E, zwischen den entsprechenden Figuren heißt Affinität bei affiner Lage (perspektive Affinität); die projizierenden Strahlen werden Affinitätsstrahlen, die Schnittlinie a=EXE, wird Affinitätsachse genannt. 6. Aus der Definition ergeben sich die Eigenschaften affiner und affingelegener ebener Figuren. a) Jeder Punkt der Af- a und im beson- ga angenommen wird. R E Parallelen Geraden g und h entsprechen parallele 91 7) Einem Winkel entspricht im allgemeinen ein von ihm verschiedener Winkel 1. Es giebt aber an jedem Punkte Peine Lage des Winkels q, bei welcher ihm (und seinem Scheitelwinkel) der gleiche Winkel am affinen Punkte P1 entspricht. Namentlich existiert an je zwei affinen Punkten ein Paar entsprechender rechtwinkliger Strahlen. Letzteres wird aus folgender Konstruktion erkannt: man lege durch die Mitte der Strecke PP1 eine zu ihr rechtwinklige Ebene A und um deren Achsenschnittpunkt M = a × A eine Kugelfläche, welche P, folglich auch P, enthält. Schneidet diese die Achse a in X und Y, so sind XPY und XPY einander entsprechende und, weil sie über dem Kugeldurchmesser stehen, zugleich rechte Winkel. d) Das Verhältnis je zweier Strecken einer Geraden und allgemeiner das Verhältnis je zweier paralleler Strecken ist dem ihrer Bilder gleich. Liegen nämlich entsprechende Strecken auf einer Geraden g und der affinen Geraden g, vor, so sind sie durch Parallelen hervorgebrachte Abschnitte der Schenkel eines Winkels. Der allgemeinere Fall zweier paralleler Strecken AB und CD wird auf den vorigen zurückgeführt, indem man (Fig. 6) AB um die Strecke BE CD verlängert. Dem Parallelogramm BCDE B = a A1B1 E, C1 rung von AB1 bildet. 7. Umgekehrt sind zwei ebene Figuren affin und affingelegen, wenn ihre Punkte und Geraden einander so entsprechen, daß die obigen Eigenschaften erfüllt sind. Denn, sind A, B, C (s. Fig. 5) irgend drei Punkte der einen, Д1, B1, C1 die entsprechenden Punkte der anderen Figur, so schneiden nach a) die Geraden BC, CA, AB ihre Bilder in Punkten P, Q, R der Schnittlinie a = ABC × A,B11; da ferner nach d): RA: AB = RA1: 41B1 sein soll, so ist 41 || BB1, u. s. f. - Finden für zwei ebene Figuren die obigen Eigenschaften mit Ausnahme der ersten statt, so sind sie nur als affin zu bezeichnen. Die Frage, ob sie in affine Lage gebracht werden können, findet ihre Erledigung erst durch später folgende Sätze. R a B Fig. 6. drei ihre beiderlei Bilder zu führen. A, 1 1 Figuren, deren Ebenen E, E1 und E2 sich in einer Geraden a schneiden; ferner gehe 2 aus Fund F, aus, durch eine Parallelprojektion hervor; dann sind auch und &, durch eine solche aufeinander bezogen, d. h. es besteht der Satz: Sind in Bezug auf eine und dieselbe Achse zwei ebene Figuren zu einer dritten affin und affingelegen, so sind sie es auch zu einander. Es genügt, den Beweis für irgend zwei Punkte und Den Punkten A, B in & mögen A, B, in F, diesen A, B, in 1 entsprechen (Fig. 7). Die Geraden AВ, А ̧‚ ÂÂ1⁄2 schneiden sich in einem Punkte R auf a. Da aber 2 2 2 2 zugleich AA,|| BВ und à ̧Ã1⁄2||BВ ist, so sind die Dreiecke А12 und BB, B, ähnlich und ähnlich gelegen, folglich 441 || BB2, u. s. f. — 9. Wenn man die bisherigen Annahmen spezialisiert, indem man die Ebene E, als mit E zusammenfallend betrachtet, so gelangt man zu einer indirekten Definition affiner und affingelegener Figuren und in einer Ebene, nämlich durch Vermittelung zweier nacheinander angewandter beliebiger Parallelprojektionen, welche zuerst F in F2, dann F2 in F1 überführen. In der Folge wird die direkte Abhängigkeit zwischen Fund F1 ohne Zuhilfenahme räumlicher Konstruktionen untersucht. Der obige Satz lässt aber bereits erkennen, daß die Bedeutung der Affinitätsachse a als der Linie sich selbst entsprechender Punkte erhalten bleibt, sowie daß die Strahlen A1, BB1, u. s. w., welche jetzt gleichfalls der Ebene E angehören, parallel sind; dagegen kann das Bild eines Punktes nicht mehr als Spur seines projizierenden Strahles in der Bildebene erklärt werden. Die Parallelprojektion in der Ebene bedarf also besonderer Erklärung, da die im Raume anwendbaren Operationen beim Übergang zu Gebilden einer Ebene aufhören einen bestimmten Sinn zu haben. 