Mittelpunkt, AA' und BB' die gegebenen konjugierten Durchmesser einer Ellipse k. Man schlage über einem derselben (etwa dem größeren) AA′ einen Kreis k1 und ziehe den Durchmesser B1B1'1 AA', so sind k und k1 affingelegen, sofern man die Dreiecke ABA und ABA' entsprechend setzt; AA ist die Affinitätsachse, BB, ein Affinitätsstrahl. Zu einem Punkte P1 auf k1 wird der affine

Tangenten aus dem affinen Punkte R1 an den Kreis k; die affinen X, Y sind die Berührungspunkte der gesuchten Ellipsentangenten. Die Richtungen der Achsen der Ellipse und der zugehörigen rechtwinkligen Durchmesser des Kreises ergeben sich aus der Kon

vom Radius 0,41

=

1

OA, welcher a ebenfalls in B berührt, ist dann zur Ellipse k affingelegen; dem Dreieck 40B ist das rechtwinklige

1

Dreieck ДO̟В zuzuordnen; a ist die Affinitätsachse, 00, ein Affinitätsstrahl. Auf Grund dieser Angaben vollzieht man die punktweise Konstruktion der Ellipse analog dem Vorigen. Die Achsen findet man hier direkt aus der Bestimmung der entsprechenden rechten Winkel XOY und XO, Y an den Mittelpunkten, hierauf aus den Endpunkten C1 und D1 der rechtwinkligen Kreisdurchmesser die Ellipsenscheitel C und D, u. s. f.

Bei beiden Konstruktionen ist es vorteilhaft, nicht nur Punkte des Hilfskreises in Ellipsenpunkte abzubilden, sondern auch die zugehörigen Tangenten zu übertragen; zugleich dient es wesentlich zur Abkürzung des Verfahrens, wenn man von einem dem Kreise umschriebenen regelmäßigen Polygon (z. B. Achteck oder Zwölfeck) ausgeht, unter dessen Berührungspunkten sich die vier Endpunkte der rechtwinkligen Durchmesser befinden, die den gegebenen Ellipsendurchmessern entsprechen.

33. Ein drittes Verfahren (Fig. 26) beruht auf der Zuordnung des von den gegebenen conjugierten Durchmessern gebildeten Dreiecks AOB zu irgend einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck 4111. Die Ellipse wird dann punktweise als affine Figur zu dem um 0, mit dem Radius 0,41 beschriebenen Kreise nach 24konstruiert. 34. Konstruktion der Ellipse aus fünf gegebe

Fig. 26.

nen Punkten derselben. Sind von einer Ellipse k fünf Punkte A, B, C, D, E bekannt, so kann sie aus diesen Elementen konstruiert werden, indem man einen zu ihr affingelegenen Kreis k, bestimmt, der zwei der gegebenen Punkte, etwa A und B, mit ihr entsprechend gemein hat, so daß AB die Affinitätsachse wird. Den Punkten C, D, E der Ellipse (Fig. 27) mögen die Punkte C1, D1,

E

1

des Kreises entsprechen; die sich selbst entsprechenden Punkte der Strahlen DC und DE seien P und P'. Die von A, B, C, D, E bis P

a

D

a

resp. P reichenden Strecken mögen a, b,

c, d, e resp. a, b, c, d', e' heißen, die zu ihnen affinen aber durch Anhängung des Index 1 bezeichnet werden. Man hat dann

wegen der Affinität: d1 d

=

C1

d', d'

Wir bestimmen noch auf der Affinitätsachse zwei Punkte Q und Q',

1

a'

d'

=

a'b' d'

2

=

b' q'·

1

Demnach werden d1 und d1 als mittlere Proportionalen zwischen bekannten Strecken mit Hilfe zweier Kreise leicht bestimmt (in der Figur sind AP und P'Q' die Durchmesser derselben, QF und BF auf ihnen rechtwinklig und d1 = PF, d'1 = d, P'F). Ist D, einer der Schnittpunkte der beiden mit den Radien d und d1 um P resp. P' geschlagenen Kreise, so bestimmen A, B, D1 einen zur gesuchten Ellipse affingelegenen Kreis k1 und die weitere Konstruktion kann nach der früher entwickelten Methode durchgeführt werden.

