On a, en effet, en désignant l'arc MD par a Le supplément d'un arc est l'arc qu'il faut ajouter au premier pour valoir une demi-circonférence; de même, le supplément d'un angle est l'angle que l'on doit ajouter au premier pour avoir deux angles droits. L'arc A'N est le supplément de ADN, et comme NP'—MP, il vient Si nous désignons par C une demi-circonférence et par n un nombre entier, il viendra : Si l'arc est nul, le cosinus est égal au rayon. On a donc : cos 0° = R. A mesure que l'arc augmente depuis zéro jusqu'à un quadrant, le cosinus diminue depuis le rayon jusqu'à zéro; de sorte que cos 90° = 0. Lorsque l'arc dépasse un quadrant, le cosinus devient négatif et reste négatif dans le deuxième quadrant. Connaissant les valeurs des sinus et des cosinus pour tous les arcs depuis 0o jusqu'à 360°, les formules qui précèdent font connaitre les autres lignes trigonométriques, les tangentes, les sécantes, etc., de ces mèmes arcs. tg (360°-a)-tg a, tg 360o = 0. Pour des arcs plus grands qu'une circonférence, les tangentes repassent par les mêmes états de grandeur que précédemment. 6. Connaissant les sinus et les cosinus des deux arcs a et b, chercher les sinus et les Fig. 2. APS K C a, EM DM = b, = cos α, sin a, CP Les deux triangles DIN et MPC ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires sont semblables et donnent : On a par les triangles semblables MPC, ISC les propor et, par les triangles semblables DIN, MPC: En remplaçant ces valeurs de CS et de IN dans l'expression de CK, on trouve : à cause de l'égalité des triangles rectangles DIN, EIH qui` ont l'hypoténuse égale et les angles égaux. En remplaçant IS et DN par leurs valeurs tirées des proportions précédentes, il vient : et, en substituant les valeurs fournies par les deux dernières proportions : R cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b. (k). Telles sont les quatre formules fondamentales de la trigonométrie rectiligne. Si le rayon du cercle est égal à l'unité, elles deviennent : Les arcs a et b étant quelconques, peuvent être égaux; ce qui donne pour la première : sin 2a 2 sin a cosa, qui est la relation entre le sinus de l'arc double et le sinus et le cosinus de l'arc simple, ou bien encore a |