Bezeichnung ihrer Punkte, Linien und Flächen durch Buchstaben die folgende Regel für das Zeichnen der Linien. In jeder Figur sind Haupt- und Nebenlinien zu unterscheiden; zu den ersteren gehören die bei der Problemstellung gegebenen und gesuchten Linien, sowie die Achse der Projektion, zu den letzteren die nur zu Konstruktionszwecken eingeführten Hilfslinien.

Fig. 36.

Die Projektion einer jeden Hauptlinie wird voll ausgezogen, soweit letztere selbst im vorderen oberen Raumquadranten liegt und sichtbar ist; andernfalls wird sie punktiert. Nebenlinien werden ob sichtbar oder unsichtbar gestrichelt oder strichpunktiert. Für die Beurtheilung der Sichtbarkeit ist zu bemerken, daß alle vorkommenden Flächen ebenso wie die Projektionstafeln als undurchsichtig gelten, sowie daß die Sehrichtung den projizierenden Strahlen in ihrer ursprünglichen Lage folgt und zwar für TT, von oben nach unten, für П aber von vorn nach hinten.

Bei der Abbildung allseitig begrenzter Objekte denkt man sich diese zweckmäßig ganz in dem oberen vorderen Raumquadranten gelegen, wodurch die Darstellung an Übersichtlichkeit gewinnt.

Darstellung der Grundgebilde: Punkt, Gerade, Ebene in verschiedenen Lagen.

Wir nehmen jetzt die oben geforderte Umlegung der einen Projektionsebene in die andere als vollzogen an und betrachten die den möglichen verschiedenen Lagen von Punkten, Geraden und Ebenen gegen das ursprüngliche System entsprechende Anordnung der zu ihrer Bestimmung dienenden Elemente in der Zeichnungsebene.

49. Der Punkt. Die Projektionen P' und P" eines

Punktes P liegen in einer zur Achse senkrechten Geraden

(Fig. 37). Umgekehrt bilden je

P liegt über, auf oder unter П1, je nachdem P′′ oberhalb, auf, oder unterhalb der Achse liegt, und befindet sich zugleich vor, auf oder

unten vorn, oben hinten, unten hinten gelegenen Raumquadranten,

P2, P4, P, Ps resp. der Halbebene +П1, +П2,

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d. h. mit PP" und PP überein. OP ist der dritte Tafelabstand.

51. Den geometrischen Ort aller Punkte des Raumes, welche von beiden Projektionstafeln gleiche Abstände haben, bilden zwei die Achse enthaltende Ebenen, welche die von den Tafeln gebildeten rechten Winkel halbieren und deshalb Halbierungsebenen heißen. Die beiderlei Projektionen der Punkte in der ersten Halbierungsebene H, (welche durch die oben vorn und unten hinten liegenden Raumquadranten geht, liegen nach Vereinigung der Tafeln symmetrisch zur Achse, die der Punkte in der zweiten Halbierungsebene H, fallen zusammen.

52. Die Gerade. Die Projektionen g' und g" einer Geraden g sind zwei gerade Linien, deren Punkte einander paarweise als die beiderlei Projektionen der Punkte von g so zugeordnet sind, daß jedes Paar auf einer zur Achse senkrechten Geraden liegt. Hieraus folgt: Falls eine der Projektionen zur Achse rechtwinklig steht (also g in einer Normalebene zu z liegt), liegen g und g" vereinigt, und zwar gilt dies auch für den noch spezielleren Fall, wo eine von ihnen in einen Punkt ausartet (also g auf einer Tafel senkrecht steht). Umgekehrt können je zwei (getrennte oder zusammenfallende Gerade g' und g", sofern nur keine von ihnen auf der Achse senkrecht steht, als die beiden Projektionen einer bestimmten Geraden g des Raumes betrachtet werden, welche nach dem früheren als Schnitt der durch g' und g′′ gelegten projizierenden Ebenen konstruiert werden kann.

