Punkt von E. Die Figuren 43, a, b, c, d entsprechen den hierbei möglichen Fällen. Um die Lage von E deutlicher erkennbar zu machen, ist jedesmal ausser e, und e, in der umgelegten Seitenriẞebene die dritte Spur e, mitgezeichnet. Spuren e1 P Fallen die beiden ersten Fig. 44. 1 P' Punkte, Gerade und Ebenen in vereinigter Lage. Verbindungsund Schnittelemente. Parallelismus. 56. Aus der Entwickelung der Darstellungsmethode für die einfachen Grundgebilde ergeben sich eine Reihe allgemeiner Sätze. Die Projektionen eines Punktes P liegen auf den gleichnamigen Projektionen jeder durch ihn gehenden Geraden g. Die Spuren einer Ebene E enthalten die gleichnamigen Spuren jeder auf ihr liegenden Geraden g. 57. Schneiden sich zwei Gerade g und h, so sind die Projektionen P' und P" des Schnittpunktes P die Schnittpunkte ghund g′′ × h" der gleichnamigen Projektionen Fig. 46. der Geraden und folglich ist deren Verbindungslinie zur Achse senkrecht. (Fig. 45 und 47.) Sind zwei Gerade parallel (haben sie einen unendlich fernen Schnittpunkt). so sind ihre gleichnamigen projizierenden Ebenen und folglich ihre gleichnamigen Projektionen parallel. (Fig. 46.) Im besonderen können sich zwei gleichnamige Projektionen auf Punkte reduzieren. 2 P" Liegen zwei Gerade g und h in einer Ebene E, so sind. deren Spuren e und e2 die Verbindungslinien G1H, und G2H2 der gleichnamigen Spurpunkte der Geraden und folglich schneiden diese sich in einem Punkte E der Achse (Fig. 45 und 46) oder sind ihr beide parallel (Fig. 47). Aus der Umkehrung der letzten Sätze folgt: 58. Liegen die Schnittpunkte der gleichnamigen Projektionen zweier Geraden in einer Senkrechten zur Achse, h" h' Fig. 47. so schneiden sich die Geraden; sind die gleichnamigen Projektionen parallel, so sind es auch die Geraden selbst. Zwei Gerade, deren Projektionen keine dieser beiden Voraussetzungen erfüllen, sind windschief (haben keinen Punkt gemein). Schneiden sich die Verbindungslinien der gleichnamigen Spurpunkte zweier Geraden in einem Punkte der Achse oder sind sie beide zur Achse parallel, so liegen. die Geraden in einer Ebene. Zwei Gerade, deren Spurpunkte keiner dieser beiden Bedingungen genügen, sind windschief (haben keine Verbindungsebene). Die beiden letzten Kriterien sind einander äquivalent, insofern je zwei sich schneidende oder parallele Geraden eine Ebene bestimmen, resp. je zwei in einer Ebene liegende Geraden einen erreichbaren oder unendlich fernen Punkt gemein haben. 59. Es giebt einige besondere Lagen der beiden betrachteten Geraden gegen das Tafelsystem, bei denen die Voraussetzungen des einen oder anderen der Sätze in 58. für die ersten und zweiten Projektionen oder Spurpunkte an sich erfüllt sind, ohne daß daraus die Existenz eines Schnittpunktes und einer Verbindungsebene geschlossen, bezw. diese selbst nach einem der vorhergehenden Sätze direkt bestimmt werden könnten. Hierzu kommt, daß gegebenen Falles die Schnitt- und Spurpunkte zum Teil außerhalb der Zeichnungsfläche liegen können, so daß möglicherweise keines der beiden Kriterien in 58. direkt anwendbar ist. In allen diesen Fällen bedarf es geeigneter Hilfskonstruktionen. y g'. Fig. 49. falls giebt es keine solche. g" Ex x e 60. Liegt eine der Geraden, etwa g, in einer Normalebene N zur Achse, so wird sie von der anderen h getroffen, wenn der Schnittpunkt S = h X N auf g, also S" auf g'" liegt (Fig. 48); andernfalls sind 9 und h windschief. Liegen beide Geraden in derselben Normalebene zur Achse, so schneiden sie sich oder sind parallel, je nachdem dies bei den dritten Projektionen g"" und h"" der Fall ist. Schneidet g die Achse in G, so verbinde man einen beliebigen Punkt P auf 9. mit einem Punkte Q auf h durch eine Gerade i und be stimme deren Spurpunkte sowie die Spurlinien der Verbindungsebene E=hi; fällt der Achsenschnittpunkt Ex der letzteren mit G zusammen, so bildet sie zugleich die Verbindungsebene von g und h (Fig. 49); andern Eine die beiden gegebenen Geraden schneidende Hilfsgerade i wird auch in dem Falle benutzt, wenn g und h beide die Achse (in getrennten Punkten) schneiden; damit dieselben eine Verbindungsebene E haben, muß hier auch die Achse treffen; die Seitenspur es ist dann durch die zusammenfallenden Seitenrisse g"" und h" gegeben. 61. Parallele Ebenen haben in jeder Tafel parallele Spurlinien. Umgekehrt folgt aus dem Parallelismus der gleichnamigen Spuren zweier Ebenen, daß diese selbst parallel sind. Hierbei genügt es im allgemeinen die ersten und zweiten Spuren zu betrachten; nur wenn diese sämtlich parallel zur Achse liegen, sind noch die Spuren in irgend einer Hilfsebene, z. B. der Seitenrißebene, als unter sich parallel festzustellen. 62. Die in einer Ebene E parallel zur ersten oder zweiten Tafel, folglich auch parallel zu den gleichnamigen Spuren gezogenen Geraden heißen erste oder zweite Hauptlinien (oder Streichlinien) von E. Die eine Projektion einer Hauptlinie ist parallel zur gleichnamigen Spur, die andere zur Achse. Die Hauptlinien vertreten oft die Spuren; letztere sind Hauptlinien von spezieller Lage. h H2 Er H2 63. Wie zu einer Projektion eines auf gegebener Geraden g gelegenen Punktes die andere Projektion, oder zu einer Spur einer durch g gehenden Ebene E die andere Spur gefunden wird, ist aus dem Vorhergehenden unmittelbar zu entnehmen. Die Aufgaben: Aus einer Projektion eines Punktes P und den Spuren einer ihn enthaltenden Ebene E die andere Projektion, sowie aus einer Spur von E und beiden Projektionen des auf ihr liegenden Punktes P die andere Spur zu bestimmen, werden auf folgende Art gelöst. Im ersten Falle sei etwa P' gegeben. Man ziehe (Fig. 50) durch P' eine Gerade h' parallel zu e1 als Grundriß einer ersten Hauptlinie von E, bestimme H2 = h′ × x und lege durch H2 auf e, die Parallele h" zur Achse; auf h" wird P" gefunden. Im anderen Falle sei neben P' und P" die Spur e, gegeben. Man lege auch hier eine erste Hauptlinie h durch P, ziehe also, wie vorher h' durch P', h" durch P" Fig. 50. |