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linie einer Centralprojektion, die den Kreis k in eine gegebene Ellipsek, überführt (Fig. 250). Nach 264 giebt es unendlich viele Centralprojektionen, bei denen dem Kreise k ein Kreis k' entspricht, und e, die Verschwindungslinie bildet. Unter ihnen werde eine solche ausgewählt, für welche zugleich e, die Achse bildet. Man erhält das Centrum O derselben, indem man aus dem Centrum von k das Lot auf e, fällt, welches in E treffen mag, und auf dasselbe EO gleich der Länge der aus E an k gelegten Tangente ET abträgt. Zu einem beliebigen Punkte P des Kreises k findet man leicht den entsprechenden P' auf k' und P1 auf k1. Da aber sowohl k1 als k' zu k perspektiv liegen und zwar mit einerlei Achse e1, so liegen und k zu einander in Bezug auf e1 als Achse perspektiv (172) und die unendlich ferne Gerade entspricht sich hierbei selbst, weil sie in der Perspektive beider mit dem Kreise k derselben Geraden e, entspricht. Daher sind k' und k1 affin und affingelegen; die Affinitätsstrahlen P'P1 laufen parallel zu 00.

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386. Um einen Kegelschnitt k aus fünf gegebenen Punkten A, B, C, D, E mit Hilfe eines perspektiven Kreises k, zu konstruieren, lege man letzteren beliebig durch die Punkte

A und B und benutze AB als Projektionsachse e1 (Fig. 251). Wird letztere von CD nnd DE in Fund G geschnitten, so findet man mit Hilfe der vollständigen Vierecke ABCD resp. ABDE leicht die Polaren f und g von F und G in Bezug auf k, die sich in dem Pole P der Achse e, schneiden. Ferner werde der Pol P, von e1 in Bezug auf den Kreis k, bestimmt. Da bei der gesuchten Centralprojektion P und P, sich entsprechen müssen, so liegt ihr Centrum O auf dem Strahle PP. Schneidet ferner CP die Achse e, in H, so schneidet PH den Kreis k, in dem Punkte C1, welcher C entspricht. Der neue projizierende Strahl CC, bestimmt mit PP1 das Centrum O. Nach Auffindung des letzteren können beliebig viele Punkte des Kegelschnittes k auf die gewöhnliche Art aus Punkten des Kreises k, abgeleitet werden.

Eine ähnliche Auflösung läßt die duale Aufgabe zu, einen Kegelschnitt k aus fünf gegebenen Tangenten mit Hilfe eines perspektiven Kreises k zu konstruieren. Man wählt hier als Hilfskreis k, irgend einen solchen, der zwei der gegebenen Tangenten a und berührt und deren Schnittpunkt als Perspektivitätscentrum O, konstruiert dessen Polaren in Bezug auf k und k, und bestimmt mittels dieser die Centralprojektion.

387. Wir beweisen schließlich den Satz (vergl. 278):

Durch jeden gegebenen Kegelschnitt lassen sich unendlich viele Rotationskegel legen.

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Man erkennt sofort, daß von den Symmetrieebenen des gesuchten Rotationskegels, welche dessen Achse enthalten, eine in

ROHN u. PAPPERITZ. I.

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der Ebene des gegebenen Kegelschnittes keine Achse des letzteren ausschneiden muß und zwar bei einer Ellipse die größere, bei einer Hyperbel die reelle Achse. Ferner ist klar, daß die gedachte Symmetrieebene auf der des Kegelschnittes senkrecht steht. Wir wählen letztere als Grundrißebene, erstere zum Aufriß, die bezeichnete Kegelschnittachse also als Projektionsachse x (Fig. 252). Dann ist nur anzugeben, wie in der Aufrißebene die Spitze S eines projizierenden Rotationskegels gefunden wird. Es sei k1 ein beliebiger Kreis im Grundriß, dessen Centrum M auf r liegt. Ferner sei 0 (auf x) ein Perspektivitätscentrum für die Kurven k und k1, G die zugehörige Achse, e, und e die Verschwindungs- und Fluchtlinie. Diese stehen normal zu z und mögen in E1, E, E schneiden. Soll k der Grundkreis des gesuchten Kegels werden, so wird ein in M auf errichtetes Lot m die Achse desselben bilden. Wird die Ebene des Kegelschnittes k um e, als Achse gedreht, so bleiben die Kurven k und k1 perspektiv (173) und das Centrum O beschreibt in der Aufriẞebene einen Kreis um E. Letzterer schneidet m in der Kegelspitze S. Die Achse AB des Kegelschnittes k gelangt bei der Drehung in die Lage AB auf der durch E parallel zu SE gezogenen Geraden.

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Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes.

