folgt dann weiter, daß jeder Kurvenbogen auf der abwickelbaren Fläche gleich lang mit seiner Abwickelung ist und daß eine Erzeugende den Kurvenbogen unter dem gleichen Winkel schneidet, wie ihre Abwickelung die abgewickelte Kurve. Beim Abwickelungsprozeß geht hiernach die Rückkehrkurve c der abwickelbaren Fläche in eine ebene Kurve со c über, die mit jener an entsprechenden Stellen stets die gleiche Krümmung zeigt, da ja Kurvenelement und Kontingenzwinkel dabei ungeändert bleiben (vergl. Fig. 308).

= =

ΤΟ

460. Während die Krümmung der Rückkehrkante beim Abwickeln ungeändert bleibt, erfährt die Krümmung aller anderen Kurven der Fläche eine Änderung, und wir wollen uns fragen, in welcher Beziehung der Krümmungsradius r im Punkte P einer Kurve k der abwickelbaren Fläche zum Krümmungsradius ro des Punktes P, der abgewickelten Kurve k, steht (Fig. 309). Sind P und Q benachbarte Punkte von k, t und u die zugehörigen Tangenten, e und ƒ die durch P resp. Q verlaufenden Erzeugenden, und haben P, Q, to, up, eo, fo die analoge Bedeutung für die Abwickelung in der Ebene, so hat man: r:r。 = ε: ε, wo ▲ tu = ɛ und ▲ tu̟ = εo ist; denn es ist ja PQ PQ. Bei der Abwickelung ändert sich nun die Lage von u gegen t dadurch, daß die Gerade u eine unendlich kleine Drehung um e macht, bis sie in die Ebene te zu liegen kommt; diese Drehung können wir durch eine Projektion ersetzen, indem wir u senkrecht auf die Ebene te nach u projizieren, der hierdurch entstehende Fehler ist ja von höherer Ordnung unendlich klein; es ist demnach tutu &. Nun to uo ist aber: L tú L tu.cos v, wenn v den Neigungswinkel der Ebene tu gegen die Ebene te bedeutet; denn ist die Ebene UUT1 t, so LUTU' = v und also tg & können mithin sagen: Der Krümmungsradius

=

=

=

=

tg.cos v. Wir

Fig. 309.

T

r einer Kurve der abwickelbaren Fläche in einem ihrer Punkte ist gleich dem Krümmungsradius r, der abgewickelten Kurve im entsprechenden Punkte multipliziert mit cosv, wenn v den Neigungswinkel der Schmiegungsebene jener Kurve mit der Tangentiale bene der Fläche in dem genannten Punkte bedeutet.

Ist der Neigungswinkel v = R, d. h. steht die Schmiegungsebene der Kurve k an der betreffenden Stelle P auf der Tangentialebene der abwickelbaren Fläche senkrecht, so wird die Projektion.

0

des tu = 0 und es besitzt ko in P, einen Wendepunkt; in der That giebt auch die Formel: r。r: cos v den Wert ro = ∞.

461. Eine Kurve der abwickelbaren Fläche, die bei der Abwickelung in eine Gerade übergeht, heißt geodätische Linie. Wie die Gerade in der Ebene, so ist die geodätische Linie auf der Fläche die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte. Aus dem Vorausgehenden ergiebt sich, daß in jedem Punkte einer geodätischen Linie die Schmiegungsebene auf der Tangentialebene der Fläche senkrecht steht. Diese Eigenschaft besitzt auch die geodätische Linie auf jeder beliebigen krummen Oberfläche.

462. Zu jeder Raumkurve gehört eine ebene Kurve, die mit ihr in allen entsprechenden Punkten gleiche Krümmung hat; letztere entsteht aus der ersteren durch Abwickelung ihrer abwickelbaren Fläche, wobei ja Bogenelement e und Contingenzwinkel & ungeändert bleiben. Zu jeder Raumkurve gehört aber auch ein bestimmter Kegel der Richtungskegel den man erhält, indem man durch einen beliebigen Punkt O zu den Erzeugenden der Fläche die Parallelstrahlen zieht. Hierdurch werden zugleich die Tangentialebenen des Kegels zu den entsprechenden Schmiegungsebenen der Raumkurve parallel, so daß für den Richtungskegel und die Raumkurve Kontingenzwinkel & und Torsionswinkel übereinstimmen.

