411. Sind die Halbachsen MA und MB einer Ellipse gegeben, so findet man die Krümmungscentra ihrer Scheitel in folgender Weise. Es sei S der vierte Eckpunkt des Rechtecks AMBS; fällt

man aus S auf die Diagonale AB ein Lot, so schneidet dieses auf den Achsen die Krümmungsmittelpunkte K, und K, der Scheitel A und B aus. Daß hier die Berührung zwischen Krümmungskreis

Ꭱ

ev

Fig. 274.

1

punkte irgend zweier Durchmesser P, Q, und RS, des Krümmungskreises werden aus O durch Rechtwinkelstrahlen in die Endpunkte der ent

sprechenden durch K gehenden Sehnen PQ und RS des Kegelschnittes projiziert. Es ist also K der Mittelpunkt einer Punktinvolution auf dem Kegelschnitt, welche aus O durch Rechtwinkelstrahlen projiziert wird. Hieraus ergiebt sich folgende Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes K1, für den Fall, daß der Kegelschnitt gegeben ist (z. B. durch fünf Punkte), seine Achsen aber nicht konstruiert sind.

Man ziehe (Fig. 274) aus O zwei Paare rechtwinkliger Strahlen, die den Kegelschnitt resp. in P und Q, R und 8 schneiden mögen, bestimme die Polare e, des Schnittpunktes PQ X RS, ziehe e, e, durch O, ee in gleichem Abstand mit e, und suche in der hierdurch bestimmten Centralprojektion den entsprechenden Punkt K1 zu K. Dieser ist das gesuchte Krümmungscentrum.

Metrische Eigenschaften der Kegelschnitte. Spezielle
Konstruktionen.

413. Die Abschnitte, welche auf zwei parallelen Tangenten und u eines Kegelschnittes zwischen ihren Be

rührungspunkten T und U und ihren Schnittpunkten P und mit irgend einer dritten Tangente v liegen, haben ein konstantes Produkt:

Werden nämlich S auf t und R auf u durch irgend eine vierte Tangente w ausgeschnitten, so schneiden sich PR und QS auf TU in N (Fig. 275a) und man hat: PT: UR TS: QU, oder:

=

Läßt man bei einer Ellipse die Gerade v parallel zu TU werden, so findet man den konstanten Wert des Produktes: PT. QU = b2,

wo 26 den zu TU = 2a konjugierten Durchmesser bezeichnet. Gehen t, u, v, w in die vier Scheiteltangenten der Ellipse über (Fig. 275b), so bedeuten a und b die Halbachsen.

Läßt man dagegen bei der Hyperbel die Gerade v in eine Asymptote übergehen, so ergiebt sich, da jetzt PT und QU entgegengesetzte Richtung haben:

wo 26 die Länge der Tangenten in den Endpunkten des Durchmessers TU = 2a zwischen den Asymptoten bezeichnet. Gehen speziell t, u, v, w in die Scheiteltangenten und Asymptoten über (Fig. 275 c), so bedeutet a die reelle und b die sogenannte imaginäre Halbachse der Hyperbel.

414. Es seien MX und MY konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes und MY parallel zu t und u. Wir legen ihnen (wie in der Figur durch Pfeile angedeutet) einen bestimmten Durchlaufungssinn bei. Die parallel zu MX resp. zu MY gemessenen Abstände irgend eines Punktes der Ebene von MY resp. MX nennen wir seine Koordinaten x, y und geben ihnen das positive oder negative Vorzeichen, je nachdem sie mit MX und MY von gleichem Sinn sind oder nicht. X und Y seien die unendlich fernen Punkte der betrachteten konjugierten Durchmesser. Letztere würden in der Sprache der analytischen Geometrie als Achsen des schiefwinkligen Koordinatensystems zu bezeichnen sein und ihr Schnittpunkt V

als Koordinatenanfangspunkt.

Das Dreieck PQY ist dem Kegelschnitt umschrieben; die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten der Gegenseiten: PU, QT, YV schneiden sich daher in einem Punkte L (269). Ist daher noch K = MX x YV, so ergeben sich die Beziehungen:

TP.UQ

Setzt man x, y als Koordinaten des Kegelschnittpunktes, so hat

und über

KU.TK
TU2

dies TP. UQb2, je nachdem eine Ellipse oder Hyperbel vorDemnach erhält man:

liegt.

als Gleichung der Hyperbel, beide bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser (oder speziell die Achsen) als Koordinatenachsen.

Aus 395 folgt für die Ellipse, daß der Abstand ihrer reellen Brennpunkte von den Scheiteln der Nebenachseb der halben Hauptachse a gleich, folglich ihr Abstand vom Mittelpunkt

ist. Wendet man andererseits den Satz in 398 auf eine Scheiteltangente der Hyperbel an, so ergiebt sich der Mittelpunktsabstand ihrer Brennpunkte

e = ± √ a2 + b2.

Hiernach können die Brennpunkte beider Kegelschnitte leicht aus den gegebenen Achsen konstruiert werden.

415. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen. Es seien OA = a, OB = b (Fig. 276 a) die gegebenen Halbachsen einer

Ellipse k. Man schlage um O zwei Kreise k1 und ką resp. vom Radius a und b. Jeder von ihnen kann als zur gesuchten Ellipse affingelegen gelten, wenn man den Halbachsen der letzteren die auf ihnen gelegenen Radien von k1 und k。 zuordnet, also ▲ 40В entweder zu ▲ 4,0B, oder

zu Δ 4202

▲ A2OB2 entspre

chend setzt, wobei jedes

276a)

mal ein Paar affiner Strecken zusammenfällt. Die Affinitätsachse ist entweder OA oder OB, die Affinitätsstrahlen sind in beiden Fällen zu ihr rechtwinklig. Zu einem Punkte P, auf k, wird der affine Ellipsenpunkt P auf PS 104 mittels der Beziehung PS: PS BO: B0 = PO: PO

=

1

2

1

gefunden, indem man PO mit k2 in P2 schneidet und P2P|| OS zieht.

2

P ist zugleich der affine Punkt zu P2 auf k. Ist OPTR, also PT die Kreistangente in P1, so ist PT die Ellipsentangente in P. — Ist PNPT, also die Ellipsen normale, so liegt ihr Schnittpunkt N mit OP1 auf einem Kreise vom Radius (a + b) um 0. Setzt man nämlich P,Tx P,P=R, so folgt aus der Ähnlichkeit von ΔΡΡ Τ mit ΔΡΡ Ν und von APPR mit A PPP, die Relation:

B

R

W

Ellipse den konjugierten zu bestimmen. Ein in der gegebenen Richtung aus O gezogener Strahl (Fig. 276b) schneide die Kreise

D2

B

B

k1 und k2 resp. in den Punkten U und V; man konstruiere aus diesen wie vorher den Ellipsenpunkt W. Zieht man ferner durch U und T Parallelen zu OA und OB, welche sich in I schneiden mögen, so entspricht, wenn man die Affinität zwischen k1 und k zu Grunde legt, der Punkt X dem Punkte weil U dem W entspricht, und folglich der Strahl OX dem Strahle OT. Schneiden nun k, und k OX in P1 und P2, einen zu OX rechtwinkligen Strahl OY aber in Q, und Q2, so findet man hieraus P als einen Endpunkt des gegebenen, Q als einen Endpunkt des konjugierten Durchmessers der Ellipse.

Fig. 277.

1

417. Konstruktion der Achsen aus konjugierten Durch