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gentialebene; elliptische, hyperbolische oder parabolische
Krümmung. Haupttangenten. Spezialfälle der abwickel-

. baren, der Kegel- und Cylinderflächen 388

4G4. Tangentenkegel einer Fläche aus einem Raumpunkte . . . 339

VII. Kapitel. Kugel, Cylinder, Kegel.

Kugel, Cylinder und Kegel, ihre Projektionen, Eigen- und
Schlagschatten.

465. 466. Bestimmung der Projektionen eines Flächenpunktes. Sicht-
bare und unsichtbare Flächenteile. Doppelkurven, wahrer
und scheinbarer Umriß. Projektion einer auf der Fläche
liegenden Kurve. Projizierender Cylinder, zur Projektions-
richtung parallele Tangentialebenen 340

467. Lichtstrahlencylinder, Lichtgrenze auf der Fläche. Flächen

teile im Lichte, im Eigen- und Schlagschatten 342

468. Darstellung der Kugel, der Lichtgrenze auf ihr und ihres

Schlagschattens 342

469. Cylinderflächen. Ihre Entstehung, Mantellinien, Tangential

ebenen 344

470. Wahrer und scheinbarer Umriß einer Cylinderfläche. Licht

grenze, Eigen- und Schlagschatten 345

471. Darstellung des elliptischen Cylinders, Lichtgrenze, Schlag

schatten 346

472. Hohlcylinder, Schlagschatten auf der Innenfläche .... 348

473. Tangentialebenen eines Cylinders aus gegebenem Raumpunkte 348

474. Kegelflächen. Ihre Entstehung, Spitze, Mantellinien, Tangen

tialebenen . 349

475. Wahrer und scheinbarer Umriß einer Kegelfläche. Lichtgrenze,

Eigen- und Schlagschatten 349

476. Darstellung des geraden Kreiskegels in beliebiger Lage. Licht

grenze, Eigen- und Schlagschatten 350

477. Hohlkegel, Schlagschatten auf der Innenfläche. Tangential

ebenen des Kegels aus gegebenem Raumpunkte .... 352

478. Polstrahlen und Polarebenen, Achsen und Symmetrieebenen eines

Kegels, dessen Grundkurve ein gegebener Kegelschnitt ist 353

479. Konjugierte, insbesondere rechtwinklige konjugierte Strahlen

des Kegels. Konjugierte Punkte bezüglich der Grundkurve.
Ort der konjugierten Punkte zu denen einer Geraden. Spur-
punkte der Kegelachsen 354

180 — 483. Ausführung der Achsenbestimmung mit Hilfe einer gleichseitigen Hyperbel und eines Kreises. Bestimmung der Hyperbel. Hilfssatz. Bestimmung des Kreises. Allgemeiner Beweis des Hilfssatzes 355

KugeJ, Cylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen.

484. Schnitt einer Kugel mit gegebener Ebene 359

485. Schnitt eines beliebigen Cylinders mit gegebener Ebene; Ab

wickelung 360 Seite

486. 487. Ebener Schnitt eines geraden Kreiscylinders; Abwickelung . 861

488. 489. Ebener Schnitt eines schiefen Kreiscylinders; Abwickelung . 363

490. 491. Ebener Schnitt und Abwickelung eines geraden Kreiskegels 367

492. 493. Ebener Schnitt und Abwickelung eines schiefen Kreiskegels 370

494. 495. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreiskegel . . . 373

Durchdringung von Engel-, Cylinder- und Kegelflächen.

496. 497. Allgemeines über Durchdringungen; Durchdringung von Cylinder- und Kegelflächen 375

498. 499. Durchdringung zweier Cylinderflächen, deren Grundkurven

Kegelschnitte sind 376

500. 501. Durchdringung eines geraden Kreiskegels mit einem geraden

Kreiscylinder 380

502. 503. Durchdringung von Kugel und Kegel 383

504. 505. Eigenschaften der Durchdringungskurve 4. Ordnung zweier

Kegelflächen 386

506. Spezielle Durchdringungskurven zweier Kegelflächen . . . 388

507. Eigenschaften der Raumkurven 3. Ordnung 389

508. 509. Konstruktion der Raumkurve 3. Ordnung als Schnitt zweier

Kegel mit gemeinsamer Mantellinie 389

Die sphärischen Kegelschnitte.

510. Entstehung der sphärischen Kegelschnitte 392

511. Brennpunkte und ihre Eigenschaften 393

512. 513. Die Brennstrahlen des Kegels 2. Ordnung und ihre Konstruktion 395

514. 515. Die Projektionen der sphärischen Kegelschnitte 397

Die stereographische Projektion.