53. Jeder der beiden Spurpunkte von g fällt mit seiner gleichnamigen Projektion zusammen, während die ungleichnamige in der Achse liegt. Demnach findet man G1 auf g', indem man auf der Achse in ihrem Schnittpunkt mit g" eine Normale errichtet; analog findet sich G2. Umgekehrt sind durch die Spuren G1 und G2 die Fußpunkte G," und G, der von ihnen auf die Achse gefällten Lothe und die Projektionen von g als Verbindungslinien g′ = G1G2 und g′′ GG," bestimmt. Die von den Spuren begrenzte Strecke GG, der Geraden g kann in jedem der von den Tafeln gebildeten Raumquadranten liegen. Diese vier Lagen der Geraden sind in den Figuren 40 a, b, c, d dargestellt. Ist in einer der Tafeln die Projektion von g der Achse parallel, so liegt in der anderen der Spurpunkt unendlich fern, folglich g selbst letzterer parallel. Mit g' und g" wird g der Achse parallel. Die Darstellung solcher Spezialfälle durch Figuren ist dem Leser überlassen.

=

Liegen g und g" symmetrisch zur Achse, so ist dies auch für

die beiden Projektionen jedes Punktes der Geraden g der Fall und letztere fällt daher in die erste Halbierungsebene H1. Fallen g' und g", mithin Grund- und Aufriß jedes Punktes von g aufeinander, so gehört g der zweiten Halbierungsebene H2 an.

54. Eine senkrecht zur Achse gezogene Gerade tritt nur als Projektion einer rechtwinklig zur gerichteten Geraden g auf und enthält daher gleichzeitig beide Projektionen g' und g". Durch die Annahme, daß g' und g" in eine gegebene Vertikale fallen, wird aber lediglich die g enthaltende Normalebene zur Achse fixiert; es bleibt also noch die Lage von g in dieser Ebene zu bestimmen. Hierzu dient die zu g parallele Seitenprojektion g'", deren Verzeichnung gemäß der früher für die Umlegung der Seitenrißebene П, in die Zeichnungsebene gegebenen Vorschrift erfolgt. Die Spurpunkte G1 und G2 findet man auf g′ = g'", wenn man in den Schnittpunkten von g'" mit den Nebenachsen y und z Normalen zu diesen errichtet (Fig. 41). Bei direkter Angabe von G1 und G2 wird der Seitenriß g"" im allgemeinen entbehrlich; nur wenn G, und G in einen Punkt der Achse zusammenfallen, also g diese selbst schneidet, ist g"" unumgänglich. Wenn im besonderen einer der

Spurpunkte G, und G2 unendlich fern liegt, stellt der andere die mit ihm gleichnamige Projektion dar und g ist als die in ihm zur

betreffenden Tafel errichtete Senkrechte bestimmt; die beiden anderen Projektionen liegen in diesem Falle, wie g selbst, zu einer Nebenachse parallel. Mit Hilfe des Seitenrisses g'" wird die Aufgabe gelöst, von einer als Verbindungslinie zweier Punkte P und Q gegebenen Geraden g die Spuren zu konstruieren, wenn die Projektionen P', P", Q', Q" in einer Senkrechten zur Achse x liegen. Man findet zuerst P"" und Q", sodann den Seitenriß g'" P""Q"" und aus diesem G, und G.

55. Die Ebene. Die Spuren e1 und e2 einer Ebene E sind zwei Gerade, welche mit der Achse einen und denselben Punkt Ex gemein haben.

Ist E der Achse parallel, so sind es auch e, und e. Umgekehrt dürfen je zwei sich auf der Achse schneidende oder zu ihr parallele Geraden e1 und e2 als Spuren einer Ebene angenommen

statt, so ist E normal zur Achse. In diesen drei Fällen stehen in E selbst die Spuren aufeinander rechtwinklig. Sind anderseits beide Spuren zur Achse parallel, so gilt dies auch von E und umgekehrt. E zerfällt dann durch e, und e, in drei, in je einem Raumquadranten verlaufende, Parallelstreifen; der vierte Quadrant enthält keinen