rencontrent les côtés opposés en trois points situés sur la droite En effet, si nous cherchons le point d'intersection des deux droites a 0 et 263 + 2c7 --- aa = 0, on obtient qui est l'équation (4) lorsqu'on y fait a = 0; et ainsi des autres. 320. La sécante qui passe par deux points (a', ß', 7'), (a", ẞ'', y'') de la courbe a pour équation aVa (VB'y" +Vẞ"y') + ßVõ (Va'y" +Va'r') Si, dans cette équation, on change a, ß, y en a', ß', y', elle devient : Vaa'+Vbß'+Vcy' = 0 et Vaa"+Vbg" +V cy"= 0, les points (a', B', y'), (a', ß'',y'') étant situés sur la courbe. Cette sécante devient tangente quand on pose a" =α', ß" = ß', y" = y'; ce qui donne pour l'équation de celle-ci : De même, si la droite pa ++ y = 0 est tangente à la courbe, les coordonnées du point (a', ', 7') devront satisfaire aux équations Substituons les valeurs de a', B', 7' dans l'équation de la équation qui exprime la condition pour que la droite μa + vß + xy=0 soit tangente à la courbe ; c'est l'équation tangentielle de la courbe elle-même. μα β γ 321. Réciproquement, cherchons l'équation de la courbe dont les tangentes doivent satisfaire à la condition. qui est satisfaite quand on y change μ, », « en p', v', x' et en p'', '', 'est l'équation tangentielle du point d'intersection de deux tangentes. 322. Il est facile de trouver l'équation du cercle inscrit dans un triangle ABC, en partant de celle du cercle circonscrit à ce triangle. Soit A' B'C' le triangle formé en joignant les trois points de contact du cercle inscrit dans le triangle ABC, et a', ß', 7' les côtés opposés à ces angles. D'après ce qu'on a vu précédemment (317), l'équation du cercle circonscrit au triangle A'B'C' est B'y' sin A' + a'y' sin B' + a'ß' sin C' - 0. comme il est facile de le prouver en cherchant à quelle condition l'équation aß = Ky2 représente un cercle; ce qui donne : En remplaçant sin A' par sa valeur cos, etc..., a', B', 7', par leurs valeurs, on obtient pour l'équation du cercle tangent aux trois côtés du triangle: Points communs à deux ou à plusieurs coniques. 323. Lorsqu'une droite passe par les deux points d'intersection réels ou imaginaires de deux coniques, on dit que cette droite est une sécante ou une corde commune aux deux coniques. Quand une droite est sécante commune à deux coniques, celles-ci admettent les mêmes systèmes de deux points conjugués sur cette droite; ou bien encore, les polaires de chaque point de cette droite se rencontrent sur la droite ellemême. Les polaires d'un point P de la sécante commune aux deux coniques passent par le point I, conjugué harmonique de P (256), et réciproquement. Le point d'intersection de deux sécantes communes à deux coniques a la mème polaire dans les deux courbes. Les polaires de ce point dans les deux courbes doivent se rencontrer à la fois sur chacune des sécantes, ce qui exige qu'elles se confondent, et réciproquement. 324. Lorsque deux coniques ont un point d'intersection réel, elles en ont un second aussi réel; une branche de l'une des courbes pénètre dans l'autre courbe et la rencontre une seconde fois en sortant. Les coniques qui ont deux points d'intersection réels, ont une corde commune et deux points d'intersection imaginaires conjugués par lesquels passe une seconde sécante réelle; donc, deux coniques qui ont un point d'intersection réel ont deux cordes communes réelles. Quand deux coniques se coupent en quatre points réels, elles ont évidemment trois couples de sécantes communes. 325. Soit S0 et S'0 les équations de deux coniques; est l'équation d'une troisième conique passant par les quatre points d'intersection réels ou imaginaires A, B, C, D des deux premières. Si l'on désigne par a, ß, 7, 8 ces cordes d'intersection, on retombe sur la forme: αβ — Κγδ = 0. L'élimination d'une variable entre les deux équations SO, S'0 conduit à une équation du 4me degré qui fait connaitre les quatre points d'intersection A, B, C, D. Que ces points soient réels ou imaginaires, les deux coniques S0, S' 0 auront toujours deux sécantes réelles communes. Si les quatre racines de l'équation sont imaginaires, elles sont conjuguées et de la forme Si deux racines sont réelles et les autres imaginaires, il |