Wird ein Winkel durch seinen Scheitel O und zwei auf den Schenkeln gelegene Punkte A und B bestimmt, so bezeichnen wir ihn durch AOB, wenn er von einem Strahle beschrieben wird, der aus der Lage 04 mit positivem Drehsinn in die Lage OB übergeht. Dann ergiebt sich, ähnlich wie vorher:

u. s. f., wobei die Punkte O, A, B, C, . . . beliebig in der Ebene verteilt sein können.

217. In einer Punktreihe ist nach Festlegung zweier Grundpunkte A und B jeder dritte Punkt C durch das Verhältnis

x =

AC
BC

seiner Abstände von den Grundpunkten bestimmt (wobei vorausgesetzt wird, daß x auch dem Vorzeichen nach bekannt sei).

bis zu +1 1 und von

und von + 1 bis zu 0, dann alle negativen von 0 bis zu - 1 bis zu oo, so beschreibt dementsprechend der Punkt C die Punktreihe in der Richtung der Strecke AB, nämlich vom Punkte B

n

seiner Winkel mit den Grundstrahlen bestimmt bis auf die Durchlaufungsrichtung, welche willkürlich bleibt. Das Sinusverhältnis x

hat den Wert 0, oder oo, oder - 1, oder 1, wenn die Gerade c bezw. mit a, mit b, mit der Halbierungslinie m des Winkels ab oder mit der Halbierungslinie n des Nebenwinkels zusammenfällt (Fig. 150). Analoges gilt von der Bestimmung der Ebenen eines Büschels durch ein Sinusverhältnis.

φαν

219. Wir schreiten jetzt zur Ableitung der Relation, die zwischen zwei perspektiven Punktreihen, ABCD auf g und A,B,C,D, aufg1, bestehen muß. Es sei O ihr Perspektivitätscentrum (Fig. 151); man bestimme in

entstehen zwei Reihen ähnlicher Dreiecke: ▲ GÅ 40 ~ ▲ G„OA,

für die rechts vorkommenden Strecken die ihnen proportionalen Größen aus der vorigen Gleichung ein, wobei der Bruch ungeändert bleibt, so ergiebt sich nach einfacher Reduktion der Wert:

Durch Division ergiebt sich die gesuchte Relation in der Form:

vier Punkte A, B, C, D genannt und durch (ABCD) bezeichnet.

Das Doppelverhältnis zweier perspektiver Punktreihen ABCD und ДВ11D1 hat den gleichen Wert:

(ABCD) = (Â1B1C1D1).

Hierzu kommt der Satz: Durch Angabe des Doppelverhältnisses (ABCD) ist, wenn drei der Punkte, etwa A, B, C gegeben sind, der vierte D auf ihrer Verbindungslinie eindeutig bestimmt. Denn ist der Wert von (ABCD), so ist durch die Bedingung

das Verhältnis der Abstände des Punktes D von den festen Punkten A und B mithin D selbst festgelegt. Aus der Verbinduug beider Resultate folgt:

Damit zwei Punktreihen ABCD und 4,B,C,D1 in perspektive Lage gesetzt werden können, ist notwendig und hinreichend, daß die entsprechenden Doppelverhältnisse gleich sind.

221. Für die Bildung des Doppelverhältnisses ist eine bestimmte Reihenfolge der Punkte ABCD zu Grunde zu legen. Wird diese abgeändert, so ändert sich im allgemeinen der Wert des Doppelverhältnisses. Bei gewissen Vertauschungen der vier Punkte aber bleibt der Wert ungeändert. Man hat nämlich:

Es tritt also keine Änderung ein, wenn man die Punkte des Paares A, B und gleichzeitig die des Paares C, D miteinander vertauscht, oder wenn man die Paare vertauscht, oder wenn man beides zugleich ausführt. Den 24 möglichen Anordnungen der vier Punkte entsprechen daher nicht ebensoviele sondern nur sechs Doppelverhältniswerte. Man erhält dieselben, indem man die Anordnungen ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, oder die mit ihnen äquivalenten, zu Grunde legt. Hieraus ist zu schließen:

Sind vier Elemente zweier Punktreihen ABCD und AB1C1D1 auf irgend eine Weise projektiv, so sind sie es im ganzen auf vier Arten. Es kann nämlich die Punktreihe A,B,C,D, der Reihe nach zu

ABCD, BADC, CDAB, DCBA in perspektive Lage gebracht werden.

