Cette équation, n'étant satisfaite que pour le seul point de la courbe xx', y=y', n'a que ce seul point de commun avec la courbe et avec la droite; elle représente donc bien la tangente à la circonférence au point (x', y'). 355. Désignons par ∞, ∞ les angles que font avec l'axe

devient, en remplaçant a et par leurs valeurs tirées des

R cos(').

x cos 1⁄2 (w + w') + y sin 1⁄2 (w + w')

Siow, on a pour l'équation de la tangente à la circonférence :

x cos + y sin w = R.

Il n'y a plus, comme on le voit, qu'une seule variable pour représenter le point de contact.

pour la tangente à la circonférence en un point (x', y');

@ étant l'angle que le rayon du cercle au point de contact fait avec l'axe des x.

α

356. Cherchons comment, par un point M dont les coordonnées et ẞ sont rectangulaires, on peut mener une tangente à la circonférence donnée de centre O et de rayon R (fig. 176).

Fig. 176.

Soient x', y' les coordonnées du point de contact de la tangente MT avec la circonférence. On aura les équations:

Le point de contact (x', y'), devant se trouver à la fois sur les deux lignes représentées par ces deux équations, se trouvera à leur intersection; mais, en retranchant la seconde de ces équations de la précédente et en complétant les carrés, on obtient :

équation d'une circonférence ayant pour diamètre la distance OM et sur laquelle doit aussi se trouver le point de contact de la tangente MT; comme il doit se trouver éga

lement sur la circonférence donnée, il sera à l'intersection de ces deux circonférences.

357. On peut calculer directement les coordonnées x', y' du point de contact lorsque la tangente doit passer par un point donné (~, (3).

On a, en effet, pour déterminer ce point, les équations:

On voit que, par un point extérieur à la circonférence, on peut toujours mener deux tangentes puisque, pour ce point, +ẞ> R2 et qu'ainsi le radical a deux valeurs réelles. Si le point (, ) est situé sur la circonférence, les deux valeurs se réduisent à une seule: on ne peut mener qu'une seule tangente. Enfin, si le point est à l'intérieur du cercle, on ne peut, par ce point, mener aucune tangente, puisque le radical est imaginaire à cause de

a2 + s2 < R2.

Si, dans l'équation de la tangente passant par le point (α, B),

ax + By = R2,

Comme il est facile de construire ces longueurs prises sur les axes des y et des x, on aura ainsi la droite AB qui rencontrera le cercle aux deux points de contact cherchés.

358. La normale à une courbe quelconque est la perpendiculaire à la tangente élevée au point de contact.

x', y' étant les coordonnées de ce point, l'équation de la normale est de la forme :

y — y' = m' (x — x').

La condition d'ètre perpendiculaire à la tangente fournit la relation :

ce qui prouve que cette droite passe par l'origine, qui est ici le centre de la courbe, et que la tangente au cercle est perpendiculaire à l'extrémité du rayon mené au point de

contact.

Axe radical. Centre radical.

359. On appelle puissance d'un point par rapport à une circonférence quelconque O, le rectangle constant des segments PA PB situés sur la corde AB qui passe par ce point.

On nomme axe radical de deux circonférences O, O' le lieu d'égale puissance par rapport à ces deux circonférences.

Soient x, y les coordonnées du point P, R et R' les rayons des circonférences O, O' (fig. 177), les axes étant rectangulaires et l'origine des coordonnées au centre 0. L'axe des étant dirigé suivant la droite des centres

T, T'étant les points de contact des deux tangentes

PT, PT'; le lieu cherché est donc tel que de chacun de ses points partent deux tangentes égales aux deux circonférences.

Les triangles rectangles PTO, PT'O' donnent :

PT2= x; + y; — R2, PT' = y; + (x, — a)3 —— R'?.

2

En égalant ces deux valeurs x,2 + y12 — R2 et y,2 + (x — α)2 — R12, on aura l'équation du lieu demandé qui

On voit que ce lieu est une droite perpendiculaire à la droite des centres 00', qui est ici l'axe des x; que cette droite est plus rapprochée de la petite circonférence que

de la grande; qu'elle se confond avec la corde d'intersection lorsque les deux circonférences se coupent, et avec la tangente commune lorsque les deux cercles O, O' sont tangents, soit extérieurement, soit intérieurement, comme le prouve la valeur précédente de x1.

360. Soient C1 = 0, C2 = 0, C3 = 0 les équations de trois circonférences de cercle quelconques.