve als Bahn eines bewegten 420. 421. Erzeugung durch eine bewegte Gerade als Hüllkurve. Nachbar- 305 306 308 309 422. Gleichzeitige doppelte Erzeugung der Kurve. Fortschreitungs- Konstruktion von Tangenten und Normalen. 423. Zeichnung einer Kurve aus Punkten und Tangenten derselben 311 425. 311 312 426. Tangente und Normale in gegebenem Punkte einer gezeich- selbst dienenden Hilfskurven 429-433. Beispiele: Ellipse, Cassini'sche Kurve, Konchoide, Pascal'sche Schneckenlinie 314 315 Krümmung der Kurven, Evoluten. 435. Krümmungsmaß. Mittlere Krümmung eines Kurvenbogens, 436. Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkt. Konkave und 437-439. Der den Krümmungskreis bestimmende Grenzprozeß. Drei- normalen 440. Evolute und Evolventen einer Kurve 318 320 320 322 441. Vierpunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Kurve, 442. Verhalten der Krümmung im Wendepunkte, Rückkehrpunkte Seite 323 323 443. Konstruktion des Krümmungskreises für einen Punkt einer 324 444. Beziehung zwischen der Krümmung einer ebenen Kurve und 325 Rektifikation von Kurven. 445. Regel zur näherungsweisen Rektifikation. Rektifikation eines Raumkurven und ihre Projektionen; abwickelbare Flächen. 447. Gleichzeitige Bewegungen des erzeugenden Punktes, der Tan- 452. Beziehung zwischen den Krümmungsradien entsprechender 456. Evolutenfläche und Evolventen Ebene Projektionen einer Raumkurve. Rückkehr-, Doppel- und 327 328 329 329 330 331 332 332 333 333 333 334 334 458. Konstruktion der Tangente und Schmiegungsebene in einem 335 Krumme Oberflächen. 459. Bestimmung einer krummen Fläche durch ein sie überdeckendes Bewegung einer konstanten oder ihre Form ändernden Kurve 336 460. 461. Tangenten und Tangentialebenen einer Fläche. Knotenpunkte. 337 462. 463. Flächennormale, Normalschnitte. Isolierter, gewöhnlicher Doppelpunkt oder Rückkehrpunkt im Schnitt mit der Tan 465. gentialebene; elliptische, hyperbolische oder parabolische 464. Tangentenkegel einer Fläche aus einem Raumpunkte. VII. Kapitel. Kugel, Cylinder, Kegel. Kugel, Cylinder und Kegel, ihre Projektionen, Eigen- und Schlagschatten. 466. Bestimmung der Projektionen eines Flächenpunktes. Sicht- 467. Lichtstrahlencylinder, Lichtgrenze auf der Fläche. Flächen- Seite 338 339 340 342 342 469. Cylinderflächen. Ihre Entstehung, Mantellinien, Tangential- 344 470. Wahrer und scheinbarer Umriß einer Cylinderfläche. Licht- 345 471. Darstellung des elliptischen Cylinders, Lichtgrenze, Schlag- 346 348 472. Hohlcylinder, Schlagschatten auf der Innenfläche 473. Tangentialebenen eines Cylinders aus gegebenem Raumpunkte 348 474. Kegelflächen. Ihre Entstehung, Spitze, Mantellinien, Tangentialebenen Wahrer und scheinbarer Umriß einer Kegelfläche. Lichtgrenze, 349 475. 349 476. Darstellung des geraden Kreiskegels in beliebiger Lage. Licht- 350 477. Hohlkegel, Schlagschatten auf der Innenfläche. Tangential- 352 478. Polstrahlen und Polarebenen, Achsen und Symmetrieebenen eines 180-483. Ausführung der Achsenbestimmung mit Hilfe einer gleich- Kugel, Cylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen. 484. Schnitt einer Kugel mit gegebener Ebene 354 355 359 485. Schnitt eines beliebigen Cylinders mit gegebener Ebene; Ab wickelung 360 488. 490. 486. 