516. Entstehung und Eigenschaften der stereographischen Pro

jektion. Abbildung der Kreise auf der Kugel in Kreise

der Ebene. Erhaltung der Winkel 399

517. Anwendung in der Kartenprojektion 400

Schlagschatten auf Kegel- und Cylinderflächen.

518. Bildung der Schlagschatten einer Fläche auf eine andere.

Darstellungsverfahren 402

519. Schlagschatten einer Kugel auf einen Kegel 403

Beispiele für Anwendungen.

520. Bemerkungen über Schattenkonstruktion an zusammengesetzten

Gebilden 404

521. Allgemeines über Steinschnitt 405

522. Runder Eckturm. Schatten 406

523. Gewölbte Mauernische. Schatten und Steinschnitt .... 40S

524. Dorische Säule. Schatten 410

Literaturnachweise und historische Anmerkungen . . . 413 EINLEITUNG.

Alle Zweige der Geometrie haben die Untersuchung gesetzmäßig entstandener Raumgebilde (ebener und räumlicher Figuren) zum Gegenstande. Während aber die Geometrie der Lage und die analytische Geometrie das hierdurch bezeichnete Ziel auf rein theoretischem Wege zu erreichen suchen, beschäftigt sich die darstellende Geometrie, wie schon ihr Name besagt, mit der praktischen Durchführung des Prozesses der Darstellung oder Konstruktion der Figuren, welche für die vorgenannten beiden Disziplinen an sich nebensächlich ist und mit steigender Entwickelung des Anschauungsvermögens mehr und mehr entbehrlich wird. Die darstellende Geometrie ist eine angewandte mathematische Disziplin: sie dient den Bedürfnissen der Praxis in verschiedenen Zweigen der technischen Wissenschaften und der Kunst. Zugleich aber bildet sie für den Mathematiker und Techniker das wirksamste Mittel, um das Vermögen der räumlichen Anschauung, dessen sie bei der Behandlung räumlicher geometrischer Fragen allenthalben bedürfen, bis zu möglichst hohem Grade zu entwickeln.

Der Zweck der darstellenden Geometrie ist die Bestimmung der Raumgebilde nach Gestalt, Größe und Lage durch die Konstruktion. Sie bedient sich dabei in der Hauptsache ebener Bilder derselben, indem sie zeigt, wie man mittels geeigneter Methoden erstens von den die Raumgebilde bestimmenden Angaben (also von ihrer Definition) ausgehend zu diesen Bildern gelangen, zweitens wie man von letzteren auf die Eigenschaften der dargestellten Figuren zurückschließen kann. In dieser letzteren Beziehung dient sie also dazu geometrische Eigenschaften räumlicher und ebener Gebilde aufzufinden und zu beweisen.

Außer auf die Strenge und Einfachheit des mathematischen Gedankenganges hat die darstellende Geometrie bei der Ausbildung ihrer Methoden auf die Erreichung größtmöglicher Genauigkeit für die praktische Ausführung der Konstruktionen Bedacht zu nehmen. Unter den verschiedenen möglichen Methoden, die zur gesetzmäßigen Abbildung der Raumfiguren führen, wählt sie demgemäß nur eine kleine Anzahl, als für ihre Zwecke geeignet, aus. Diese beziehen

Röhn U. Pappbritz. I. 2. Aufl. 1

sich sämtlich auf die Konstruktion der ebenen Bilder durch Projektion.

Die Methode des Projizierens ist aus den Vorgängen beim Sehen der Gegenstände abstrahiert. Die Centralprojektion entsteht, wenn man aus einem gegebenen Projektionscentrum (Augpunkt) durch die Punkte des Objektes projizierende Strahlen (Sehstrahlen) zieht und diese mit der Bildebene schneidet. Statt des Projektionscentrums kann auch eine feste Richtung gegeben werden.' welche die projizierenden Strahlen haben sollen, sodaß sie gegen die Bildebene gleiche Neigung erhalten, insbesondere zu ihr rechtwinklig werden; hierbei ergiebt sich die schiefe oder speziell die orthogonale Parallelprojektion. Diese Methoden empfehlen sich vor anderen durch die Bildlichkeit der Darstellungen, d. h. dadurch, daß die Gesichtseindrücke, welche wir von letzteren haben, in allem Wesentlichen mit denen übereinstimmen, welche die dargestellten Objekte selbst hervorrufen würden. Hiermit ist der weitere Vorteil verknüpft, daß bei ihrer Zugrundelegung die Entwickelung der geometrischen Beziehungen, die den räumlichen Objekten anhaften, sich am durchsichtigsten gestaltet.