η

463. Wir haben bereits gesehen, daß die Schmiegungsebenen einer Raumkurve ihre abwickelbare Fläche umhüllen. Es kann demgemäß die abwickelbare Fläche als Hüllfläche aller Lagen einer bewegten Ebene erzeugt werden. Je zwei benachbarte Ebenen schneiden sich in einer Erzeugenden der Fläche, je drei benachbarte Ebenen in einem Punkte ihrer Rückkehrkante. Ebenso bestimmen alle Normalebenen einer Raumkurve eine abwickelbare Fläche, die man als Evolutenfläche der Raumkurve bezeichnet. Läßt man auf der Evolutenfläche eine Ebene wälzen, ohne daß sie dabei gleitet, so beschreibt jeder ihrer Punkte eine Raumkurve Evolvente, unter denen sich auch die ursprüngliche Raumkurve befindet. Die Evolventen durchsetzen die Tangentialebenen der Evolutenfläche rechtwinklig.

464. Die Parallel- oder Centralprojektion einer Raumkurve ist eine ebene Kurve, deren Tangenten Projektionen der Tangenten der Raumkurve sind. Es ergiebt sich dieses einfach daraus, daß die Tangenten als spezielle Sekanten aufzufassen sind, bei denen durch einen Grenzübergang zwei Schnittpunkte mit der Kurve zusammengerückt sind. Liegt das Projektionscentrum

auf einer Tangente t der Raumkurve, so projiziert sich ihr Berührungspunkt B als Spitze. Man kann sich hiervon Rechenschaft geben, indem man einen Punkt die Raumkurve durchlaufen läßt und zugleich auf die Bewegung der zugehörigen Tangente achtet; denn während der Punkt die Lage B passiert (Fig. 310), bleibt seine Projektion einen Augenblick still stehen, um dann rückläufig zu werden. Man kann aber auch wieder den Grenzübergang

benutzen. Geht die Verbindungslinie zweier Kurvenpunkte P und Q durch das Projektionscentrum, so bildet die gemeinsame Projektion einen Doppelpunkt; beim Übergang zur Grenze wird die Sekante zur Tangente und der Doppelpunkt zur Spitze. Ein Kurvenpunkt, dessen Schmiegungsebene durch das Projektionscentrum geht, liefert in der Projektion einen Wendepunkt; da zwei benachbarte Tangenten die gleiche Projektion besitzen. Hieraus folgt, daß bei orthogonaler Projektion einer Raumkurve aus einem gewöhnlichen Punkte P ein gewöhnlicher, ein Wendeoder ein Rückkehrpunkt wird, je nachdem man auf die Schmiegungs-, die rektifizierende oder die Normalebene projiziert.

Fig. 310.

465. Die Raumkurve kann verschiedene Singularitäten aufweisen, von denen man die gewöhnlicheren auf folgende Weise erhält. Durchläuft ein Punkt P die Raumkurve, so dreht sich die zugehörige Tangente t um diesen Punkt und die zugehörige Schmiegungsebene Σ um die Tangente t. Während in einem gewöhnlichen Kurvenpunkt der Fortschreitungssinn von P auf t, der Drehsinn von ₺ um P und der Drehsinn von Σ um t ungeändert bleiben, werden in speziellen Punkten einzelne oder mehrere dieser Sinne sich umkehren; es giebt das den gewöhnlichen Punkt eingerechnet acht Kombinationen. Kehrt die Schmiegungsebene ihren Drehsinn um, so muß ihre Drehung an einer bestimmten Stelle gleich Null sein, sodaß dort drei Kurvenelemente oder vier benachbarte Kurvenpunkte in einer Ebene liegen, die stationäre Ebene genannt wird. Kehrt die Tangente ihren Drehsinn um, so fallen zwei Kurvenelemente oder drei konsekutive Punkte in eine Gerade, und es entsteht der Wende- oder Streckungspunkt. Kehrt der Punkt seinen Fortschreitungssinn um, so entsteht die Spitze oder der Rückkehrpunkt. Hiernach kann man sich auch über die anderen Kombinationen Klarheit verschaffen, die Besprechung der verschiedenen Möglichkeiten kann hier unterlassen werden.

466.

Die Tangente und Schmiegungsebene sollen in einem Punkte einer Raumkurve konstruiert werden. Natürlich wird es bei manchen Raumkurven infolge der Art ihrer Definition. möglich sein, die Tangente und Schmiegungsebene in jedem Punkte genau zu konstruieren. Insbesondere wird man bei der Bestimmung der Tangente ganz ähnlich wie in 436 verfahren können, indem der Kurvenpunkt als Schnitt dreier Hilfsflächen erscheint, wodurch dann die Tangente als Diagonale eines unendlich kleinen Parallelepipedon definiert ist, das durch ein ähnliches endliches Parallelepipedon ersetzt werden kann. Es ist leicht, Beispiele in grosser Zahl hierfür anzugeben, doch soll hier nicht weiter darauf eingegangen werden.

