verhältnis 2. Dagegen entsprechen verschiedenen Richtungen verschiedene Werte 2 und zwar sind die beiden Richtungen, welche durch die Schenkel der entsprechenden rechten Winkel gegeben sind, vor allen übrigen ausgezeichnet. Es gilt nämlich der Satz: Dreht sich eine Gerade g (mithin zugleich die affine g,) um einen ihrer Punkte in einerlei Sinn, so nimmt das ihrer Richtung zugehörige Streckenverhältnis & in jedem der von den affinen Rechtwinkelstrahlen gebildeten Quadranten entweder beständig zu oder beständig ab, erreicht für symmetrische Lagen beiderseits der genannten Strahlen gleiche Werte und auf denselben ein Maximum resp. Minimum. a P a 11. Sind nun PUU', PII", ecke, so folgen die Relationen : u2 = m2x2 + k2y2, 2 = k2y2, Es seien, um dies zu beweisen, XPY und XPY (Fig. 11) affine rechte Winkel, ferner U und Virgend zwei aufeinander folgende Lagen eines von X nach Y auf der Affinitätsachse fortschreitenden Punktes. Wir wählen die Strecke XY als Maßeinheit, setzen XU=k, XV=1, UY=m, VY = n und nennen die von den Punkten X, U, V, Y einerseits, von P und P1 andererseits begrenzten affinen Strecken resp. x, u, v, y und X19 U19 PUU", PVV" rechtwinklige Drei v2 = n2x2 + 12y2, 2 12y2, U1 m2x2 + k23⁄4 ̧2, v12 = n2x2 + l2y ̧2. Es ist zu zeigen, daß unter der Voraussetzung besteht. Letztere kann in der Form geschrieben werden: (m2x2 + k2y2) (n2x ̧2 + l2y ̧2) — (n2x2 + l2y2) (m2x2 + k23⁄4 ̧2) > O und reduziert sich auf die Ungleichung: 2 (l2m2 — k2n2) (x2y12 — x12y2) > 0, welche da die Größe (12m2 — k2n2) positiv ist, mit der Voraussetzung zusammenfällt. 15. Definition der Ellipse. Ist M der Mittelpunkt eines Kreises k (Fig. 12) und sucht man zu den Radien desselben die affinen vom Punkte P1 nach allen Richtungen auslaufenden Strecken, so liegen deren Endpunkte auf einer zum Kreise affinen Kurve, welche Ellipse heißt. M ist ihr Mittelpunkt; eine denselben enthaltende Sehne wird Durchmesser genannt. Die zu einander rechtwinkligen Durchmesser 4,4,' und B1B' der Ellispe, welche gleichfalls rechtwinkligen Durchmessern AA' und BB' des Kreises entsprechen, heißen Achsen, ihre Endpunkte Scheitel; sie teilen die Kurve in kon 1 B Fig. 12. B a rechtwinkligen Kreisdurchmesserpaar PP', QQ' affin sind. Von zwei konjugierten Durchmessern halbiert jeder die zum anderen parallelen Sehnen, weil dies bei den rechtwinkligen Durchmessern des affinen Kreises der Fall ist. Eine die Ellipse k, treffende Gerade 91 hat mit ihr zwei getrennte oder vereinte Punkte gemein. Dies folgt. aus dem Verhalten der affinen Geraden g zum Kreise k. Wird im besondern eine Tangente QT des Kreises durch die Eigenschaft definiert, daß sie einen Punkt Q der Peripherie aber keinen inneren Punkt enthält, so kommt der entsprechenden Geraden Q,7 die gleiche Eigenschaft bezüglich der affinen Kurve zu: sie ist als Tangente der Ellipse im Punkte Q1 zu bezeichnen. Weil eine Sekante QS durch Drehung um Q in die Tangente übergeht, wenn S mit Q zusammenfällt, kann der Berührungspunkt als Vereinigung zweier Schnittpunkte betrachtet werden. Weil ferner die Kreistangente rechtwinklig zum Radius ihres Berührungspunktes steht, folgt, daß die ROHN u. PAPPERITZ. I. 2 Tangenten in den Endpunkten eines Ellipsendurchmessers zum konjugierten Durchmesser parallel sind. Aus den gegebenen Definitionen ergeben sich Konstruktionen der Punkte, Tangenten, Achsen und konjugierten Durchmesser der Ellipse. Affine Figuren einer Ebene im weiteren Sinne. 