487. Ebener Schnitt eines geraden Kreiscylinders; Abwickelung Ebener Schnitt eines schiefen Kreiscylinders; Abwickelung Ebener Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels 493. Ebener Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreiskegels 495. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreiskegel.. 492. 494. Durchdringung von Kugel-, Cylinder- und Kegelflächen. 496. 497. Allgemeines über Durchdringungen; Durchdringung von Cylinder- und Kegelflächen. 498. 499. Durchdringung zweier Cylinderflächen, deren Grundkurven Kegelschnitte sind 375 376 506. Spezielle Durchdringungskurven zweier Kegelflächen 388 389 508. 509. Konstruktion der Raumkurve 3. Ordnung als Schnitt zweier Kegel mit gemeinsamer Mantellinie . 389 Die sphärischen Kegelschnitte. 510. Entstehung der sphärischen Kegelschnitte 511. Brennpunkte und ihre Eigenschaften 392 393 512. 513. Die Brennstrahlen des Kegels 2. Ordnung und ihre Konstruktion 395 514. 515. Die Projektionen der sphärischen Kegelschnitte Die stereographische Projektion. 516. Entstehung und Eigenschaften der stereographischen Pro- 397 der Ebene. Erhaltung der Winkel 517. Anwendung in der Kartenprojektion 399 400 Schlagschatten auf Kegel- und Cylinderflächen. 518. Bildung der Schlagschatten einer Fläche auf eine andere. EINLEITUNG. Alle Zweige der Geometrie haben die Untersuchung gesetzmäßig entstandener Raumgebilde (ebener und räumlicher Figuren) zum Gegenstande. Während aber die Geometrie der Lage und die analytische Geometrie das hierdurch bezeichnete Ziel auf rein theoretischem Wege zu erreichen suchen, beschäftigt sich die darstellende Geometrie, wie schon ihr Name besagt, mit der praktischen Durchführung des Prozesses der Darstellung oder Konstruktion der Figuren, welche für die vorgenannten beiden Disziplinen an sich nebensächlich ist und mit steigender Entwickelung des Anschauungsvermögens mehr und mehr entbehrlich wird. Die darstellende Geometrie ist eine angewandte mathematische Disziplin: sie dient den Bedürfnissen der Praxis in verschiedenen Zweigen der technischen Wissenschaften und der Kunst. Zugleich aber bildet sie für den Mathematiker und Techniker das wirksamste Mittel, um das Vermögen der räumlichen Anschauung, dessen sie bei der Behandlung räumlicher geometrischer Fragen allenthalben bedürfen, bis zu möglichst hohem Grade zu entwickeln. Der Zweck der darstellenden Geometrie ist die Bestimmung der Raumgebilde nach Gestalt, Größe und Lage durch die Konstruktion. Sie bedient sich dabei in der Hauptsache ebener Bilder derselben, indem sie zeigt, wie man mittels geeigneter Methoden erstens von den die Raumgebilde bestimmenden Angaben (also von ihrer Definition) ausgehend zu diesen Bildern gelangen, zweitens wie man von letzteren auf die Eigenschaften der dargestellten Figuren zurückschließen kann. In dieser letzteren Beziehung dient sie also dazu geometrische Eigenschaften räumlicher und ebener Gebilde aufzufinden und zu beweisen. Außer auf die Strenge und Einfachheit des mathematischen Gedankenganges hat die darstellende Geometrie bei der Ausbildung ihrer Methoden auf die Erreichung größtmöglicher Genauigkeit für die praktische Ausführung der Konstruktionen Bedacht zu nehmen. Unter den verschiedenen möglichen Methoden, die zur gesetzmäßigen Abbildung der Raumfiguren führen, wählt sie demgemäß nur eine kleine Anzahl, als für ihre Zwecke geeignet, aus. Diese beziehen ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl. 1 |