22. Ferner wird (nach 21) der sich selbst entsprechende Punkt O zweier im allgemeineren Sinne affiner Figuren einer Ebene gefunden. Es mögen zur Festlegung

der Affinität ▲ ABC und ▲ ÂВ11 entsprechend gesetzt werden (Fig. 16). Man ziehe durch die Ecken A, B, C Parallelen zu den gegenüberliegenden Dreiecksseiten und schneide sie mit den affinen Geraden, welche durch 41, B1, C1 parallel zu den Seiten des anderen Dreiecks laufen; sind R, S, T die betreffenden Schnittpunkte und wird außerdem

U = BCX B1C1, V= CA X C141,
W = AB × A1B1

R

Fig. 16.

gesetzt, so ist O als Schnittpunkt irgend zweier von den Geraden 1 = UR, ľ =

VS, l' = WT bestimmt.

23. Was den zweiten Teil des Satzes 19 betrifft, so ist zu bemerken: Fallen (Fig. 17) zwei Punkte P und mit ihren affinen

mithin sind ▲ RUR1 und ▲ SVS1 ähnlich und ähnlichgelegen und Wauf PQ ihr Ähnlichkeitscentrum; folglich RR1 || SS1, u. s. f.

24. Der Satz 20 wird benutzt, um bei zwei im allgemeinen Sinne affinen Figuren zu einem beliebig gelegenen Punkte P der einen den entsprechenden Punkt P, der anderen zu finden. Sind nämlich wiederum ▲ ABC und ▲ A B11 einander zugeordnet (Fig. 18) und schneiden sich die zu AB und В gehörigen Parallelensysteme auf der Geraden 7, die zu AC und C1 gehörigen aber

1

auf l', so zieht man durch P Parallelen zu AB und AC, aus ihren Schnittpunkten mit 7 resp. l' aber Parallelen zu АВ1 und ДС1.

Letztere schneiden sich in dem gesuchten Punkte P1.

25. Zwei affine Figuren können in gewissen Fällen durch bloße Verschiebung der einen in ihrer Ebene in affine Lage gebracht werden. Kennt man nämlich zwei affine und gleiche Strecken, so genügt es nach dem vorigen Satze dieselben zur Deckung zu bringen. Es fragt sich aber, ob es immer dergleichen giebt. folgenden wird ein Verfahren angegeben, welches hierüber

Im

entscheidet. Jedenfalls kann die affine Lage stets hergestellt werden, wenn eine der beiden Figuren zuvor ähnlich vergrößert oder verkleinert wird, so daß die zu irgend einer Strecke PQ affine PQ1 in eine der ersteren gleiche übergeht. Umgekehrt erkennt man hieraus, daß das allgemeinste Verfahren, um von einer ebenen Figur zu einer affinen zu gelangen, darin besteht, zur ersteren eine affine und affingelegene, zu dieser wiederum eine ähnliche Figur zu konstruieren und letzterer (durch Drehung und Parallelverschiebung) eine beliebige Lage zu erteilen.

26. Wir machen hiervon eine Anwendung, um in affinen Figuren entsprechende rechte Winkel aufzufinden. Von den

affinen Dreiecken ABC und В1C1 (Fig. 19) werde etwa das letzere in ein ähnliches A,B,C, verwandelt, so daß

2

B2C2 = BC

wird. Werden dann durch Verschiebung die gleichen Strecken zur Deckung gebracht, so liegt Affinität bei affiner Lage vor und die früher (12) angegebene Konstruktion kann Platz greifen. Das Resultat derselben ist in die ursprüngliche Figur A1B1C1 zu übertragen.

27. Im Anschluß an die oben gegebene Bestimmung der affinen rechtwinkligen Richtungen kann folgender Satz bewiesen werden:

Das Verhältnis der Flächen affiner ebener Figuren ist konstant. Offenbar genügt es denselben für zwei entsprechende Dreiecke zu erweisen, da jede geradlinig oder krummlinig begrenzte Fläche (exakt oder mit beliebigem Grade der Annäherung) als Summe

1

von Dreiecksflächen betrachtet werden kann. Die beiden Dreiecke seien ABC und ▲ A, B, C, (Fig. 20) und B'AC' resp. ▲ B'111 die affinen rechten Winkel an A und 4. Ist zugleich noch BB CA, CC' || B'A und ebenso B1B1' || C11, C1C1¦ B11, so sind B′ und B1': C'und C'affine Punkte. Andererseits hat man für den Flächeninhalt:

Sind nun x und λ die konstanten Verhältnisse der in den entsprechenden rechtwinkligen Richtungen gelegenen affinen Strecken, so daß AB' = x. A1В1', AC" = λ.. A1C''

ist, so ergiebt sich für das Verhältnis der Flächen irgend zweier affiner Dreiecke wie▲ ABC und ▲ 4,B,C, der konstante Wert = x.

