C" und C und benenne die Schnittpunkte ihrer Schenkel mit der Achse "B" als X und Y, so aber daß die letzte Ungleichung erfüllt ist. Hierauf fixiere man auf der verlängerten Geraden XC" willkürlich den Punkt C und zeichne das Dreieck XCY in der Lage XCY, so daß die Gerade CX auf die über Co hinaus verlängerte Gerade XC" und die Punkte Y, und Y auf einerlei Seite dieser Geraden fallen. Hat man hierdurch zugleich A" und B" in A und B1 übergeführt, so schneiden sich Co und Ä′′C” in einem Punkte W der Spur e, welche parallel zu C"Y zu ziehen ist. Die Niederlegung des gesuchten Dreiecks kann dann als das zum ▲ A"B"C" affingelegene ▲ A°B°C° gezeichnet werden (C°Y°‡C"Y und Gerade YoB°A°X° || Gerade YB,4,X). Um seinen Grundriß und die Spur e1 zu finden, hat man die niedergelegte Ebene aufzurichten und in einer Seitenansicht die zweiten Tafelabstände der in Frage kommenden Punkte zu bestimmen. 121. Die schiefe Parallel projektion eines gegebenen Dreiecks ABC auf eine feste Ebene П, soll so bestimmt werden, daß das Bild einem gegebenen Dreieck A'B1Ç1 ähnlich wird. 0 0 B ziehe durch B. die Parallele zur Seite 4C, welche die Achse e1 in X treffen mag. Die Seiten B。。, C。。, AB。 mögen e1 in den Punkten U, V. W schneiden. Sind ferner a, B, y die Winkel im ▲ ABC und a1, B1, 71 die Winkel im A1B1C1, so ist / XB,W=α und UBW = 2 Rẞ, mithin der Punkt B, durch die beiden Bedingungen: XB1W = α, und UB, W = 2 R-B1 zu bestimmen. B1 findet sich daher als Schnittpunkt zweier Kreise, welche über 0 ROHN u. PAPPERITZ I. 6 den Sehnen XW und UW die Peripheriewinkel ɑ und 2 R −3 enthalten. Das A A,B,C, mit den vorgeschriebenen Winkeln entsteht dann, indem man B1U und B, W zieht und diese Geraden mit der Parallelen durch V zu B1X schneidet. Wird schließlich das A ABC um e, in die ursprüngliche Lage aufgedreht, so sind ▲ ABC und В11 durch Parallelprojektion aufeinander bezogen. 122. Die schiefe Parallelprojektion eines gegebenen Kreises vom Radius r auf eine Ebene П, soll so bestimmt werden, daß sein Bild eine Ellipse von gegebenen Halb achsen a und b wird. Der Kreis k werde um die Spur e, seiner Ebene in П, niedergelegt. Seine Umlegung k。 (Fig. 95b) und sein Bild, die Ellipse k1, müssen sich in Bezug auf e, als Achse in affiner Lage befinden, befinden, mithin muß dem zu e, parallelen Kreisdurchmesser CD ein ihm gleicher und paralleler Ellipsendurch messer CD1 entsprechen. Damit aber eine Ellipse mit den Halbachsen a und b einen Durchmesser von der Länge 2r habe. muß arb sein. Diese Bedingung entscheidet über die Lösbarkeit unseres Problems; ist sie erfüllt, so giebt es im allgemeinen zwei Ellipsendurchmesser der gefor derten Art symmetrisch zu den Achsen. Der Winkel, welchen einer derselben, d, mit der größeren Achse bildet und den affinen Winkel g findet man durch eine Hilfs konstruktion (Fig. 95 a) indem man nach 29 die affine Lage des rechtwinkligen Dreiecks 4MB, mit den Katheten a und b und des rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks AMB mit der Kathete 0 bestimmt. Hierauf ziehe man in der Hauptfigur aus dem Mittelpunkt M von ko die Linie M4, unter dem Winkel gegen e1 und zu ihr normal MB; die Schnittpunkte dieser Linien mit e seien X und Y. Der Ellipsenmittelpunkt M, liegt als Scheitel des zu ▲ XMY affinen rechten Winkels auf dem Kreise XMY und zwar so, daß YXM1 = 9, ist. Damit ist die Affinität festgelegt. Die zu MM, parallelen Affinitätsstrahlen durch 4, und B schneiden XM1 und YM, in den Scheiteln 1 und B1 der Ellipse, welche nach dem früheren punktweise konstruierbar ist. Wird der Kreis in seine ursprüngliche Lage aufgedreht, so bleibt er durch Parallelprojektion auf die Ellipse bezogen. DRITTES KAPITEL. Ebenflächige Gebilde, Körper. Die körperliche Ecke; das Dreikant. 