und C, D, E, deren Doppelpunkte U und V zu bestimmen sind. Da sich in diesen Doppelpunkten entsprechende Strahlen der erzeugenden Büschel treffen, so gehören sie dem Kegelschnitte an, bilden also die Lösung der Aufgabe. Letztere erfordert es nicht, den definierten Kegelschnitt selbst zu verzeichnen (Fig. 218). 330. Analog wird die Aufgabe behandelt: Aus einem gegebenen Punkte S an einen durch fünf Tangenten g E V A Fig. 218. Ꮴ a, b, c, d, e bestimmten Kegelschnitt die Tangenten zu ziehen. Die Schnittpunkte zweier der gegebenen Tangenten, z. B. a und b, mit den drei übrigen, c, d, e, bilden die erzeugenden Punktreihen und bestimmen mit S als Scheitel zwei vereinigte projektive Strahlbüschel, deren Doppelstrahlen u und v die gesuchten Tangenten sind. Hier wie dort können sich je nach der Lage von g oder S gegen den Kegelschnitt zwei getrennte, zwei vereinte oder keine Doppelelemente als Lösung ergeben. 331. Die Schnittpunkte der gegebenen Geraden g mit dem Kegelschnitte ABCDE lassen sich auch als Doppelpunkte der auf g bestimmten Involution harmonischer Pole konstruieren und ebenso die aus dem gegebenen Punkte S an den Kegelschnitt abcde gezogenen Tangenten als Doppelstrahlen der Involution harmonischer Polaren am Scheitel S. Die erste der gedachten Konstruktionen beruht auf der Bestimmung der Polare eines gegebenen Punktes in Bezug auf den Kegelschnitt ABCDE, welche im Folgenden angegeben werden soll. Sind nämlich P und Q irgend zwei Punkte auf g, so schneiden ihre Polaren Р und q auf 9 die harmonischen Pole P1 und Q1 aus, die in Verbindung mit den angenommenen Punkten P und Q die zu benutzende Involution bestimmen. Die zweite Konstruktion führt auf die Bestimmung des Poles einer gegebenen Geraden in Bezug auf den Kegelschnitt abcde zurück. Zieht man nämlich durch den Punkt S zwei Strahlen p und 9 und bestimmt ihre Pole P und Q, so bestimmen die Verbindungslinien P1 PS und 91 QS mit p und q die Strahleninvolution, deren Doppelstrahlen zu suchen sind. == = 332. Die Polare eines Punktes P in Bezug auf einen durch fünf Punkte ABCDE gegebenen Kegelschnitt k wird konstruiert, indem man P mit zweien der Punkte, etwa d und E, verbindet und auf den erhaltenen Strahlen die zweiten Schnittpunkte Fund G mit k aufsucht. Letzteres geschieht mit Hilfe p Fig. 219. des Pascal'schen Satzes (vergl. 314). Betrachtet man A und F, E und G als zwei Gegeneckenpaare eines vollständigen Vierseits, so bildet die Verbindungslinie seiner beiden letzten Gegenecken Q und R die Polare p des Punktes P (Fig. 219). 333. Analog konstruiert man den Pol einer Geraden p in Bezug auf einen durch fünf p Tangenten Kegelschnitt k. Man schneide nämlich p mit zweien der Tangenten, e, bestimme etwa a und mittels des Brianchonschen Satzes (vergl.316) die fehlenden beiden Tangenten f und g aus den Schnittpunkten und wähle a und f, e und g als zwei Gegenseitenpaare eines vollständigen Vierecks. Das letzte Gegenseitenpaar q und r bestimmt als Schnittpunkt den gesuchten Pol P von p. (Fig. 220). 1 334. Wenn man (nach 331) zu einem in gegebener Richtung unendlich fern liegenden Punkte P die Polare p in Bezug auf den Kegelschnitt ABCDE konstruiert, so bildet p einen Durchmesser desselben. Ist ferner P, der unendlich ferne Punkt des Durchmessers p und P1 seine Polare, so bestimmen p und p, den Mittelpunkt M des Kegelschnittes und bilden konjugierte Durchmesser. Zwei Paare konjugierter Durchmesser p und P1, 9 und bestimmen am Scheitel M eine Involution, deren Rechtwinkelstrahlen x, y die Achsen und deren Doppelstrahlen u, v die Asymptoten des Kegelschnittes ergeben (vergl. 