=

Berührungspunkte aber liegen auf dem Durchmesser J'K', der zu M'N' konjugiert ist. Zeichnet man demnach in A' die Tangente und Normale von u und bestimmt auf der letzteren den Punkt P, so daß PA' M'C' = M'D' wird, so ist der Kreis um P. mit dem Radius P4' zu u affin und die gemeinsame Tangente die Affinitätsachse, wodurch sich unmittelbar zu M'N' der konjugierte Durchmesser J'K' der Lage und Länge nach ergiebt. Ganz ebenso bestimmt sich der scheinbare Umriß in П. Um die Mantellinien der Lichtgrenze und ihre Spurpunkte F, G auf u in E zu finden, suchen wir zunächst den Schatten N* von N auf E; Fund Gʻ sind dann die Berührungspunkte der beiden Tangenten von u', die zu M′ N*' parallel sind, sie liegen also auf dem hierzu konjugierten Durch

messer.

*

* * * * *

Der Schlagschatten des Cylinders auf die Horizontalebene besteht aus zwei Halbellipsen und ihren parallelen gemeinsamen Tangenten. Konstruiert man den Schatten FMGHN von FMGHN, so sind FM und HM konjugierte Halbmesser der Schattenellipse u und die Tangenten in F und G an u, die parallel zu HMN sind, bilden die Schlagschattengrenze. Da die Ellipsen mit den Mittelpunkten M und N kongruent und parallel sind, so sind auch ihre Schatten kongruent; u' und u sind affin, e ist die

Affinitätsachse.

*

*

Wäre die Grundkurve u des Cylinders keine Ellipse, sondern eine beliebige Kurve, so wäre die Konstruktion genau dieselbe geblieben, nur hätten wir die Tangenten und ihre Berührungspunkte nach den im vorigen Kapitel angeführten Methoden bestimmen

müssen.

480. Denken wir uns den Cylinder hohl, so wird ein Teil seines oberen Randes v Schatten auf die innere Cylinderfläche werfen. Empfängt eine Mantellinie den Schatten einer anderen, so muß sie mit ihr in einer Parallelebene zum Lichtstrahle liegen, d. h. in einer Ebene, die zu MNN* parallel ist. MN* ist aber die Spur dieser Ebene in E, jene Parallelebene besitzt also in E und in der Ebene der Ellipse v Spuren, die zu MN* parallel laufen. Ist demnach die Sehne Q'R' von v' parallel zu M'N*, so wirft die Mantellinie durch Q und damit Q selbst seinen Schatten auf die Mantellinie durch R, wodurch sich Q* sofort ergiebt, da Q'Q* || l' ist. Der Schlagschatten v* von v auf dem Cylinder verläuft offenbar von F1 nach G1 und man kann in der geschilderten Weise beliebig viele Punkte von ihm zeichnen. Es bildet indeß * eine Halbellipse, von der F1'N' = N'G1' und H1*N' ein Paar konjugierte Halbmesser sind

(H1'L‚' || M'N*' und H1'H1* ||l′). In 514 wird nämlich gezeigt, daß zwei Cylinder, die sich in einer Ellipse durchschneiden, noch eine zweite Ellipse gemein haben; die beiden Ellipsen besitzen einen gemeinsamen Durchmesser und sind affin.

Durch v geht nun außer

dem gegebenen Cylinder noch ein Cylinder, dessen Mantellinien den Lichtstrahlen parallel laufen, sie durchdringen sich

von noch in der Schlagschattenellipse v*.

v

abgesehen

481. Wir wollen uns noch die Frage nach den Tangentialebenen eines Cylinders aus einem gegebenen Punkte vorlegen. Die Tangentialebene in einem Punkte des Cylinders berührt ihn längs der Mantellinie, die jenen Punkt enthält; alle Tangentialebenen sind also den Mantellinien parallel. Legt man demnach durch den gegebenen Punkt eine Parallele zu den Mantellinien, so müssen die gesuchten Tangentialebenen diese Parallele enthalten. Die Spuren der Tangentialebenen in E sind also die von dem Schnittpunkt der Parallelen mit E an u gelegten Tangenten; dadurch ergeben sich denn auch die Berührungslinien jener Ebenen. Würde man sich den gegebenen Punkt als Lichtquelle vorstellen, so würden die Berührungslinien die Lichtgrenzen auf dem Cylinder bedeuten. In der Figur 315 ist die letzte Konstruktion nicht durchgeführt.

482. Eine Kegelfläche entsteht durch Bewegung einer Geraden, von der ein Punkt festgehalten wird; die einzelnen Lagen der bewegten Geraden heißen Mantellinien, der gemeinsame feste Punkt Spitze oder Scheitel der Kegelfläche. Die erzeugte Fläche wird von jeder Ebene durch ihre Spitze in einer Anzahl Mantellinien geschnitten, die man dadurch konstruiert, daß man Kegelfläche und Ebene mit einer Hilfsebene schneidet; Spurkurve und Spurgerade schneiden sich dann in den Spurpunkten der gesuchten Mantellinien. Hält man eine solche fest und dreht die Ebene um sie, so bewegen sich die anderen Schnittgeraden. Setzt man die Drehung fort bis die Spurgerade der Ebene die Spurkurve der Kegelfläche berührt, so fallen zwei Mantellinien zusammen; die Ebene berührt in dieser Lage die Fläche längs dieser Mantellinie. In der That tangiert jede Gerade dieser Ebene die Kegelfläche, da zwei ihrer Schnittpunkte auf jener Mantellinie zusammenfallen.