388. Nach 387 kann man jeden Kegelschnitt k als Schnitt eines Rotationskegels auffassen. Eine dem letzteren einbeschriebene Kugel berührt ihn längs eines Kreises, dessen Ebene zur Kegelachse senkrecht steht und kann so gewählt werden, daß sie zugleich die Schnittebene berührt. Solcher Kugeln giebt es im Falle der Ellipse oder Hyperbel zwei, die resp. zu beiden Seiten der Schnittebene oder mit der Kegelspitze S auf einerlei Seite liegen. Im Falle der Parabel giebt es nur eine solche Kugel.

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Wir wählen die Ebene des Kegelschnittes k zum Grundriß und die auf ihr senkrechte Symmetriebene des Kegels zum Aufriß (Fig. 253 a, b, c). K1, K2 seien die Centra der Kugeln, die die Kegelschnittebene in F1 und F2 und den Kegel längs der Kreise k1, ką berühren; von letzteren sind die Durchmesser TU1 und TU2 gezeichnet, die jedesmal zugleich den Aufriß bilden. seien P1 und P2 zwei Punkte auf k, resp. k,, die mit dem beliebigen Kegelschnittpunkte P in einerlei Strahl durch S liegen. Die entworfene Figur läßt eine neue wichtige Eigenschaft der Kegelschnitte

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1

2

Endlich

erkennen, wenn man den einfachen Satz beachtet: Die Länge der Tangenten einer Kugel aus einem beliebigen Punkte, von diesem bis zum Berührungspunkte gemessen, ist konstant. Es folgt hieraus,

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Fig. 253 c.

d

E

Im Falle der Parabel endlich (Fig. 253 c) sei F der Berührung der Kugel mit der Parabelebene, TU der im Aufriẞ liegende Durchmesser ihres Berührungskreises k, mit dem Kegel, ferner DTU × x, also DE x die erste Spur d der Ebene dieses Kreises und schließlich PED R. Man hat zuerst:

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weiter: PF: TS PP1: PS = P"P": P"SP"D: TS = PE: TS, d. h.

=

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Hiernach gilt der Satz:

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Für jeden Punkt P einer Ellipse oder Hyperbel ist die Summe, bezw. Differenz seiner Entfernungen von zwei festen Punkten F und F2 der großen, resp. der reellen Achse (den Brennpunkten) konstant, nämlich dieser Achse gleich. Jeder Punkt einer Parabel ist gleichweit entfernt von einem festen Punkte F ihrer Achse (Brennpunkt) und einer zu ihr senkrechten Geraden d (Leitlinie, Direktrix). Jeder Brennpunkt eines Kegelschnittes bildet den Berührungspunkt seiner Ebene mit einer Kugel, die irgend einem den Kegelschnitt projizierenden Rotationskegel einbeschrieben ist.

Nachdem uns die voranstehende einfache Betrachtung direkt zu dem Begriffe der Brennpunkte eines Kegelschnittes geführt hat, gehen wir zur näheren Besprechung der Eigenschaften dieser Punkte und der zu ihnen gehörigen Leitlinien über, legen aber der Untersuchung eine andere, allgemeine Eigenschaft der Brennpunkte als Definition zu Grunde.

389. Ein Punkt der Ebene, an dem die harmonischen Polaren eines Kegelschnitt es eine Involution rechter Winkel bilden, heißt ein Brennpunkt (Fokus) desselben und seine Polare eine Leitlinie (Direktrix).

Im Endlichen finden sich Brennpunkte nur auf einer der Achsen des Kegelschnittes k. Denn ist Fein Brennpunkt, a der ihn enthaltende Durchmesser und sein konjugierter, so steht in F die konjugierte Polare zu a auf a senkrecht und da sie zugleich parallel zu b läuft, sind a und b die Achsen. Sind c und d irgend zwei konjugierte Durchmesser, so liegen die Pole aller Parallelen zu c auf d; fällt man aus ihnen Lote auf diese Parallelen, so erhält man zwei projektive Parallelenbüschel von der Eigenschaft, daß die Strahlen des einen denen des anderen konjugiert sind und zugleich auf ihnen senkrecht stehen. Diese Büschel schneiden auf einer der Achsen, a oder b, zwei projektive Punktreihen aus und zwar liegen diese involutorisch, da in jeder Achse der Mittelpunkt und der unendlich ferne Punkt sich vertauschbar entsprechen. In den beiden Doppelpunkten Fund F" der Involution auf einer Achse schneidet sich aber je ein Strahl des einen Büschels mit dem rechtwinkligen konjugierten des anderen; daher sind Fund F Brennpunkte des Kegelschnittes.

Ein reeller Brennpunkt kann nur im Inneren des Kegelschnittes liegen; denn ein Punkt, von dem reelle Tangenten ausgehen, kann

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