298). Hiernach können die gegenannten Elemente aus fünf gegebenen Punkten eines Kegelschnittes konstruiert werden, ohne daß dieser selbst vorher verzeichnet werden müßte. Die erforderlichen zwei Paare konjugierter Durchmesser werden am einfach sten folgendermaßen ge funden. Man konstruiere, 9 G Fig. 221. B ausgehend von den fünf gegebenen Punkten A, B, C, D, E den zweiten Endpunkt der Kegelschnittsehne AF BC und ebenso den Endpunkt G der Sehne BG || AE. (Diese Konstruktion, bei der man sich des Pascal'schen Satzes bedienen kann, ist in Fig. 221 als bereits vollzogen angenommen). Von den Gegenseitenschnittpunkten der vervollständigten Vierecke ABCF und ABGE liegen jedesmal zwei im Endlichen, einer unendlich fern. Die Verbindungslinien der beiden erreichbaren Gegenseitenschnittpunkte bilden zwei Durchmesser p und q und bestimmen den Mittelpunkt M des Kegelschnittes; die konjugierten Durchmesser p1 und q, haben die Richtung der parallelen Vierecksseiten (vergl. 300). 335. Ist der Kegelschnitt durch fünf Tangenten a, b, c, d, e gegeben, so findet man ein Paar konjugierter Durchmesser p und P1 und damit den Mittelpunkt M in folgender Weise. Man konstruiere mittels des Brianchon'schen Satzes zu zweien der gegebenen Tangenten die Paralleltangenten des Kegelschnittes, etwa f'|| a, g || e (Fig. 222). Die Diagonalen des entstehenden, dem Kegelschnitt umgeschriebenen Parallelogramms afge bilden ein Paar konjugierter Durchmesser p und p1 (vergl. 300). Aus zwei solchen Paaren können wiederum die Achsen des Kegelschnittes und -falls eine Hyperbel vorliegt die Asymptoten abgeleitet werden. 336. Um auf einer gegebenen Geraden g die Involution harmonischer Pole des Kegelschnittes ABCDE zu konstruieren, hat man zu zwei beliebigen Punkten P und Q auf g die Polaren Pi Fig. 223. tes in seinen Schnittpunkten U und mit der Geraden g (Fig. 223). Zur Vereinfachung der Konstruktion wählt man etwa P auf dem Strahle CD und Q auf CB. Analog kann man verfahren, um die Involution harmonischer Polaren des Kegelschnittes abcde an einem gegebenen Scheitel 8 zu konstruieren. Man erhält zugleich auf der Polare g von S die Involution der konjugierten Pole. Die Doppelelemente bilden die Tangenten des Kegelschnittes aus dem Punkte S resp. die Schnittpunkte mit der Geraden g. 337. Um zu entscheiden, welcher Art von Kegelschnitten das Erzeugnis zweier gegebener projektiver Strahlbüschel angehört, beachte man, daß ein unendlich ferner Punkt des Kegelschnittes nur erhalten wird, wenn zwei entsprechende Strahlen der Büschel einander parallel liegen. Verschiebt man den einen Strahlbüschel sich selbst parallel, bis sich sein Scheitel mit dem des anderen deckt, so kommen auch die sich entsprechenden Parallelstrahlen zur Deckung. Daher folgt: Zwei projektive Strahlbüschel in schiefer Lage erzeugen eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse, je nachdem sie durch Parallelverschiebung an einem Scheitel vereinigt zwei getrennte, zwei vereinte oder keine Doppelstrahlen bestimmen. Die Anwendung dieses Kriteriums ist nur bei gleichlaufenden Büscheln erforderlich; zwei ungleichlaufende Büschel erzeugen offenbar stets eine Hyperbel. 338. Zwei projektive Punktreihen erzeugen eine Parabel, wenn sich ihre unendlich fernen Punkte entsprechen, oder wenn sie ähnlich sind, denn alsdann ist die unendlich ferne Gerade als Verbindungslinie entsprechender Punkte eine Tangente des entstehenden Kegelschnittes. Zur Bestimmung eines Kegelschnittes seien zwei (nicht ähnliche) Punktreihen g und h gegeben. Ihre unendlich fernen Punkte seien. und U1; man konstruiere die Gegenpunkte U und V1, sowie die ROHN u. PAPPERITZ. I. 15 |