Lehrbuch der darstellenden Geometrie

168.

Flucht- und Verschwindungspunkt einer Geraden. Flucht- und

Verschwindungslinie ciner Ebene .

131

169. Unendlich ferne Elemente. Richtung der Geraden, Stellung

der Ebene

171. Bestimmung der Centralprojektion bei gegebener Original-

und Bildebene durch zwei Paare, bei gegebener Projektions-

achse durch drei Paare entsprechender Punkte, deren Ver-

bindungslinien sich auf der Achse schneiden

132

172.

Drei paarweise perspektive Figuren

133

Drehung einer von zwei perspektiven Figuren um die Pro-

jektionsachse

134

175. Vereinigung von Original- und Bildebene durch die Drehung 135

Centralprojektion in der Ebene.

176. Eigenschaften perspektiver oder centrisch-kollinearer Figuren

einer Ebene

177-182. Bestimmungsstücke der Centralkollineation in der Ebene. Gegen-

achsen und Gegenpunkte einer Ebene, bezw. Geraden und

ihres Bildes. Fundamentalkonstruktionen.

Perspektive Grundgebilde.

183. 184. Die einförmigen Grundgebilde: Punktreihe, Strahlbüschel,
Ebenenbüschel. Perspektive Lage zweier Grundgebilde
185-190. Zwei perspektive Punktreihen. Perspektivitätscentrum; die
Gegenpunkte. Unendlich viele perspektive Lagen dreier
Punkte einer Geraden zu drei Punkten einer zweiten. Das
Entsprechen aller Punkte der Reihen ist hierbei stets das
gleiche. Folgerungen hieraus

191-197. Zwei perspektive Strahlbüschel. Perspektivitätsachse. Drei

Paare entsprechender Strahlen bestimmen die Perspektivität

der Büschel. Entsprechende Rechtwinkelstrahlen. Folgerungen.

Perspektive Strahlbüschel als affingelegene Figuren. Von

zwei perspektiven Büscheln kann jedes als Orthogonalpro-

jektion des anderen dargestellt werden

138

139

112

198-199. Zwei perspektive Ebenenbüschel. Perspektivitätsebene. Drei

Paare entsprechender Ebenen bestimmen die Perspektivität

der Büschel. Entsprechende Rechtwinkelebenen. Folgerungen 145

200. Zusammenfassung der Sätze über die Perspektivität der Grund-

gebilde

146

Seite

201-203. Je zwei ebene Vierecke können in perspektive Lage gebracht
werden. Herstellung solcher Lagen.

Harmonische Grundgebilde.

204. Harmonische Punktreihe als Projektion der Endpunkte, des

205.

Mittelpunktes und unendlich fernen Punktes einer Strecke

Vertauschbarkeit der Punkte in der harmonischen Reihe

206. Harmonischer Strahlbüschel

207. Harmonischer Ebenenbüschel

208. Unzerstörbarkeit der harmonischen Lage durch Projektion 151

209-212. Vollständiges ebenes Viereck und Vierseit. Harmonisch liegende
Elemente dieser Figuren. Konstruktion des vierten harmo-
nischen Elementes zu drei gegebenen

Metrische Beziehungen zwischen perspektiven Grundgebilden.

151

213. 214. Verhältnisgleichung zwischen ähnlichen oder affinen Strecken.

Verallgemeinerte Fragestellung für perspektive Grundgebilde 154

215. 216. Messung von Strecken und Winkeln

217. 218.

Bestimmung des einzelnen Elementes in der Punktreihe, dem
Strahl- oder Ebenenbüschel durch ein Abstandsverhältnis 156
219. Streckenrelation zwischen zwei perspektiven Punktreihen
220. Doppelverhältnis von vier Punkten. Bestimmung eines Punktes
durch sein Doppelverhältnis mit drei gegebenen. Die Doppel-
verhältnisgleichheit als Bedingung perspektiver Lage.

221. Vertauschbarkeit der Punkte einer Reihe ohne Änderung des

Doppelverhältnisses .

222. Das Doppelverhältnis von vier harmonischen Punkten

223-226. Anwendung des Doppelverhältnisbegriffs auf Strahl- und Ebenen-

büschel. Zusammenfassung der Ergebnisse

Involutorische Grundgebilde.

227. 228. Gleiche Strecken mit entsprechenden Endpunkten in zwei

perspektiven Punktreihen.

229. 230. Erzeugung der involutorischen Lage zweier Punktreihen. Ver-

tauschbares Entsprechen. Mittelpunkt der Involution. Gleich-

laufende und ungleichlaufende Involution

231. 232. Die Doppelpunkte der Involution. Harmonische Lage der

Punktepaare zu den Doppelpunkten

233. Ausdehnung der vorigen Sätze auf Strahl- und Ebenenbüschel

234. Gleiche Winkel mit entsprechenden Schenkeln in zwei per-

spektiven Strahlbüscheln .

235. Erzeugung der involutorischen Lage zweier Strahlbüschel. Das

Rechtwinkelpaar .

