et Q-IV (b+c+d− a) (a+c+d—b) (a+b+d-c) (a+b+c-d); = en désignant par 2p le périmètre du quadrilatère inscrit, on a : Q = √(p − a) (p — b) (p —- c) (p — d). 53. Connaissant les trois angles A, B, C et le rayon r 54. On connaît les trois angles d'un triangle et le rayon r du cercle inscrit. Chercher l'aire du triangle qui joint les trois points de contact. Soient A', B', C' les trois points de contact et I le centre du cercle inscrit (fig. 16). L'angle au centre B'IC'est le supplément de l'angle A du triangle; de sorte que l'on a pour la surface du triangle B'IC' : et ainsi des autres. En ajoutant, on obtient pour la surface cherchée S: 55. Connaissant les trois angles A, B, C et le rayon R du cercle circonscrit, trouver la surface S du triangle A'B'C', compris par les tangentes aux sommets du triangle (fig. 15). Le triangle rectangle A'BO donne : A'B=R tg A. On a de même dans le triangle rectangle C'BO : C'B=R tg C; de sorte que le côté A'C' R (tg A+ tg C), 56. Soient a, ẞ, y les rayons des trois cercles ex-inscrits au triangle ABC; R, r les rayons des cercles circonscrit et inscrit, a, b, c les trois côtés et 2p le périmètre du triangle, I, I' étant les centres des cercles inscrit et ex-inscrit au côté BC= a; on aura (fig. 17): En ajoutant les valeurs inverses de a, ß, y, on obtiendra : S2 = raßy; d'où S=Vraßy. En ajoutant les valeurs de a, ß, 7 et en retranchant de cette somme le rayon r, il vient : Ainsi, la somme des rayons des cercles ex-inscrits est égale à quatre fois le rayon du cercle circonscrit plus le rayon du cercle inscrit. B 57. Connaissant la hauteur h, la base a et l'angle A Fig. 18. ADC donnent : D opposé à celle-ci, résoudre le triangle (fig. 18). Représentons DC par y et l'angle DAC par x, on aura : BD = a ・y. Les triangles rectangles BDA, y=higx (1), a-y=h tg (A-x) (2). On procédera de la même manière pour connaitre les autres côtés dans les triangles rectangles. 58. Connaissant les trois angles et le périmètre 2p, résoudre le triangle et trouver sa surface. |