gleichlaufenden Involution seiner harmonischen Pole D1, und E1, E2 auf einer Geraden g).

2

Man bestimme einen Punkt S der Ebene so, daß die durch die Paare D1, D2 und E1, E2 auf der Geraden g gegebene Involution harmonischer Pole aus S durch eine Involution rechter Winkel projiziert wird. Dies geschieht mit Hilfe zweier Kreise, die über den Durchmessern D1D2 und E12 geschlagen werden (Fig. 227). Schneidet man ferner

die Strahlen AB und AC mit g in B1 resp. C, und sind B2 resp. C2 die harmonischen Pole dieser Punkte, so bestimmen die Strahlen BB und C2C den zweiten Schnittpunkt A' der durch A gehenden harmonischen Polare h zu g (vergl. 292). Die Verbindungslinien irgend zweier harmonischer Pole (D, und

2

g

Di C

A

D'

B

G

Fig. 227.

D2, E1 und E2, . . .) mit ▲ und A' (oder mit A′ und 4) ergeben neue Punkte (D und D', E und E', . . .) des gesuchten Kegelschnittes. Die Punkte A, B, C, D, E, . . . bilden mit A, B, C, D, E' ... eine Involution auf dem Kegelschnitt, deren Achse g und deren Mittelpunkt ihr Pol G ist (325, 326).

Das Prinzip der Dualität ergiebt unmittelbar die Lösung des Problems: Aus drei reellen Tangenten a, b, c und zwei konjugiert imaginären (d. h. der gleichlaufenden Involution seiner harmonischen Polaren an einem gegebenen Scheitel S) einen Kegelschnitt zu konstruieren.

350. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch einen reellen und zwei Paare konjugiert imaginärer Punkte (die durch die gleichlaufenden Involutionen harmonischer Pole auf zwei Geraden g und h vertreten werden).

2

In jeder der Geraden g und h müssen zwei Paare harmonischer Pole gegeben sein. Es seien B1 und B2 auf g, C1 und C2 auf h harmonische Pole; wir nehmen ferner an, daß zu dem Schnittpunkte P=gh der harmonische Pol Q1 auf g und R1 auf h bekannt sei.

Dann ist p=QR1 QR1 die Polare von P (Fig. 228). Können die Schnittpunkte Q und R von p mit dem Kegelschnitte angegeben werden, so ist unser jetziges Problem auf das vorige zurückgeführt. Ist nun A der gegebene reelle Punkt des Kegelschnittes, so schneiden die Strahlen AQ = q und AR = 1 sowohl auf g als au h harmonische Pol und r ent

A

aus; q
sprechen daher ein-
ander gleichzeitig in
zwei Strahleninvolu-
tionen an demselben
Scheitel A, von denen
die eine die auf g ge-
gebene Involution, die
andere die Involu-
tion auf h projiziert.
Man konstruiert diese
Strahlen p und q mit
Hilfe irgend eines
Kreises durch A, auf
welchem die genannten

Strahleninvolutionen

zwei Punktinvolutio

nen bestimmen; die Verbindungslinie der Mittelpunkte der letzteren (325) schneidet den Kreis in den nämlichen Punkten wie p und q. Durch das Dualitätsprinzip ergiebt sich hieraus der Satz:

Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch eine reelle und zwei Paare konjugiert imaginärer Tangenten (die durch die gleichlaufenden Involutionen harmonischer Polaren an zwei Scheiteln S und 7 vertreten werden).

351. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch einen reellen Punkt A und zwei konjugiert imaginäre Punkte mit den zugehörigen konjugiert imaginären Tangenten. Zur Bestimmung der imaginären Elemente denke man sich eine reelle Gerade g und ihren Pol G gegeben und überdies entweder die gleichlaufende Involution der harmonischen Pole des Kegelschnittes auf g oder die seiner Polaren am Scheitel G. Von diesen Involutionen bestimmt nämlich eine die andere, weil sie perspektiv sind.

Ist G der Schnittpunkt der Geraden AG mit g (Fig 229), so wird deren zweiter Schnittpunkt A' als der zu A in Bezug auf G

und G' harmonisch liegende leicht gefunden. Sind ferner B1 und Punktepaare der Involution auf g, so sind

B2, C1 und C2,.

29

B

Br

Fig. 229.

B=AB1× A'B2, B'=AB2× A'B1, C=AC1 × A'C2, C' = AC2 × A'С1, . . . neue Punkte des gesuchten Kegelschnittes.

352. Wenn eine Strahleninvolution zwei Paare rechtwinkliger Strahlen enthält, so ist sie eine Involution rechter Winkel. Denn schneidet man mit den gegebenen Strahlen auf einem durch den Scheitel gelegten Hilfskreise Paare einer Punktinvolution aus, so ergiebt sich als Mittelpunkt der letzteren der Kreismittelpunkt (und als Achse die unendlich ferne Gerade). Jeder Durchmesser bestimmt ein neues Punktepaar auf dem Kreise und das zugehörige Strahlenpaar schließt wieder einen rechten Winkel ein.