16. Die Eigenschaften, in denen die beiden Verwandtschaften zwischen Figuren einer Ebene, Ähnlichkeit und Affinität, welche wir bisher von Projektionen im Raume ausgehend behandelt haben, übereinstimmen, lassen sich auf folgende zwei zurückführen. a) Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei Punkte in gerader Linie. B) Parallelen Geraden entsprechen parallele Gerade. Wir wollen zeigen, daß diese zwei Bedingungen an sich bereits genügen, um zwischen Figuren einer Ebene eine bestimmte Verwandtschaft, die Affinität im weiteren Sinne, zu definieren, vorausgesetzt, daß zu drei nicht in einer Geraden liegenden Punkten die entsprechenden gegeben werden. 17. Aus der Definition folgt zuerst die weitere Eigenschaft: Die Verhältnisse paralleler Strecken bleiben bei der Abbildung ungeändert. Parallelogrammen entsprechen nämlich Parallelogramme, also parallelen gleichen Strecken wiederum parallele gleiche Strecken. Werden nun zunächst zwei parallele Strecken kommensurabel angenommen: AB und CD, und ist die Strecke e ihr gemeinsames Maß, so daß man AB = me, CD = ne hat, so ergiebt sich für die entsprechenden Strecken: sofern einer etwa auf AB markierten Teilstrecke e die Strecke e auf AB, zugehört. Es ist daher: Was aber für irgend zwei kommensurable parallele Strecken gilt, wird durch beliebig fortgesetzte Teilung der beiden Maßstäbe mit den Einheiten e und e, auch für inkommensurable als gültig erwiesen. 18. Es seien ABC und Д1В11 die beiden Dreiecke, welche die 3 Paare entsprechender Punkte bestimmen, so ist auf Grund der obigen Bedingungen zu jedem vierten Punkte P der entsprechende P1 eindeutig konstruierbar. Man ziehe durch P die Geraden 1 XX', YY', ZZ' resp. parallel zu BC, CA, AB, suche hierauf etwa die Punkte X1 und Z1, welche C11 in denselben Verhältnissen teilen, Zieht man nun durch P, die Gerade ZZ4 B1, so ist nur zu zeigen, daß B1Z1: B1C1 BZ: BC 1 1 = ist. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und Y'X'P, A,B1C1 19. Ist durch wechselseitige Zuordnung zweier Dreiecke zwischen zwei Figuren einer Ebene Affinität im weiteren Sinne hergestellt, so befinden sich dieselben im allgemeinen nicht in affiner Lage, d. h. es giebt weder eine Linie sich selbst entsprechender Punkte (Affinitätsachse), noch sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte parallel; vielmehr gilt folgender Satz: Zwei affine Figuren einer Ebene haben im allgemeinen nur einen Punkt sich selbst entsprechend gemein. Haben sie zwei Punkte P und Q entsprechend gemein, so befinden sie sich zugleich in affiner Lage und PQ ist die Affinitätsachse. Wir beweisen diesen Satz schrittweise. 20. Die Verhältnisse der Strecken, welche ein gegebenes System von Parallelstrahlen g, h, i, . . . auf einer Geraden u ausschneidet, で sind den Verhältnissen der senkrechten Parallelenabstände gleich, also von der Lage der Geraden u unabhängig. Ist das Parallelensystem g, h, 4,... zum vorigen und u, zu u affin, so sind auch die beiderlei Abschnitte auf u und u, affin und haben (nach 17) gleiche Verhältnisse. Daher folgt, daß in zwei affinen Parallelen h H Fig. 14. Ꮹ systemen die Verhältnisse der Parallelenabstände so sind ▲ GHP, ▲ GIQ, ... ähnlich und ähnlich- Die Schnittpunkte entsprechender Strahlen in zwei affinen Parallelensystemen liegen auf einer Geraden 7. 19 21. Hieraus schliesst man wéiter: Sind P und P1, P' und P1', ... Paare affiner Parallelensysteme und I, l', ... die zu ihnen (im Sinne des vorhergehenden Satzes) gehörigen Geraden, so schneiden sich I Fig. 15. bedingt, daß 00′ zur Affinitätsachse Geraden 1, l', ', ... in diese eine zusammenfallen. Damit ist der erste Teil des Satzes 19 bewiesen. |