évident que les deux arcs AM et A'M', quoique de grandeur différente, contiennent un même nombre n de degrés. Les deux triangles rectangles CMP et CM'P' donnent la proportion : Cette proportion montre évidemment que le rapport du sinus d'un arc à son rayon reste constant, quel que soit ce rayon. Il en est de même du rapport d'une ligne trigonométrique quelconque à son rayon. Si l'on prend les logarithmes dans la dernière proportion, on aura: lg sin nr.101) = lg sin no (r.1) + 10; ce qui indique qu'il suffit d'ajouter 10 aux logarithmes de toutes les lignes trigonométriques calculées dans un cercle de rayon 1 pour les obtenir dans un cercle de rayon 101o. Les tables trigonométriques parurent en 1596, à Neustal, dans le Palatinat: on n'en connaît pas l'auteur. Rhéticus s'en servit pour calculer les sinus et les tangentes jusqu'à quinze décimales, de dix en dix secondes. Plus tard furent publiées les tables logarithmiques des lignes trigonométriques, ce qui abrégea beaucoup les calculs. CHAPITRE III. Résolution des triangles rectangles, 27. Soit un triangle rectangle ABC, A, B, C étant les trois angles et a, b, c les côtés opposés à ces angles. Fig. 7. A D P M B sin B =cos C, tg B = cotg C, et réciproquement. Deux données quelconques suffisent donc pour dé terminer le triangle rectangle, à l'exception des deux angles aigus. On peut admettre, en général, qu'il y a toujours dans les tables trigonométriques un triangle rectangle semblable au triangle donné. Construisons ce triangle des tables et, à cette fin, du point B comme centre et avec un rayon R égal à celui des tables, décrivons l'arc DM et traçons le sinus MP, ainsi que la tangente DT. Le triangle ABC et son semblable des tables BMP donnent les proportions : ainsi, dans tout triangle rectangle le rayon des tables est au sinus d'un angle aigu comme l'hypoténuse est au côté opposé à cet angle aigu. dans tout triangle rectangle le rayon des tables est au cosinus d'un angle aigu, comme l'hypoténuse est au côté adjacent à cet angle aigu. La similitude du triangle ABC et du triangle des tables BDT donne: et en langage ordinaire dans tout triangle rectangle le rayon des tables est à la tangente d'un angle aigu comme le côté adjacent est au côté opposé à cet angle aigu. De ces trois proportions on tire, en faisant le rayon des tables égal à l'unité : b = a sin B, c = a cos B, b = c tg B, formules faciles, mais qui ne sont plus homogènes. Pour rétablir l'homogénéité, il suffit de diviser chaque ligne trigonométrique, le sinus, le cosinus, la tangente, etc., par le rayon R des tables. En général, pour rendre homogène une relation trigonométrique quelconque, il faut diviser chaque ligne trigonométrique par le rayon R des tables. Résolution des triangles rectilignes quelconques. 28. Soit un triangle quelconque ABC (fig. 8), A, B, C étant les trois angles et a, b, c les côtés opposés à ces angles. On a d'abord pour ces angles l'égalité : Du point C, abaissons la perpendiculaire CD sur le côté AB. En vertu du premier principe pour la résolution des triangles rectangles (27), le triangle rectangle CDB donne : Ainsi, dans un triangle quelconque les sinus des angles sont entre eux comme les côtés opposés à ces angles. Tel est le premier principe pour la résolution des triangles quel c'est-à-dire, que dans un triangle quelconque la somme de deux côtés est à leur différence comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces côtés est à la tangente de leur demi-différence : c'est le 2me principe pour la résolution des triangles obliquangles. |