Pour tous les points de l'ellipse situés sur l'arc BMA, cet angle est obtus; il atteint son maximum lorsque x'=y', c'est-à-dire, lorsque le point M est sur la bissectrice de l'angle XOY. Aux extrémités B et A des axes, il est droit, et la tangente MT est perpendiculaire aux axes BB', AA' de l'ellipse.

Fig. 200.

et prouve que la normale MN est bissectrice de l'angle F'MF (fig. 200). ·

Donc, les deux rayons vecteurs font avec la tangente, d'un même côté de celle-ci, deux angles égaux.

On s'appuie sur cette propriété, qui a déjà été démontrée, pour la construction de la tangente à une ellipse par un point donné sur la courbe ou extérieur à celle-ci.

Angle excentrique.

398. Soient x', y' les coordonnées d'un point quelconque M de l'ellipse

X'

a2y2+ b2x2= a2b2.

Décrivons deux cercles concentriques ayant pour rayons

et a, et prolongeons l'ordonnée MP jusqu'à sa rencontre en N avec la circonférence de rayon a (fig. 201). Joignons le point de rencontre B du

petit cercle avec le rayon ON au point M de l'ellipse et

désignons par w l'angle NOP

on

aura, d'après ce qu'on a vu dans la construction de l'el

lipse :

x'

= a cosa, y'—b sin w.

Ces valeurs satisfont évidemment à l'équation

a2y'2 + b2x'2= a2b2,

et il n'y a plus alors qu'une seule variable w.

Cherchons, d'après cela, l'équation de la sécante qui passe par deux points (x', y'), (x", y') de l'ellipse.

Si l'on désigne par o et w' les angles correspondants à ces

En ayant égard à ces valeurs, l'équation de la sécante devient, après simplification :

d'où l'on tire, en faisant 'w, l'équation de la tangente à l'ellipse:

Mais a et étant les angles que deux diamètres conjugués font avec l'axe des x, il vient :

Comme tg a tg B, puisque les diamètres sont conjugués, on obtient :

1+ tgwtgw' = 0;

ce qui indique que si l'on prolonge les ordonnées de deux diamètres conjugués d'une ellipse jusqu'aux points de rencontre de la circonférence décrite sur le grand axe de cette courbe comme diamètre, les points de rencontre appartiendront aux extrémités de deux diamètres du cercle perpendiculaires, et réciproquement.

De là résulte un procédé bien simple, étant donné un diamètre d'une ellipse, pour trouver son conjugué.

399. APPLICATION I. Chercher les longueurs des diamètres conjugués 2a', 2b' en fonction de l'angle w.

Il suffit de remplacer tg a et tg ẞ par

400. APPLICATION II. Il sera facile, d'après cela, de trouver la distance entre deux points w, w' pris sur l'ellipse. On aura, en représentant cette distance d:

=

· (x' — x'')2 + (y' — y'')2,

13

♪2 = a2 (cos w — cos ')2 + b2 (sin w

et, en développant :

♪ = 2 sin 1⁄2 (w

par

sin w')

· w') Va2 sin2 ¦ (w + w') + b2 cos2 1⁄2 (w + w').

D'après la formule qui précède, la quantité sous le radical représente le demi-diamètre conjugué b', qui est parallèle à la tangente menée par (w + w'). On a donc :

401. APPLICATION III. On demande le lieu de l'intersection, en un point M de l'ellipse, d'une normale avec le rayon ON qui joint le centre au point N correspondant du cercle décrit sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre. L'équation de la normale à l'ellipse est (394) :