483. Kennt man von einer Kegelfläche irgend eine ebene oder Raumkurve und ihre Spitze, so ist sie bestimmt. Der wahre Umriß einer Kegelfläche besteht aus einer Anzahl Mantellinien, da in den Punkten einer solchen die gleiche Tangentialebene berührt. Sind S', S" die Projektionen der Spitze und u', u" die einer beliebigen Kurve der Kegelfläche (die alle Mantellinien schneidet),

so bestehen die scheinbaren Umrisse aus den von S' resp. S" an die Kurve u resp. u" gelegten Tangenten. Auch die Lichtgrenze besteht aus einer Anzahl Mantellinien; längs derselben sind die Tangentialebenen parallel zum Lichtstrahl. Sind S und u die Horizontalschatten von S und u, so sind die Tangenten von S an u die Horizontalspuren von Ebenen, die den Lichtstrahl SS durch die Kegelspitze enthalten und die Fläche tangieren. Ist a eine

*

solche Tangente und A, ihr Berührungspunkt auf u, so lege man durch einen Lichtstrahl, der u in einem Punkte 4 schneidet; die Mantellinie SA bildet dann einen Teil der Lichtgrenze.

*

Liegt die Kurve u der Kegelfläche in einer Ebene E, so verfährt man am bequemsten in folgender Weise. Man suche den Schatten von S auf E, etwa S*, und lege von S* Tangenten an u, dann bilden die Mantellinien durch ihre Berührungspunkte die Lichtgrenze. Wirft eine Mantellinie Schlagschatten auf einen Teil der Kegelfläche, so ist ihr Schatten wieder eine Mantellinie; beide

besitzen in der Ebene E Spurpunkte auf u, deren Verbindungslinie durch S* hindurchgeht.

484. Eine Kegelfläche, die durch die Spitze und einen ebenen Schnitt begrenzt wird, heißt kurz Kegel, jener Schnitt seine Grundkurve. In 104-106 und 259-263 sind ausführlich die Eigenschaften der geraden und schiefen Kreis kegel behandelt worden, auf die hier nochmals verwiesen sein mag. Wir stellen uns jetzt die Aufgabe:

Einen geraden Kreis kegel zu zeichnen, wenn die Basisebene E, seine Höhe h, sowie Mittelpunkt O und Radius r seines Grundkreises u gegeben sind; Eigen- und Schlagschatten zu bestimmen.

B""

A''' B''''S''' (A''' B'' der Figur liegt S

2r).

=

=

e1

Man legt durch O eine Hilfsebene П, senkrecht zu e̟ und zeichnet in ihr einen Seitenriß. Zunächst ergiebt sich e, und O"", dann O"S"" e, und h und als Seitenriß des Kegels das Dreieck Hieraus findet man unmittelbar S', S" (in in T1) und die Achsen A'B' und C'D' = 2r von u'; die beiden Tangenten von S'an u bilden dann den scheinbaren Umriß im Grundriß. Um die Berührungspunkte J, K' dieser Tangenten zu konstruieren, lege man u um e, nach u nieder und benutze die Affinität von u, und u. Sucht man zu S' den affinen Punkt S (S'S, S1N SN), zieht die Kreistangenten SJ und SK, so sind die affinen Linien S'J', S'K' die gesuchten Umrißlinien (LNNL1, J'K' = JK, durch L1). Im Aufriß kann man ganz analog verfahren. Man kann die Tangenten S'J' und S'K' auch noch einfacher durch folgende Überlegung gewinnen. Man denke sich eine Kugel, die den Kegelmantel längs u berührt; der Seitenriß ihres Mittelpunktes Mist M"" (M""B" | B'"S"") und ihr Radius M""B". Grundriß und Aufriß der Kugel sind Kreise mit dem gleichen Radius und den Mittelpunkten M' resp. M". Die Tangenten an diese Kreise aus den Punkten S′ und S" respektive und ihre Berührungspunkte fallen zusammen mit den gesuchten Tangenten an u und u" respektive und ihren Berührungspunkten. In der That berührt jede Ebene, die den Kegel längs einer Mantellinie berührt, die Hilfskugel in dem auf u gelegenen Endpunkte der Mantellinie. Ist diese Tangentialebene zu einer Projektionsebene senkrecht, so liefert sie eine Umrißlinie des Kegels und einen Punkt auf dem Kugelumriß, der zugleich dem Kreise u angehört, was unsere Behauptung beweist.

=

Um den Horizontalschatten des Kegels zu konstruieren, zeichnen wir zunächst den Schatten ABCDS (CD = C'D'); dann sind AB und CD zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse uş und

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*

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die Tangenten von S an u bilden die Grenzlinien des Schlagschattens. Um sie zu zeichnen benutze man die Affinität von u und u (e1 Affinitätsachse), suche zu S, den affinen Punkt S und lege an u die Tangenten SF, und SG. Bestimmt man zur Be

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*

*

Aber

rührungssehne FG, rückwärts die affine Strecke FG, so ist sie die Berührungssehne der von S an u gelegten Tangenten. auch u, und u sind affine Kurven (e, Affinitätsachse) und die zu Fo, Go affinen Punkte F", G' von u ergeben auf dem Kegel die Licht