Wenn die Raumkurve in ihren beiden Projektionen gezeichnet vorliegt, so läßt sich unsere Aufgabe in folgender Weise konstruktiv durchführen (Fig. 311). Sind c', c" die Projektionen der Raumkurve und

M

R

N

M

P', P" die eines Punktes auf ihr, so bestimmt man nach 433 die Tangenten tin P' an e' und t' in P" an c"; t', '' sind dann die Projektionen der gesuchten Tangente t in P an c. Die gesuchte SchmiegungsebeneΣ geht dann durch t und kann durch einen Grenzübergang definiert werden. Zieht man von P aus Strahlen nach allen Punkten der Raumkurve, SO erhält man einen Kegel, dessen Mantelfläche auch enthält, die Tangentialebene des Kegels längs der Mantellinie (vergl. 482) ist die gesuchte Schmiegungsebene. Läßt man nämlich einen Punkt Q auf e sich nach Phin bewegen, so schneidet die Ebene tQ den Kegelmantel in den Erzeugenden t und PQ; sie wird beim Grenzübergang zur Tangentialebene des Kegels und zugleich zur Schmiegungsebene von c. Man wähle deshalb in der Nähe von P auf beiderseitig je zwei Punkte, etwa Q, R resp. M, N und suche die Spurpunkte der Strahlen PQ, PR, PM, PN und t in

XML, Q
Fig. 311.

R

einer der beiden Projektionsebenen, etwa П1. Dann geht die Spurkurve der Kegelfläche durch die Punkte R1, Q1, T1, M1, N1 und kann hiernach gezeichnet werden; die Spurlinie s1 von Σ ist jetzt als Tangente der Spurkurve im Punkte T bestimmt.

Krumme Oberflächen.

467. Wir haben bereits in den abwickelbaren Flächen einen speziellen Fall der krummen Flächen kennen gelernt, und wollen nun zu den allgemeinen krummen Flächen übergehen. Wir können dieselben zunächst als Gebilde definieren, die von jeder Ebene in einer Kurve geschnitten werden. Diese Kurven können freilich auch aus mehreren, insbesondere geradlinigen, Teilen bestehen. Für unsere Zwecke ist es unerläßlich, daß wir auf einer krummen Fläche mindestens ein System von Raum- oder ebenen Kurven angeben können. Unter einem System von Kurven verstehen wir hierbei unendlich viele Kurven, die die ganze Fläche überdecken, sodaß durch jeden Punkt der Fläche eine oder mehrere solcher Kurven hindurchgehen. Zu jeder Kurve giebt es demgemäß in dem System zwei benachbarte Kurven, die sich in ihrer Lage und zwar der ganzen Erstreckung nach von jener nur unendlich wenig unterscheiden. Die Kurven des Systems werden entweder alle kongruent, oder ähnlich oder verschieden sein; im letzten Falle müssen jedoch zwei benachbarte Kurven bis auf unendlich kleine Unterschiede übereinstimmen. Im ersten Falle wird die Fläche erzeugt durch stetige Bewegung einer konstanten Kurve. So entstehen z. B. durch Bewegung einer Geraden die abwickelbaren Flächen und die windschiefen Regelflächen; bei den letzteren steht der Abstand je zweier benachbarter Geraden (Erzeugenden) zu ihrem Winkel in einem endlichen Verhältnis, bei ersteren ist dieses Verhältnis unendlich klein. So entstehen z. B. durch Bewegung einer Kurve Translations-, Rotations- und Schraubenflächen, wenn die Punkte der bewegten konstanten Kurve kongruente Bahnen, Kreisbahnen um eine feste Achse oder Schraubenlinien um eine solche Achse beschreiben. (Vergl. darüber die späteren Kapitel). Im allgemeinen Falle wird die Fläche erzeugt durch stetige Bewegung einer Kurve, die zugleich ihre Form stetig ändert. Dabei müssen natürlich die Gesetze für Bewegung und Formänderung und ihre gegenseitige Abhängigkeit gegeben sein.

468. Die Tangente einer Fläche wird, wie bei den Kurven,