On aura de mème :

a + b

·c + (a−b — c) cos ẞcos y + (b − c — a) sin ẞ sin y

En éliminant successivement sin 7 et cos y entre ces deux équations, on trouve :

(a + b − c) cos } (a + ß) = (b + c − a) cos (a — f) cos y,

(a + b — c) sin 1⁄2 (a + ß) = (a + c − b) cos 1⁄2 (« — ẞ) sin y;

et, puisque les coordonnées du lieu sont :

cos(x+6), sin 1⁄2 (1⁄2 + ß),

cos(x-3),

on obtiendra pour l'équation de ce dernier, en ajoutant les équations précédentes après les avoir élevées au carré :

+

(b) -4-C- a)2 (a + c b)2 (a + b −c)2

On trouvera, de la mème manière, le lieu décrit par l'enveloppe du côté d'un triangle inscrit dans la conique x2 + y2=z2, et dont deux côtés sont tangents à la courbe ax2 + by2

=

cz2.

On a pour l'enveloppe :

(ab + ac - bc)2x2 + (ab + be ac)2y2 = (bc + ac

587. Proposons-nous de rechercher les propriétés de la conique a22 + b2ß2 = c272, rapportée à son triangle autopolaire a, ß, 7. On peut donner à cette équation les différentes formes:

La première prouve que les deux droites c + bß, c7 — bß, qui se coupent en (ẞ, 7), sont tangentes à cette conique est la corde de contact dont (3,7) est le pòle. La deuxième équation fait voir que les deux droites cy+aa, cy- az sont aussi tangentes à cette courbe, et que

ẞ est la corde de contact dont (x, y) est le pôle. (×, ß) est le pôle de 7, comme l'indiquent d'ailleurs les deux tangentes imaginaires

celles-ci se coupent en un point réel (a, ß), pôle de la corde de contact 7.

Si nous posons, comme précédemment,

ua=CY COSC, b=crsin c,

il viendra pour l'équation de la sécante qui joint deux points ∞, w':

az cos (w + ·w') + hß sin 1⁄2 (w + w') = cy cos ‡ (w — w').

Si l'on fait w'

gente:

w, on aura pour l'équation de la tan

ua cos a + b sin =

cy.

Cette équation devient, en éliminant cos o et sin ∞ et en désignant le point de contact par (œ′, ß', y') :

a2ax' + b2ßß' = c'yy'.

Il est évident que, si la conique a pour équation:

sa tangente est

aa2 + b22 + cy2 = 0,

aux' + bßß' + cyy' = 0.

Cette équation est aussi la polaire du point (z', ß', y'). 588. mx + nẞ+py=0 étant l'équation d'une droite. quelconque, les conditions pour que cette droite soit identique avec la polaire du point (a', ß', y') sont :

m = ax', n= bp', p=cy';

équation exprimant la condition voulue pour que la droite mx+nẞ+py=0 soit tangente à la courbe

aa2 + b22 + cy2 = 0;

ce qu'il est facile de prouver directement en prenant la valeur de dans l'équation de la droite, et en la substituant dans celle de la courbe, puis en exprimant que les deux racines de sont égales.

α

D'après la condition de tangence ci-dessus exprimée, il est évident que les quatre droites ma±nß±py=0 touchent la conique; alors, les trois diagonales du quadrilatère fornié par ces quatres droites donnent le triangle autopolaire, c'est-à-dire, le triangle de référence.

589. Trouver le lieu du pôle d'une droite pa+vẞ+πу=0 par rapport aux coniques tangentes à quatre droites données ma±nẞpy=0.

Pour que ces coniques soient tangentes à ces droites, on

Cette dernière équation fait connaitre immédiatement le lieu des centres des courbes du 2me degré tangentes à

quatre droites données. Il suffit, à cette fin, de prendre pour droite

« sin A + ẞ sin B + y sin C =

qui est située à l'infini, et dont le pôle est le centre de la courbe; ce qui donne pour le lieu :

590. Considérons, comme cas particulier de l'équation générale des coniques rapportées à leur triangle autopolaire, l'équation x2 + y2=c22. Comme on le verra (612), le foyer de cette conique se trouve à l'origine, et 7 est l'équation de la directrice de cette conique, c représentant l'excentricité.

De l'équation précédente, on tire:

(cy + x) (cy —— x) = y2;

ce qui prouve que les deux droites cy+x, cy — x, partant du point (y, x), sont tangentes à la courbe.

591. Si l'on pose, comme précédemment, x=cy cos w, y=cy sin o, il vient :

w est l'angle que le rayon vecteur, partant du foyer, fait avec l'axe des x.

Il s'ensuit que la corde passant par o et ' a pour équa

tion

x cos 1⁄2 (w' + w) + y sin { (w' + w)

=

cy cos £ (w' — w).

Si la corde qui joint les deux points w', o est vue du foyer sous un angle constant, la quantité w'

alors, la corde

@reste constante;

x cos 1⁄2 (w' + w) + y sin 1⁄2 (w' + w) = cy cos ‡ (w' — w)

est toujours tangente à la conique

x2 + y2 = c2y2 cos2 1⁄2 (w' — w),

celle-ci ayant le même foyer et la mème directrice que la conique proposée.

Ainsi, toute corde, vue du foyer d'une conique sous un angle constant, enveloppe une conique.

592. Les équations des tangentes aux points wet w'

sont

x cos y sin w =

= CY,

x cos y sin w' = cy;

en les retranchant on obtiendra l'équation de la droite qui joint leur point de rencontre au foyer, c'est-à-dire,

ce qui prouve que la droite qui unit le foyer d'une conique aux points de rencontre de deux tangentes est bissectrice de l'angle formé par les deux rayons vecteurs menés aux points de contact.

La corde de contact de deux points w, w' étant

x cos 1⁄2 (w' + w) + y sin 1⁄2 (w' + w) =cy cos (w' — w),

il est évident que l'équation de la droite, qui joint le point de rencontre de la directrice et de cette corde au foyer, est

x cos — (w' + w) + y sin † (w' + w) = 0;

ce qui prouve que cette droite est perpendiculaire à la bissectrice précitée.

Les deux tangentes, menées d'un point quelconque de la directrice de la parabole à cette courbe, se coupent à angle droit, puisque les deux tangentes cx, c7 — x deviennent, lorsque c=1: 7 + x, 7-x.