-

der

222. Das Doppelverhältnis vier harmonischer Punkte hat den Wert 1 oder die Abstandsverhältnisse Punkte des einen Paares von den Punkten des anderen sind entgegengesetzt gleich. Nach 219 besteht nämlich die Gleichung: A, C1 AC ᎠᏴ

=

BC BC DA'

(wo wir, wie oben, D statt G, geschrieben haben). Wenn nun, wie hier angenommen wird,

BC

Mit Bezug hierauf sagt man wohl auch: die Strecke AB (oder CD) wird durch die Punkte C und D (A und B) harmonisch (d. i. innen und außen nach demselben absoluten Verhältnis) geteilt. Auf der Verbindungslinie eines Punktpaares A, B gehört zu jedem gegebenen Punkte C ein bestimmter Punkt D, der mit C im Vereine das Punktpaar A, B harmonisch trennt; insbesondere gehört zum Mittelpunkte der Strecke AB der unendlich ferne Punkt und umgekehrt; fällt C mit A oder B zusammen, so koinzidiert D mit demselben Punkte. - Daß unter den vier Punkten, ohne ihre harmonische Lage zu zerstören, die weiter oben angegebenen Vertauschungen stattfinden können, drückt sich darin aus, daß man schreiben darf:

223. Der Begriff des Doppelverhältnisses findet nicht allein Anwendung auf vier Elemente einer Punktreihe, sondern ebenso auch auf vier Elemente eines Strahlbüschels oder Ebenenbüschels. Wir definieren das Doppelverhältnis von vier Geraden eines Büschels durch

sin ac sin Lad (abcd)

= sin be sin bd'

Dann läßt sich leicht zeigen: Das Doppelverhältnis von vier Strahlen eines Büschels stimmt

überein mit dem von vier Punkten, die auf ihnen von einer beliebigen. Geraden ausgeschnitten werden. Die Strahlen abed mögen die Punktreihe ABCD (auf der Geraden g) aus dem Centrum O projizieren und es sei h=(0g) (Fig. 152). Das Doppelte des Flächeninhaltes der Dreiecke OAC,

C

A

B

C

Fig. 152.

OBC, OAD, OBD läßt sich auf zweierlei Art ausdrücken: entweder

als Produkt der in g gelegenen Basis in die Höhe h, oder als Produkt zweier von 0 auslaufender Seiten in den Sinus des eingeschlossenen Winkels. Aus den durch Gleichsetzung der beiderlei Ausdrücke erhaltenen Relationen:

224. Zwei perspektive Strahlbüschel abcb und abd haben gleiches Doppelverhältnis. Denn projizieren beide aus ihren Centren O und 0, dieselbe Punktreihe ABCD, so stimmt deren Doppelverhältnis nach dem Vorigen mit dem jedes der darüberstehenden Strahlbüschel überein. Ferner gilt offenbar der Satz:

Damit zwei Strahlbüschel abcd und a,b,c,d, in perspektive Lage gebracht werden können, ist notwendig und hinreichend, daß ihre Doppelverhältnisse gleich seien. 225. Wir definieren das Doppelverhältnis von vier Ebenen eines Büschels durch

sin A sin A4

(ΑΒΓΔ) = sin B sin ▲ BA'

Dann folgt wieder:

Das Doppelverhältnis eines Ebenenbüschels ABг ist dem eines jeden Strahlbüschels gleich, welches von einer beliebigen Ebene ausgeschnitten wird. Steht nämlich die Ebene des Strahlbüschels abcd normal zur Achse des Ebenenbüschels ABг4, so sind die zur Bildung des Doppelverhältnisses (ABг) zu benutzenden Neigungswinkel Aг, Bг, 2 AД, 2 Ba bezw. mit den Winkeln ac, ▲ be, ▲ ad, L bd identisch. Daher ist: (ABг4) = (abcd)

Ist ferner der Strahlbüschel a,b,c,d, ein beliebiger ebener Schnitt des Ebenenbüschels ABг4, so liegt er perspektiv zu abcd, denn beide Strahlbüschel projizieren die Punktreihe, in welcher die Schnittlinie ihrer Ebenen den gegebenen Ebenenbüschel beschneidet. Hieraus folgt schließlich:

226. Zwei perspektive Ebenenbüschel ABг und  ̧ ̧à ̧ haben gleiches Doppelverhältnis.

Damit zwei Ebenenbüschel ABг und A,B,г,4, in per spektive Lage gebracht werden können, ist notwendig und hinreichend daß ihre Doppelverhältnisse gleich seien.