1

Damit die um P und P' geschlagenen Kreise sich schneiden, wie es die Konstruktion verlangt, muß d1+ď1 > PP′ sein. Man erkennt hieraus, daß nicht jede fünf willkürlich gegebenen Punkte auf einer Ellipse liegen. Die vollständige Erklärung hierzu wird sich erst an späterer Stelle ergeben.

ZWEITES KAPITEL.

Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen in orthogonaler Projektion. Bestimmung der einfachen Beziehungen dieser Grundgebilde zu einander.

Das Verfahren der orthogonalen Parallelprojektion.

35. Werden durch alle Punkte einer räumlichen Figur senkrecht zu einer gegebenen Ebene П, projizierende Strahlen gezogen, so erzeugen deren Schnitt- oder Spurpunkte in П, ein ebenes Bild der Raumfigur, welches eine orthogonale Projektion genannt wird. Jeder Punkt P des Raumes hat einen bestimmten Punkt P in П, zu seiner Orthogonalprojektion; der Punkt P' bildet aber gleichzeitig die Projektion aller Punkte der durch ihn zu П, gelegten Senkrechten. Folglich ist umgekehrt ein Raumpunkt P durch seine Projektion P nicht bestimmt, vielmehr gehört hierzu noch ein weiteres Bestimmungsstück, etwa die Strecke PP', d. h. der senkrechte Abstand des Punktes P von der Projektionsebene ПT1; dabei ist diesem Abstand zur Unterscheidung der beiden Richtungen, nach denen er von P' aus aufgetragen werden kann, ein bestimmtes Vorzeichen beizulegen.

Auf die zuletzt angeführte Bestimmungsweise kommt seinem Wesen nach das gebräuchlichste Darstellungsverfahren zurück, welches unter Voraussetzung zweier zu einander rechtwinkliger Projektionsebenen ПT, und П, jeden Punkt durch seine beiden. Orthogonalprojektionen P′ und P" auf П1 und П, bestimmt.

1

36. Um die Vorstellungen zu fixieren, nimmt man die erste Projektionsebene П1 horizontal, mithin die zweite Projektionsebene П, vertikal an und bezeichnet P' als Grundriß, erste oder Horizontalprojektion, P" als Aufriß, zweite oder Vertikalprojektion, ferner П, als Grundriß- oder Horizontalebene, П als Aufriß- oder Vertikalebene; die Gerade ƒ=à ̧ ×Ã1⁄2

2

heißt die Axe der Projektion. Von den Ebenen П1 und П werden natürlich nur begrenzte Theile als Projektionstafeln thatsächlich benutzt; sie sind aber an sich als unbegrenzt vorzustellen. Der ganze Raum wird durch die Projektionsebenen in vier Fächer oder Quadranten, jede Projektionsebene durch die Achse in zwei Halbebenen zerlegt. Zur Orientierung dienen Benennungen, die, ebenso wie die schon angeführten, für einen auf der Grundrißebene stehenden und der Aufrißebene zugewandten Beschauer zutreffen; man sagt nämlich von einem Punkte, daß er über, auf oder unter der Grundrißebene und zugleich vor, auf oder hinter der Aufrißebene liege. Die auf den projizierenden Strahlen gemessenen Strecken

PP' = (P − π1), PP" = (P − π2)

heißen erster und zweiter Tafel-Abstand des Punktes P; für beide

a) Die von den beiden Projektionen eines Punktes (und von diesem selbst) auf die Achse gefällten Lothe haben einerlei Fusspunkt Pa

8) Der erste (zweite) Abstand eines Punktes stimmt nach Größe und Vorzeichen mit dem Abstande seiner zweiten (ersten) Projektion von der Achse überein. Liegt insbesondere der Punkt P auf einer Projektionsebene, so fällt die bezügliche Projektion mit ihm zusammen, die andere auf die Achse. Ein Punkt der Achse endlich liegt mit seinen beiden Projektionen vereinigt.

2

Aus den beiden in П1 und П1⁄2 verzeichneten Projektionen eines Punktes, welche die Bedingung a) erfüllen müssen, sonst aber beliebig angenommen werden können, wird dieser selbst nach ) eindeutig bestimmt und zwar am einfachsten so, daß man die in P'