diagonale be est la polaire du point d'intersection n' des côtés B' et E', et la diagonale cf est la polaire du point d'intersection p' des côtés C' et F'. Puisque les trois points m', n', p' sont en ligne droite, en vertu du théorème précédent, et que cette droite ne peut avoir qu'un seul pôle qui doit se trouver à la fois sur les trois diagonales ad, be, cf, celles-ci doivent nécessairement se rencontrer en un mème point 0. L'hexagone circonscrit à la conique peut être quelconque, convexe ou rentrant. 333. Quand on connait cinq tangentes à une conique, on peut, au moyen du théorème précédent, en construire à volonté. Soient les cinq tangentes données af, ab, bc, cd, de (fig. 162); proposons-nous de mener une tangente partant du point f. Traçons les deux diagonales fc et ad qui se coupent en o; la diagonale bo coupera la cinquième tangente au point e, et fe sera la sixième tangente demandée. On peut aussi, lorsqu'on connait cinq tangentes à une Fig. 163. conique, déterminer le point de e contact de chacune. On peut consi dérer cette tangente comme se confondant avec le sixième côté de T'hexagone circonscrit; de sorte que le sixième sommet de cet hexagone circonscrit coïncide avec le point de contact de la tangente à la conique, lequel doit se trouver sur la troisième diagonale. Pour trouver le point de contact t de la tangente ac, on mènera les deux diagonales ad, cf qui se coupent en o (fig. 163). La troisième diagonale eo roncontrera la tangente ac au point de contact t. t Il résulte du même théorème que : 1o Dans un quadrilatère circonscrit à une conique, les diagonales et les droites qui passent par les points de contact des côtés opposés passent par un même point. 2o Dans tout triangle circonscrit, les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés opposés se coupent en un même point. CHAPITRE XIX. Contact et double contact des courbes du 2me degré. 334. Soient y2 + bxy + cx2 + dy + ex + f = 0, les équations de deux coniques. Si f=0 et " 0, les deux courbes sont tangentes à l'axe des y à l'origine. Pour ce point, on a : x [(d'b — db') y + (d'c — de') x + d'e — de'] = 0. T Cette équation est satisfaite pour Fig. 164. T S d'e= Dans ce cas, la droite RS passe par l'origine, et les deux courbes ont un contact du 2me ordre. Enfin, si d'b = db', la droite RS coïncide avec la tangente, et les deux courbes ont un contact du 3me ordre (fig. 164). 335. Si a 0 et ß 0 sont les équations de deux droites qui rencontrent la conique MACDNB ou S=0 (fig. 163) aux points A, B, C, D, l'équation d'une conique quelconque passant par ces quatre points sera, d'après ce qui précède, S Καβ = 0; et comme les points A, C, et B, D peuvent se rapprocher de manière que les deux droites a et ß coïncident, l'équation de la seconde conique deviendra alors : S = Ka2, et elle aura avec la première un double contact. On a déjà vu (315) que est une conique dont = 0, 70 sont deux tangentes, 0 étant leur corde de contact. La corde de contact AB a le mème pôle dans les deux coniques (fig. 166). Les deux tangentes en A et B peuvent ètre considérées comme une 3me conique ayant un double contact avec les coniques données, et la corde de contact AB peut, à son tour, être considérée comme une conique infiniment aplatie ayant ses sommets aux points de contact. représentent des courbes dont les points de contact sont à l'infini. Puisqu'on peut écrire pour la première = la corde de contact 0.y + 0.x + K = 0, qui se réduit à = une constante, rencontre les axes coordonnés, qui sont ici les asymptotes, à l'infini; pour la seconde, (0.+0.x + 2p)x=y: ce qui prouve que la parabole est tangente à l'origine à l'axe des y, mais qu'elle touche, en outre, la droite 2p à l'infini. 2Ay + Bx - VB2 - 4AC.x][2Ay+ Bx + V B2 - 4AC.x 4A !=K', et ont toutes deux droites réelles ou imaginaires qui touchent ces courbes à l'infini. L'équation générale des coniques étant y2 = 2px + qx2, et pouvant se mettre sous la forme: x (2p + qx) = y2, montre que ces courbes sont tangentes aux droites parallèles 336. Lorsque deux coniques ont un double contact, les polaires d'un point quelconque M se coupent sur la corde de contact AB. Ces polaires se coupent sur la polaire du point M relative au système de deux cordes communes aux deux coniques et qui se confondent, dans ce cas, avec la corde de contact, ainsi que la polaire du point M. Il s'ensuit que, si deux points sont conjugués par rapport à deux coniques qui ont un double contact, l'un d'eux est toujours situé sur la corde de contact. 337. Si deux coniques ont un double contact, les pôles d'une droite quelconque sont en ligne droite avec le pôle de la corde de contact. On sait que, si plusieurs coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, les pôles d'une droite quelconque par rapport à ces coniques sont en ligne droite; ce qui est facile à prouver lorsqu'on prend pour les trois coniques inscrites les trois diagonales d'un quadrilatère complet. L'une des trois coniques se réduit ici au pôle P de la corde de contact. Le pôle de la droite passe évidemment par ce point; donc, etc... Il en résulte que si deux droites sont conjuguées par |