Betrachtet man irgend zwei Rechtwinkelinvolutionen in derselben Ebene, so liegt zu jedem Strahlenpaare der einen ein Strahlenpaar der anderen parallel, oder beide bestimmen auf der unendlich fernen Geraden dieselbe gleichlaufende Punktinvolution. Die imaginären Doppelstrahlen zweier Rechtwinkelinvolutionen sind daher parallel, sie gehen durch dieselben beiden imaginären Punkte der unendlich fernen Geraden, die Doppelpunkte der gedachten Punktinvolution. Man bezeichnet diese als die imaginären Kreispunkte der Ebene und zwar deshalb, weil sie auf allen Kreisen der Ebene liegen. In der That bilden alle rechten Winkel mit einerlei Scheitel die Involution der konjugierten Durchmesser für jeden um den Scheitel als Centrum

beschriebenen Kreis und die imaginären Doppelstrahlen sind die Asymptoten der Kreise oder die Tangenten in ihren unendlich fernen Punkten.

353. Wenn man beachtet, daß alle Kreise einer Ebene durch die imaginären Kreispunkte derselben gehen, so erscheinen die beiden nachfolgenden Sätze als Spezialfälle des Satzes in 306.

Drei reelle Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, oder ein reeller Punkt und zwei konjugiert imaginäre bestimmen einen Kreis. Wir geben für den zweiten Fall noch die Konstruktion des Kreises an. Es sei A der gegebene reelle Punkt, B1 und B, C1 und C, Paare harmonischer Pole des Kreises auf der reellen Geraden g. Zieht man durch den Schnittpunkt 8 der über den Durchmessern BB, und CC, geschlagenen Kreise die Senkrechte zu g, so bestimmt sie den Mittelpunkt M der Involution auf 9 und bildet als Polare des unendlich fernen Punktes von g

einen Durchmesser des gesuchten Kreises. Es kommt also nur darauf an, die Endpunkte D und E dieses Durchmessers zu finden. Projiziert man die Punktepaare B1 und B2, C1 und C2 aus A auf einen durch 4 gelegten Hilfskreis k, so ergiebt sich eine Involution auf dem Kreise, deren Mittelpunkt N sei. Eine zweite Involution auf dem Hilfskreise wird durch die rechten Winkel am Scheitel A bestimmt; ihr Mittelpunkt ist mit dem Kreiscentrum K identisch. Das beiden gemeinsame Punkte

paar X und Y bildet die Endpunkte des Durchmessers KN und wird aus 4 in die gesuchten Punkte D und E auf SM projiziert (vergl. 350).

354. Es seien zwei Involutionen von Punkten (oder Tangenten) eines Kegelschnittes k gegeben. Sind M und M' ihre Mittelpunkte (325), m und m' deren Polaren, also die Achsen der Involutionen, so bestimmt m auf k die Doppelpunkte der einen, m' die der anderen Involution und die Gerade MM' das beiden gemeinsame Punktepaar. Letzteres wird imaginär, wenn die Gerade MM' den Kegel

schnitt nicht schneidet, also wenn ihr Pol m x m' ein innerer Punkt ist. In diesem Falle aber hat jede der Involutionen ein reelles Doppelpunktepaar und die Punkte des einen trennen die des anderen. Dieses Ergebnis überträgt sich auf Paare von Punktinvolutionen auf einer Geraden oder von Strahleninvolutionen an einem Scheitel, denn um an ihnen die entsprechenden Konstruktionen auszuführen muß man, wie oben gezeigt wurde, zu Involutionen auf einem Hilfskegelschnitte übergehen. Daher gilt allgemein der Satz:

Zwei Involutionen auf demselben Träger haben ein Elementenpaar gemeinsam, welches reell ist, sobald nicht beide Involutionen reelle Doppelelemente haben, die einander wechselseitig trennen; in letzterem Falle ist das gemeinsame Paar imaginär. Im Besonderen können die beiden Involutionen ein Doppelelement gemein haben. Das gemeinsame Paar liegt zu den Doppelelementen beider Involutionen harmonisch.

Perspektive Kegelschnitte. Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel und Scharen von Kegelschnitten.

355. Liegen zwei Kegelschnitte einer Ebene k und k perspektiv, so bestimmen beide an dem Centrum O der Perspektive dieselbe Involution harmonischer Polaren und auf ihrer Achse a dieselbe Involution harmonischer Pole. Denn bei der gedachten Centralkollineation entsprechen die Strahlen durch und die Punkte auf a sich selbst und zugleich gehen harmonische Polaren oder Pole des Originalkegelschnittes in harmonische Polaren oder Pole seines Bildes über.

356. Umgekehrt gelten für zwei gegebene Kegelschnitte einer Ebene die folgenden dualen Sätze:

Bestimmen zwei Kegelschnitte k und k, an einem Scheitel O dieselbe Involution harmonischer Polaren, ist ferner eine, und folglich jede durch O gezogene Sekante von k gleichzeitig Sekante von k1, so bildet O das Centrum zweier Projektionen mit den Achsen a und a', die k in k, überführen.

Bestimmen zwei Kegelschnitte k und k auf einer Geraden a dieselbe Involution harmonischer Pole, ist ferner ein, und folglich jeder äußere Punkt von k auf a gleichzeitig äußerer Punkt von k1, so bildet a die Achse zweier Projektionen mit den Centren und O', die k in k1 überführen.