237. Die Doppelstrahlen der Involution. Harmonische Lage der

Strahlenpaare zu den Doppelstrahlen

166

Seite

V. Kapitel. Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen.

Projektion eines Kreises in einen Kreis. Involutorische Centralprojek-

tion in der Ebene. Pol und Polare beim Kreise. Schiefer Kreiskegel.

238-240. Perspektive Lagen zweier Kreise einer Ebene. Die Ähnlich-

keitspunkte als Centren, die Chordale und unendlich ferne

Gerade als Achsen

241-243. Projektion eines Kreises in sich selbst. Polare eines Punktes

und Pol einer Geraden in Bezug auf den Kreis

244-250. Involutorische Centra projektion in der Ebene. Kreisbüschel,

die bei ihr in sich übergehen. Gemeinsame Chordale. Null-

kreise oder Grenzpunkte. Lösung von Aufgaben über die

Involution mittels Kreisbüscheln

251-257. Harmonische oder konjugierte Pole und Polaren des Kreises.

Polare eines Punktes, Pol einer Geraden. Polardreiecke.

Eingeschriebenes Viereck und umgeschriebenes Vierseit

258-263. Schiefer Kreiskegel. Symmetrieebenen. Wechselschnitte. Kreis-

schnitte. Kugeln durch einen Kreisschnitt schneiden noch

einen zweiten Kreis aus .

264-267. Centralprojektionen eines Kreises in einen Kreis, bei denen

einer nicht schneidenden Geraden die unendlich ferne Gerade

oder einem inneren Punkte der Mittelpunkt oder drei Punkten

des Originals drei Punkte des Bildes entsprechen

Polygone, die einem Kreise ein- oder umgeschrieben sind.

268. Zwei Vierecke, die einander und zugleich einem Kreise ein-

bezw. umgeschrieben sind

186

269. Zwei Dreiecke, die einander und zugleich einem Kreise ein-

bezw. umgeschrieben sind

187

270.

Pascal'sches Sechseck und Brianchon'sches Sechsseit

272. Sechsecke, die einem Kreise eingeschrieben sind

273-275. Doppelverhältnis von vier Punkten oder Tangenten eines Kreises

277. Sechsseite, die einem Kreise umgeschrieben sind

Entstehung der Kegelschnitte aus der Centralprojektion des Kreises.

278-280. Definition der Kegelschnitte als ebener Centralprojektionen

des Kreises. Der Kegelschnitt ist eine stetige geschlossene

Kurve. Er bestimmt mit einer Geraden zwei Schnittpunkte,

mit einem Punkte zwei Tangenten

281-283. Die drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel und Parabel 193

Pole und Polaren eines Kegelschnittes; Mittelpunkt, Durchmesser

und Achsen.

284-288. Harmonische Pole und Polaren eines Kegelschnittes. Polare

eines Punktes; Pol einer Geraden; ihre Konstruktion.

Polardreiecke. Äußere und innere Punkte cines Kegel-

schnittes

195

289-293. Involution der harmonischen Pole auf einer Geraden und der

harmonischen Polaren durch einen Punkt. Elliptische, hyper-

bolische und parabolische Involution. Konstruktionen. Pro-

jektivität der Grundgebilde, die durch Pol und Polare gleich-

zeitig erzeugt werden

294–296. Durchmesser und Mittelpunkt eines Kegelschnittes

297-300. Konjugierte Durchmesser und Achsen

Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Strahlbüschel

und Punktreihen.

301. 302. Projektive Büschel und Reihen in perspektiver und in schiefer

Lage. Erzeugung des Kreises durch Büschel und Reihen

303-305. Die Erzeugung der Kegelschnitte als Ortskurven durch pro-

jektive Strahlbüschel, als Umhüllungskurven durch projek-

tive Punktreihen

306-309. Bestimmung eines Kegelschnittes durch fünf Punkte, fünf

Tangenten oder fünf gleichwertige Elemente

310-312. Konstruktionen der Kegelschnitte aus fünf Elementen

313-318. Sätze von Pascal und Brianchon und anschließende Kon-

struktionen

319-322. Konstruktion entsprechender Strahlen, der Rechtwinkel- und

Doppelstrahlen zweier projektiver Strahlbüschel an einerlei

Scheitel, sowie entsprechender Punkte, der Gegen- und

Doppelpunkte zweier projektiver Punktreihen auf derselben

Geraden.

212

. . 214

323. 324. Projektive Punktreihen und Tangentenbüschel eines Kegel-

schnittes

325. 326. Involution auf dem Kegelschnitt, Mittelpunkt und Achse der-
selben

327. 328. Bestimmung entsprechender und der ausgezeichneten Elemente
in Strahlen- und Punktinvolutionen

329-336. Lösung von Aufgaben über Kegelschnitte, von denen fünf
Punkte oder Tangenten gegeben sind. Schnittpunkte mit
einer Geraden. Tangenten aus einem Punkte. Polare eines
Punktes. Pol einer Geraden. Durchmesser und Mittelpunkt.
Konjugierte Durchmesser, Achsen und Asymptoten. Invo-
lution der Pole und Polaren mit gegebenem Träger
Kriterien für die Art des durch zwei projektive Strahlbüschel
oder Punktreihen erzeugten Kegelschnittes

337. 338.