123. Die ebenflächigen Gebilde werden begrenzt von ebenen Polygonen, diese von Kanten, die in den Ecken zusammenstossen. Die Kanten eines solchen Gebildes sind in zweifacher Weise angeordnet; einerseits bilden sie ebene Vielecke, andererseits körperliche Ecken. Eine körperliche n-kantige Ecke oder kürzer ein n-Kant wird gebildet von n-Strahlen und -Winkeln, die von einem Punkte ausgehen. Dieser Punkt heißt der Scheitel, jene Strahlen die Kanten und jene Winkel die Seiten (Seitenflächen) der körperlichen Ecke. Jede Seite wird von zwei Kanten begrenzt und kann daher auch als Kantenwinkel bezeichnet werden, in jeder Kante stossen zwei Seiten an einander, die so die Flächenwinkel oder kurz die Winkel des n-Kants bilden. Zwei n-Kante, welche alle Seiten und alle Winkel entsprechend gleich haben, sind kongruent oder symmetrisch. Es ist das unmittelbar zu erkennen, wenn man die beiden n-Kante in eine solche gegenseitige Lage bringt, daß zwei aufeinanderfolgende Kanten des einen mit den entsprechenden des anderen zusmmenfallen, wobei dann beide n-Kante sich entweder ganz decken oder in symmetrischer Lage in Bezug auf die gemeinsame Seitenfläche als Symmetrieebene befinden. Verlängert man die Kanten eines n-Kants über den Scheitel hinaus, so erhält man ein neues n-Kant, dessen Seiten die Scheitelwinkel der Seiten des ersteren sind; beide n-Kante sind symmetrisch. 124. Ein n-Kant, bei dem jeder Flächenwinkel 2 R ist, heißt konkav. Bei einem konkaven n-Kant ist die Summe der Seiten 4R, vorausgesetzt, daß sich die Seitenflächen nicht durchkreuzen. Schneidet man nämlich das n-Kant mit einer Ebene die alle Kanten trifft so entsteht ein Körper, den man als n-seitige Pyramide bezeichnet; derselbe wird begrenzt von einem n-Eck, der Basisfläche, und n Dreiecken, den Seitenflächen (vergl. Fig. 96). Nennt man die Ecken der Basisfläche 1, 2, .... n und die nach ihnen laufenden Kanten k1, kak, so kann man die Kantenwinkel durch k1ką, L ką ką ⋅ L. knky, die Flächenwinkel durch k1, L ką, .... kn bezeichnen. Bedenkt man, daß die Winkelsumme in jedem der n Seitendreiecke 2 R beträgt, so folgt: 2 kg kg + L kg kg + .... + L k2k = 2nR -S12-LS21-LS23-LS32 S 6 Fig. 96. .... Nun ist der Punkt 2 Scheitel eines Dreikants mit den Kanten 21, 23, 2 S, und da in jedem Dreikant die Summe zweier Seiten grösser als die dritte ist, hat man: LS21 S2 3 > ▲ 12 3. Indem man die analogen Resultate für die Ecken 3, 4, ..., n, 1 benutzt, geht die frühere Gleichung in die Ungleichung über: < k2 kg + L kg kg + .... + ≤ k„k2 < 2 n R-123-234-.... oder, da die Winkelsumme im n-Eck (2n-4) R beträgt, in: ▲ k1 kq + L ką kз + ........ + ≤ knk2 < 4R. .... Fällt man von einem Punkt im Innern eines n-Kants der Reihe nach Lote auf seine Seitenflächen, so bestimmen die aufeinanderfolgenden Lote die Seitenflächen eines neuen n-Kants, des Polarn-kants. Daraus folgt sofort, daß auch die Kanten des ursprünglichen n-Kants auf den bezüglichen Seitenflächen seines Polar-n-kants senkrecht stehen; und es ist weiter ersichtlich, daß die Kantenwinkel eines jeden von ihnen die Supplemente der entsprechenden Flächenwinkel beim anderen sind. Dabei sind solche Kanten und Seiten als entsprechend aufgefaßt, die aufeinander senkrecht stehen. Die Summe der Winkel (Flächenwinkel) eines konkaven n-Kants ist > (2n − 4) R. Denn für das zugehörige Polar-n-kant, das ebenfalls konkav ist, ist nach dem vorangehenden Satze die Summe der Seiten < 4 R, also die Summe der zugehörigen Supplementswinkel > (2n − 4) R; diese sind aber jenen Flächenwinkeln gleich. 125. Wie in der Ebene die Konstruktion der n-Ecke auf diejenige der Dreiecke zurückgeführt wird, so wird im Raume die Konstruktion der n-Kante auf diejenige der Dreikante reduziert. Wir werden uns deshalb weiterhin ausführlicher mit den Dreikanten zu beschäftigen haben. In einem Dreikant sind alle Winkel und alle Seiten <2 R. Seine Kanten sollen durchweg mit a, b, c, die gegenüberliegenden Seiten mit A, B, bezeichnet werden, so daß A = bc, B = ca, ab und a= BXT, b=[XA, c = AX B ist. LA, LB, L bedeuten dann die Kantenwinkel, und La, Lb, Le die Flächenwinkel des Dreikants. Nach den Vorausgeschickten Untersuchungen haben wir die Ungleichungen: 0 < LA+B+2г< 4 R und 2 Ra+ Lb + c < 6 R. Hierzu kommen noch die Ungleichungen: LA+<B> <г, 2B + <r> <A, 25+ <A> <B, welche besagen, daß die Summe zweier Seiten grösser als die dritte ist. Es ist hier nicht nötig, diese letzteren Ungleichungen zu beweisen, da sie bei der folgenden Konstruktion des Dreikants aus seinen drei Seiten sofort als richtig erkannt werden. Mit Hilfe des Polardreikants folgern wir aus den letzten Ungleichungen noch die weiteren: La+Lb<2R + ▲ c, ≤ b + L c<2R+ La, Let La< 2R+ b. Von den sechs Winkeln (drei Kanten- und drei Flächenwinkeln) eines Dreikants genügt es irgend drei zu kennen, um das zugehörige Dreikant konstruktiv zu bestimmen. Soll die Konstruktion nicht unmöglich werden, so dürfen die gegebenen Winkel den angeführten Ungleichungen nicht widersprechen. Es ergeben sich nun die folgenden 6 Aufgaben: |