notre méthode sur la théorie générale des asymptotes aux courbes, on trouve : = b y ± x a pour l'équation des asymptotes de l'hyperbole. On voit qu'elles sont dirigées suivant les deux diago Cette valeur devient de plus en plus petite à mesure que x augmente; elle est nulle, lorsque x est infini: ce qui prouve que y= ± - x a est bien l'équation des asymptotes de l'hyperbole. 477. Puisque le point P est le milieu de la corde MM' de l'hyperbole, parallèle à l'axe des y (fig. 247), et en même temps milieu de NN', il s'ensuit que MNM'N'. Si, d'ailleurs, on fait x = a dans l'équation Ainsi, les deux portions extérieures d'une sécante quelconque comprise entre l'hyperbole et les asymptotes sont égales, et le diamètre, mené au point de contact A, divise la tangente BAB' = 2b, comprise entre les deux asymptotes, en deux parties égales. Il est facile, d'après cela, de construire l'hyperbole lorsqu'on connaît un point de la courbe et les deux asymptotes. Il suffit, en effet, de mener de ce point autant de sécantes qu'on en veut et de prendre, à l'intérieur du mème angle des asymptotes, à partir des points de rencontre de la sécante avec ces droites, des longueurs égales R'V = MR. On répète cette construction en prenant plusieurs points de la courbe. 478. Une sécante NMN', parallèle à un diamètre conjugué quelconque 2b terminé aux deux asymptotes, est divisée par un point de l'hyperbole en deux segments MN, MN' dont le rectangle est équivalent au carré b2 construit sur ce demi-diamètre. Soient NPY, MPy, les ordonnées correspondantes à une mème abscisse de l'asymptote et de l'hyperbole. On a : et b? a2 «2x2, y2 = 7 (x2 — a2); d'où Y2 — y2 = b2 (Y + y) (Y − y) = b2, MN' × MN = b2. Cette propriété existe encore lorsque la sécante coupe les deux branches de l'hyperbole. Alors, le diamètre conjugué transverse est moyen proportionnel entre les deux segments déterminés par l'hyperbole et les deux asymptotes. Il suit de ce qui précède que l'on peut construire deux diamètres conjugués lorsqu'on connait la direction de l'un d'eux, les deux asymptotes et un point de la courbe. Par le point donné M entre les asymptotes, on mène la parallèle NMN' à OE, lequel est moyen proportionnel entre MN et MN'. On joint le point 0 avec le milieu de NN'. Par le point E, on tire la droite EB parallèle à OP: cette parallèle coupe l'asymptote en B. On achève le parallelogramme OEBA dont les deux côtés OA, OE sont les deux diamètres conjugués cherchés (fig. 247). Cette propriété permet aussi de trouver les axes lorsqu'on connait, de grandeur et de position, deux diamètres conjugués. On aura ainsi un point de la courbe, le point A et, par suite, les deux asymptotes. La bissectrice de l'angle des deux asymptotes déterminera la direction des axes de l'hyperbole; leur grandeur s'obtiendra par le moyen qui précède. L'hyperbole rapportée à ses asymptotes. 479. Prenons les asymptotes OB, OB' (fig. 248) pour axes des y et des x, et soit M un point de l'hyperbole dont les coordonnées sont OP=x, MP= y. L'aire du parallelogramme OPMQ est xy sin 0; comme cette aire est la huitième partie du rectangle des axes 2a, 2b, on a : ab ab pour l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, O désignant l'angle de ces deux droites. L'axe OA a divise l'angle en deux parties égales. = Soient 2 et AB b. Le triangle rectangle OAB Le carré égal à¦(a2 + b2) se nomme la puissance de l'hyperbole. Il est facile de voir que cette équation est celle de l'hyperbole ayant pour axes coordonnés les asymptotes, puisque les valeurs de y sont d'autant plus petites que celles de x sont plus grandes, et que, si x = 0, et récipro quement. 480. Cherchons l'équation de la tangente à l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. On a: pour les équations de la courbe et de la sécante qui doit devenir tangente. En déterminant les valeurs de m et de n, comme on l'a fait précédemment (455), on trouve : pour l'équation de la tangente à l'hyperbole. Si l'on fait y=0, il vient : x = 2x', OT =20P et, par suite: MT MT', ainsi qu'on l'a déjà prouvé (476). = 481. PROBLÈME. L'aire du parallelogramme variable OAMB est constante et équivalente à un carré donné K2. On demande la courbe décrite par le sommet M de ce parallélogramme. En dirigeant les axes coordonnés suivant les deux côtés |