CHAPITRE XX. DU CERCLE. 349. Soient a et ẞ les coordonnées du centre d'un cercle de rayon R, OP=x, MP= y les coordonnées d'un point quelconque de la circonférence et l'angle des axes coordonnés, ceux-ci étant obliques. Le triangle CMN donne (fig. 170): MN+ CN2+ 2MN × CN cos 6 = CM ou (y — f)2 + (x − a)2 + 2 (y B) (xa) cos 0: R2, qui est l'équation la plus générale de la circonférence. On voit qu'elle contient trois constantes arbitraires a, ẞ et R: ce qui prouve qu'on peut toujours assujettir une circonférence de cercle à trois conditions pour la déterminer de grandeur et de position. En développant cette équation, elle prend la forme : y2+ 2xy cose + x2 2 (ẞ + a cos) y 2 (a + ẞ cos 0) x + a2 + ß2 — R2 + 2aß cos 0 = 0). Les coefficients de x2 et de y2 sont égaux entre eux et à l'unité; le coefficient du rectangle xy est égal à deux fois le cosinus de l'angle des axes coordonnés. 350. Réciproquement, toute équation de la forme y2 + x2 + axy — by — cx + d 0 peut représenter une circonférence de cercle rapportée à des axes obliques. En posant 2 cosa, ẞ+ a cose b 2 et a2+ B2+ 2xß cos e Rd, les deux équations deviennent identiques. L'équation proposée pourra toujours représenter une circonférence, si les valeurs de a, de ẞ et de R, tirées de ces équations, ne sont pas absurdes. Soit YOX (fig. 171) l'angle des axes donné par l'équation = Prenons sur l'axe des abscisses une longueur OP sur l'axe des ordonnées une longueur OQ; il viendra: Les deux perpendiculaires élevées aux points P et Q se rencontreront en un point C, qui sera le centre de la circonférence cherchée (fig. 171). D'après cette construction, il n'est pas nécessaire, pour avoir la position du centre C, de calculer a et ẞ; il suffit de prendre, avec des signes contraires, la moitié des coefficients de y et de x, et d'élever aux points P et Q des perpendiculaires qui se rencontreront au point C. qui est l'équation de la circonférence de cercle par rapport à des axes rectangulaires. Elle contient encore trois constantes arbitraires, a, ß et R. En la développant, il vient : x2 + y2 — 2xx By + a2 + ẞ2 — R* — 0. = Elle ne contient plus le rectangle xy; les coefficients des termes du 2me degré sont encore égaux entre eux et à l'unité. 351. Réciproquement, toute équation de la forme : ax2 + ay2 + bx + cy + d = = 0 peut représenter une circonférence de cercle. Divisant par a, il viendra: En complétant les carrés en x et en y, on a : Si le centre est situé sur l'axe des x, ẞ0; s'il est situé sur l'axe des y, a=0; lorsqu'il se trouve à l'origine, 0 et B -0. L'équation générale devient pour ces trois cas: = 2 (x — a)2 + y2 — R2, (y — ß)2 + x2 = R2, y2 + x2 = R2, qui est l'équation la plus simple de la circonférence. Elle prouve, ainsi que les précédentes : 1° Que cette courbe a tous ses points à égale distance du centre C, qui est ici l'origine des axes coordonnés. 2° Qu'elle est symétrique par rapport aux axes des x et des y qui sont ici des diamètres de la courbe, et que tout diamètre partage ainsi la circonférence et le cercle en deux parties égales. 3° Qu'un diamètre perpendiculaire à une corde, partage cette corde et l'arc sous-tendu en deux parties égales. Il vient, en effet : Pour toute valeur de x <R, les deux valeurs de y sont égales et de signes contraires. 4° La perpendiculaire abaissée d'un point quelconque M de la circonférence sur le diamètre AB est moyenne propor et, en remplaçant ya par sa valeur R2 — x2 : |