κλ.

28. Ob zwei im weiteren Sinne affine Figuren durch Verschiebung in affine Lage übergeführt werden können, wird durch folgende Überlegung entschieden. Nach dem vorigen können zwei affine rechtwinklige Dreiecke konstruiert werden, von denen das eine,

▲ 40B (Fig. 21), gleichschenklig angenommen werden mag; das andere werde in eine solche Lage gebracht, daß die entsprechenden Schenkel der rechten Winkel sich decken; wir bezeichnen es durch ▲ 4,0В ̧.

Vi

B

B

Fig. 21.

B
B

Einem Kreis k um 0, welcher A, also auch B, enthält, wird als affine Figur eine Ellipse k, mit 0 als Centrum und 04, resp. OB, als Halbachsen entsprechen. Schneiden JA (oder berühren) sich der Kreis k und die Ellipse k1 und ist P1 einer der ihnen gemeinsamen Punkte, so existiert auf dem Kreise ein Punkt P, so daß die gleichen Strecken OP und OP, affin sind. Bringt man

sie durch Drehung um O zur Deckung, so ist die affine Lage hergestellt. Hat der Kreis k mit der Ellipse keinen Punkt gemein (wie z. B. in Fig. 22), so giebt es keine entsprechenden gleichen Strecken und die Herbeiführung der affinen Lage ist (ohne vorgängige Ähnlichkeitstransformation der einen Figur) nicht möglich. Welcher von den beiden Fällen eintritt, hängt offenbar allein von den Verhältnissen der Katheten in affinen rechtwinkligen Dreiecken, also von 04:041 = × und OB: OB1 2 ab. Vergrößert sich beim Übergang von einem Dreieck zum andern die

Fig. 22.

A,

=

eine Kathete, während sich die andere verkleinert, oder bleibt eine von ihnen der Größe nach ungeändert, so ist affine Lage möglich; vergrößern oder verkleinern sich beide Katheten, so ist sie unmöglich. Wir drücken dies kürzer aus, indem wir sagen:

Ist den entsprechenden rechtwinkligen Richtungen in zwei affinen Figuren das Strecken verhältnis z resp. λ zugeordnet, so können sie in affine Lage gebracht werden oder nicht, je nachdem (1 − x) (1 − λ) ≤0 oder > 0 ist.

29. Liegt der erste Fall vor, so erübrigt noch die konstruktive Bestimmung der affinen Lagen der entsprechenden rechtwinkligen Dreiecke. Bezeichnet (Fig. 23) ▲ A'OB′ das Dreieck 40B in einer affinen Lage zu ▲ 1ОВ1, so muß A'A1 B'B1 sein. Wird die

1

Strecke B'B1 um das Centrum O und um 90o gedreht, so bildet sie in der neuen Lage AB, mit AA, einen rechten Winkel. Man trage daher auf OA

weder OQ oder OQ" die Affinitätsachse. Dieselbe enthält jedesmal zwei Schnittpunkte des Kreises k und der Ellipse k. Fallen diese paarweise zusammen, d. h. berühren sich k und k, in zwei Punkten, so giebt es nur eine Affinitätsachse: die Verbindungslinie der Berührungspunkte, welche zugleich eine Hauptachse der Ellipse bildet.

Konstruktionen der Ellipse auf Grund ihrer Affinität zum Kreise.

30. Da je zwei Kreise ähnliche Figuren sind, so ist jede Ellipse, da sie nach der Definition zu einem Kreise affin ist, überhaupt zu jedem Kreise im weiteren Sinne affin. Die affine Beziehung der gegebenen Ellipse k zu einem willkürlich angenommenen Kreise k1 wird festgelegt, indem man zwei konjugierte Halbdurchmesser OA und OB von k irgend zwei rechtwinkligen Halbmessern 04, und O̟1B1 von k1 entsprechend setzt. Man kann so einem Ellipsenpunkte einen beliebigen Punkt des Kreises zuordnen. Zugleich folgt hieraus, daß eine Ellipse durch Angabe zweier konjugierter Durchmesser eindeutig bestimmt ist. Auf Grund dieser Bemerkungen ergeben sich die einfachsten Konstruktionen der Ellipse aus gegebenen Bestimmungsstücken (sowie die ihrer Tangenten, Normalen etc.), wenn man einen zur gesuchten Ellipse affingelegenen Hilfskreis benützt.

31. Konstruktion der Ellipse aus zwei konjugierten Durchmessern. Erstes Verfahren. Es seien (Fig. 24) O der