CHAPITRE XXIX. INVARIANTS. 593. Soient S = ay2 + 2bxy + cx2 + 2dy + 2ex + f = 0, S' = a'y2 + Qb'xy + c'x2 + 2d'y + 2e'x + f' = 0, les équations de deux coniques. On a vu (325) que S + KS'—0 représente la conique passant par les quatre points d'intersection réels ou imaginaires des deux premières; puisque K est une constante arbitraire, on peut évidemment faire passer par les quatre points autant de coniques qu'on veut. On sait à quelles conditions chacune de ces coniques représente le système de deux droites (197). Si A et A' sont leurs discriminants, on doit avoir ▲=0, A'=0; on peut alors se proposer de rechercher à quelles conditions la conique S+ KS' = 0 représentera aussi le système d'une ou plusieurs couples de droites. Il est évident que l'on doit changer, dans le discriminant A, les coefficients a, b, c en a + Ka', b+ Kb' ...., etc....; ce qui donne pour le discriminant de la conique S+KS' —0, l'équation dans laquelle AK3 + ØK2 + 6'K + s'= 0, Les valeurs de K, qui satisfont à l'équation précédente, substituées dans l'équation S + KS' =0, transforment cette conique en un système de deux droites. Il est évident que les points d'intersection des deux coniques S=0, S'=0 dépendent seulement de la nature des deux courbes, de leurs positions respectives et de leurs dimensions; ces points ne peuvent jamais dépendre de la position des axes coordonnés auxquels ces coniques sont rapportées; de sorte que, si par une transformation d'axes, les équations de ces courbes deviennent S, 0, S=0, l'équation S1+KS;=0 sera telle que le coefficient de K, correspondant au cas où cette quantité représente des lignes droites, est tout à fait indépendant du choix des axes, puisque K reste alors constant. Le rapport des deux coefficients de K dans l'équation sK3 + ØK2 + 0′K + s′ = 0 doit donc être invariable: c'est pourquoi l'on a donné aux quantités A, 0, 0', A' le nom d'invariants. D'ailleurs, dans le calcul de la transformation des axes, les coordonnées d'un point (x, y, z) de la courbe sont remplacées par px+qy+rz, p'x + q'y + r'z, p′′x+q′′y+r′′z, et les coefficients A, 0, 0', A', par rapport aux nouveaux axes, dérivent des mêmes quantités relatives aux anciens, en les multipliant par des quantités constantes. Il s'ensuit que, si l'on trouve pour deux coniques, ramenées à leur forme la plus simple, une relation entre ▲, 0, 0', ▲', cette relation subsistera encore pour ces courbes ramenées à des axes quelconques. 594. On nomme, en général, invariant toute fonction des coefficients d'une forme telle que, si l'on effectue dans la forme une substitution linéaire, la fonction semblable des coefficients de la transformée soit égale à la fonction primitive multipliée par une puissance du module de la transformation, c'est-à-dire que l'on ait : Le discriminant de ax2+2bxy+cy2 est ac-b3. Si l'on y remplace x par lx+my et y par l'x + m'y, il viendra pour la transformée : (al2 + 2bill' + cl12) x2 + 2 [alm + b (lm' + l'm) + cľ'm'] xy + (am2 + 2bmm' + cm'2) y2; et, en désignant par a', 2b', c', les coefficients de celle-ci, il vient : a'x2 + 26'xy + c'y* dont le discriminant est a'c' — b'2. On peut aisément vérifier que a'c'-b'2 = (ac—b2) (lm'-l'm)2; ce qui signifie que le discriminant de la tranformée est égal à celui de la forme primitive multiplié par le carré du déterminant (lm' — l'm): ce dernier est, dans ce cas, le module de la transformation. La recherche des invariants pour deux coniques quelconques S, S' ne présente aucune difficulté : c'est pourquoi nous ne nous y arrèterons pas. 595. Il est facile, d'après l'équation sK3 + OK2 + o'K + s'=0, d'exprimer entre les invariants des deux coniques S=0, S'=0, la condition de tangence de ces deux courbes. Pour que les deux coniques soient tangentes, deux des quatre points d'intersection doivent se réunir en un seul; l'équation précédente, qui les représente tous deux, devra donc avoir alors deux racines égales, ce qui réduira à deux les trois couples de deux droites. Si l'on recherche entre cette équation et sa dérivée, par rapport à K, leur plus grand commun diviseur, on trouve par élimination : (00' — 9ss')2 = 4 (62 — 316′) (0′2 — 3s′0), qui est la condition de tangence des deux courbes. 596. Appliquons cette méthode aux deux cercles x2 + y2 = r2, (x − a)2 + (y — (35)a — »•'2. On a pour les invariants : r2K3 + (2p2 + p12 — D2) K2 + (2r'2 + y2 —— D2) K + r'2 = 0, D étant la distance des centres des deux cercles. = Cette équation admet évidemment pour K la racine K = 1, puisque les deux cercles S-S' O se coupent suivant deux droites, dont une réelle et la seconde à l'infini. En divisant l'équation précédente par K + 1, on obtient: r2K2 + (p12 + p'2 — D2) K + r22= 0; pour que les deux racines soient égales, c'est-à-dire pour que les deux cercles soient tangents, il vient : d'où D=r±r', comme on le démontre en Géométrie. 597. Soit à trouver les invariants de la conique 598. Cherchons les valeurs de et de ', lorsque la conique S' représente deux droites. On obtient évidemment alors: s' = 0. Comme les invariants sont indépendants des axes coordonnés, on peut prendre pour ces deux droites x=0, y 0. Pour obtenir le discriminant de S+ kxy, il est évident qu'il faut changer, dans A, le coefficient b de xy en b+k; ce qui donne directement ▲ + 2 (de — bf) k — fk2 — 0. Si f=0, la conique S passe par le point de rencontre des deux droites, et si de-bf-0, celles-ci sont conjuguées par rapport à S. pour exprimer que l'une des droites de S' est tangente à S. = Ainsi, lorsque S' représente deux droites, A'= 0, l'équation ' 0 indique que ces deux droites se coupent sur S, et 0-0 signifie que ces droites sont conjuguées par rapport à S. 599. Comme application de ce qui précède, proposonsnous de résoudre le problème suivant : ait Déterminer les cinq arbitraires 14, 12, ... Is, de sorte qu'on S1, S2, ... Sy représentant les équations des cinq coniques. Les droites M, N sont tangentes à une conique E; les droites sont conjuguées par rapport à celle-ci. |