10. Wird eine ebene Figur um eine in ihrer Ebene enthaltene Achse gedreht, so beschreiben irgend zwei Punkte derselben Kreisbögen, deren Sehnen parallel sind. Mithin folgt aus obigem Satze als Korollar: Zwei affine und affingelegene ebene Figuren bleiben in affiner Lage, wenn eine derselben um die Affinitätsachse beliebig gedreht wird. Im besonderen kann hiernach für die betrachteten Figuren auf doppelte Art die affine Lage in einer Ebene herbeigeführt werden, indem man die Bildebene durch Drehung nach der einen oder der anderen Seite mit der Originalebene zur Deckung bringt. Dreht man umgekehrt von zwei in einer Ebene affingelegenen Figuren die eine beliebig um die Achse aus der Ebene heraus, so wird sie in der neuen Lage durch eine Parallelprojektion auf die andere bezogen. Affine und affingelegene Figuren einer Ebene. 11. Zufolge der im vorigen enthaltenen indirekten Definition müssen zwei Figuren und & derselben Ebene, wenn zwischen ihnen Affinität bei affiner Lage bestehen soll, folgende Eigenschaften haben: a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind parallel; B) Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei 7) Jeder Punkt der Affinitätsachse entspricht sich selbst. Finden umgekehrt diese Beziehungen statt, so können die beiden Figuren durch Drehung der einen um die Achse in eine räumliche Lage übergeführt werden, bei welcher sie durch Parallelprojektion aufeinander bezogen sind. Hieraus folgen sofort alle ihre weiteren 7 P Fig. 8. a Eigenschaften: sie stimmen mit den vorher (6) angeführten überein. Die allein noch übrig bleibende Frage, ob bei der Einschränkung der Operationen auf die Ebene obige drei Bedingungen hinreichen, um die in Rede stehende Kollineation zu definieren, findet ihre Er ledigung durch folgenden Satz: In der Ebene ist die Affinität bei affiner Lage durch Angabe der Affinitätsachse a und zweier nicht auf ihr gelegener entsprechender Punkte Pund P auf Grund der unter a), ) und 7) angeführten Eigenschaften eindeutig bestimmt. In der That kann zu jedem gegebenen Punkte Q der entsprechende Q, bestimmt werden, indem man (Fig. 8) S = PQ × a sucht und SP, mit der durch Q gelegten Parallelen zu PP1 in Q1 schneidet. Das Bild einer Geraden g mittels des Bildes Q, eines ihrer Punkte konstruierbar, denn M R a man 1 ist wenn findet 9 TQ1: T = gx a. Einfacher ergiebt sich g, wenn PUg gezogen ist, als Parallele zu UP1 durch T. 12. Die Konstruktion der entsprechenden rechten Winkel an zwei affinen Punkten Pund P, erfolgt (Fig. 9) mit Hilfe eines Kreises durch P und P1, dessen Centrum M der Affinitätsachse a angehört. Schneidet dieser a in den Punkten X und 1, so sind XPY und XP die gesuchten. Fig. 9. rechten Winkel. Ist P' der in Bezug auf a zu P1 symmetrische Punkt, so ist▲ P1PY: =PPY, weil die Bögen PY und PY gleich sind; der Strahl PI halbiert den PPP, PX den Nebenwinkel. Diese Bemerkung kann zur Konstruktion der Rechtwinkelstrahlen dienen, falls etwa M außerhalb der Zeichnungsfläche liegt. Symmetrisch zu PX (oder PY) gelegenen Punkten, z. B. Q und R, entsprechen symmetrisch zu PX (oder PF) gelegene Punkte Q und R. 13. Zur Auffindung zweier an Pund P, einander entsprechender Winkel von gegebener Größe ф dient folgende Betrachtung. Es werde zunächst angenommen, daß P und P1 auf derselben Seite der Affinitätsachse k Р だ M M a wird, wenn X und I die Achsenschnittpunkte von k sind. Zieht Fig. 10. man aus einem beliebig auf QR angenommenen Punkte M' den Strahl M'X' unter dem Winkel R gegen a und beschreibt um M' einen Kreis k' durch X', so ist R das Ähnlichkeitscentrum für die Kreise k und k. Man findet daher M, indem man RP, mit k in P' schneidet und PM PM' zieht. Werden die gegebenen affinen Punkte durch die Achse von einander getrennt, wie P und P2, so betrachte man statt des letzteren den symmetrisch zur Achse gelegenen Punkt P1; dann ist YP2Y = ▲ XP, Y. 14. Für jede Größe und Lage der Strecke PQ auf einer Geraden g hat, wenn PQ, die entsprechende Strecke auf der affinen Geraden 91 ist, (nach 6) das Verhältnis λ = PQ : P1 Q1 einen konstanten Wert, der sich auch nicht ändert, wenn g und damit zugleich g, eine Parallelverschiebung erfährt. Zu jeder gegegebenen Richtung (und der affinen) gehört also ein festes Strecken |