Mit Rücksicht auf die Anwendungen sucht man die Anschaulichkeit der Darstellungen räumlicher Objekte dadurch zu erhöhen, daß man ihnen die Wiedergabe der Beleuchtungsverhältnisse für eine geeignet angenommene Lichtquelle, namentlich die Eigenund Schlagschatten in genauer Konstruktion hinzufügt. Die Lichtquelle wird entweder durch einen leuchtenden Punkt im Endlichen vertreten, oder man nimmt sie in unendlicher Ferne an, sodaß die Lichtstrahlen parallel werden. Die Theorie der Schattenkonstruktionen ist in der Projektionslehre enthalten; die Theorie der Beleuchtung gesetzmäßig gestalteter Oberflächen schließt sich eng an die erstere an, bedarf aber besonderer Auseinandersetzungen.

In letzter Linie kommen für die darstellende Geometrie Methoden in Betracht, welche auf die Konstruktion räumlicher Abbilder oder Modelle der Raumfiguren abzielen. Unter ihnen bedürfen die, welche die Konstruktion von Modellen bezwecken, die mit den gegebenen Objekten kongruent oder (bei verändertem Maßstabe) in allen Teilen ähnlich sind, ihrer unmittelbaren Faßlichkeit wegen, keiner näheren Erläuterung. Hiervon abgesehen kommt die sogenannte Reliefperspektive gelegentlich zur Anwendung. Ihre Theorie läßt sich als eine Verallgemeinerung der Projektionsmethode an deren Darlegung ohne Schwierigkeit anfügen.

Die darstellende Geometrie bedarf zu ihrer Entwickelung keiner anderen theoretischen Voraussetzungen als der Begriffe und Lehrsätze der elementaren Planimetrie und Stereometrie. Diese bezeichnen daher auch das Maß der mathematischen Vorkenntnisse, die zum Verständnisse dieses Lehrbuches erforderlich sind und auf die Bezug genommen wird, ohne Erklärungen oder Beweise hinzuzufügen. An die Elemente der Raumlehre anknüpfend bildet die darstellende Geometrie selbständig die Lehre von den Projektionen aus. Das Verfahren des Projizierens aber, das in erster Linie benutzt wird, um die Darstellung gegebener Raumfiguren zu gewinnen, soll gleichzeitig dazu dienen, Eigenschaften derselben zu erkennen und zu beweisen. Auch sollen die Projektionsmethoden auf höhere stereometrische Fragen augewandt und diese durch Konstruktion gelöst werden. Dann erst wird dem Zwecke -der mathematischen Schulung der Anschauung genügend Rechnung getragen; denn jede konstruktive Lösung besteht in einer methodisch geordneten Folge von Operationen, deren geometrische Bedeutungen, im Gegensatz zu denen der rechnenden Operationen, einzeln anschaulich erfaßt, in ihrer Gesamtheit aber bei der graphischen Ausführung überblickt werden können.

Durch ihre Methoden wird unsere Wissenschaft naturgemäß zur Untersuchung derjenigen Eigenschaften der Figuren geführt, welche mit denen der durch Projektion gewonnenen Bilder übereinstimmen. Diese durch Projektion unzerstörbaren oder projektiven Eigenschaften der Raumgebilde sind es, welche in allgemeinster Weise aufgefaßt, die Grundlagen der Geometrie der Lage ausmachen. Bei letzterer fällt die Rücksicht auf Darstellbarkeit fort; sie operiert lediglich mit Begriffen. Die darstellende Geometrie aber bereitet die Bildung dieser Begriffe vor, indem sie alle geometrischen Gesetze untersucht, welche durch den wirklichen Vorgang der Projektion direkt begründet werden.

Steht also die darstellende Geometrie zur Geometrie der Lage in näherer Beziehung als zur analytischen Geometrie, welche die Gebilde und ihre Eigenschaften durch Gleichungen zwischen Maßzahlen bestimmt, so kann sie doch auf den Gebrauch von Maßrelationen nicht völlig verzichten, weil die Bestimmung der Größenverhältnisse, ebensogut wie die der Lagebeziehungen in ihrer Aufgabe liegt. Aber sie verwendet nur die einfachsten Formen derselben, bei denen an die Stelle der Rechnung mit analytischen Größen sogleich die Konstruktion treten kann.

Irgend eine Aufgabe der darstellenden Geometrie ist als gelöst

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