et, en rendant le numérateur rationnel, il vient :

n2, p, q étant, pour abréger, les coefficients de x sous le radical de la valeur de y dans l'équation de l'hyperbole :

Comme cette valeur de MV est d'autant plus petite que celle de x est plus grande, il s'ensuit que l'équation (8) est bien l'asymptote de la branche E'R.

Pour avoir la différence M'V' entre l'ordonnée Y' de l'asymptote CM' de la branche ER', il faut changer x en

x dans l'équation de l'asymptote CM et dans la valeur de l'ordonnée de la courbe, en prenant le radical avec le signe négatif; ce qui donnera, après avoir rendu le numérateur rationnel :

expression qui prouve également que M'V' diminue à mesure que x augmente. Donc, les deux branches E'R, ER' ont bien la même asymptote MCM'. On prouverait, de la même manière, que les deux branches E'S, ES' ont aussi la même asymptote NCL.

Pour obtenir le point d'intersection des deux asymptotes, il suffit de poser

On a déjà vu (179) que ce point se trouve sur le diamètre, à égale distance des points E, E', c'est-à-dire, au centre de la courbe.

Pour construire les deux asymptotes, il faut joindre le centre aux points où ces droites rencontrent l'axe des y. 290. Considérons un moment les deux équations

Aẞ2 + BB + C =0, (2Ay + D) ẞ + By + E = 0,

qui déterminent les deux paramètres ß et 7.

Si C = 0, l'une des deux asymptotes est parallèle à l'axe des x et, si A = 0, l'autre est parallèle à l'axe des y.

Si l'on a, en même temps, A=0, C= 0, les deux asymptotes sont parallèles aux deux axes coordonnés. Enfin, si B = 0, l'axe de symétrie des coniques est parallèle à l'axe des x ou se confond avec celui-ci, et les deux asymptotes sont également inclinées sur cet axe de l'hyperbole c'est ce qui est indiqué par les deux valeurs égales et de signes contraires de ß.

Si l'on fait :

1° C = 0, dans la valeur de 7, on obtient pour la distance de l'origine au point où l'asymptote coupe l'axe des y:

291. Appliquons encore cette théorie pour rechercher les asymptotes des coniques représentées par l'équation

y2 = 2px + qx2,

ces courbes étant rapportées à leur axe de symétrie, et

l'origine des coordonnées rectangulaires placée au sommet. Soit, comme précédemment (288),

y=Bx + y

l'équation de la droite qui doit être asymptote à ces courbes. On aura, pour les points d'intersection de la droite et de la courbe, l'équation

(ß2 — q) x2 + 2 (ßy − p) x + y2 = 0;

En remplaçant ces valeurs de ẞ et de 7 dans l'équation de la droite, on obtient pour l'équation des asymptotes des coniques :

Cette équation prouve que l'ellipse n'a point d'asymp tote; que la parabole en a une parallèle à son axe ou à son diamètre et située à l'infini, et que l'hyperbole a deux asymptotes, également inclinées sur l'axe transverse de cette courbe, et dirigées suivant les deux diagonales du rectangle construit sur ses axes.

Si l'on prend l'équation

y2 = 2p'x + q'x2,

qui représente celle des coniques rapportées à un diamètre et à une tangente parallèle au conjugué du premier, l'équation des asymptotes sera encore, comme précédemment :

et les asymptotes seront dirigées suivant les deux diagonales du parallelogramme construit sur les deux diamètres conjugués

et

2p'

292. Comme les équations (5) et (6) no (288) sont respectivement les coefficients de x2 et de x de l'équation (3) égalés chacun à zéro, il est facile de voir qu'après la substitution de la valeur de y Bx+7 dans celle de la

courbe, qui est du second degré, on pourra toujours diviser celle-ci par x2 et qu'il viendra :

A mesure que x grandit, les deux fractions que contient cette équation deviennent, d'une manière générale, de plus en plus petites; pour x, elles s'annulent, puisque leur numérateur reste fini comme étant indépendant de x. Si l'équation résultante (5) a ses racines réelles, la courbe aura des asymptotes. En effet, l'équation

étant satisfaite, on pourra multiplier l'équation résultante par x, et il viendra :

qui fera connaitre la seconde arbitraire 7 après qu'on y aura substitué la valeur réelle de ẞ fournie par l'équation (3). 293. Cette méthode est applicable à une courbe algébrique d'un degré quelconque.

Prenons, pour le prouver, une courbe du 3me degré, le

folium de Descartes (fig. 142), par exemple, représenté

l'équation de la droite qui doit ètre asymptote à cette courbe. On aura pour les points d'intersection de la droite et de la courbe:

(ß3 + 1) x3 + 3 (ß2y — aß) x2 + 5 (ẞy2 — ay) x + y-3 = 0 (5). Divisons tous les termes de cette équation par x3, il

viendra :

(33 + 1) +

Lorsque

augmente, les trois fractions que renferme cette équation diminuent, et quand x devient infini, en général ces fractions deviennent infiniment petites ou nulles, et l'équation précédente se réduit à :

(§3 + 1) =0

qui admet une racine réelle ß. — 1, et deux racines imaginaires. Pour ẞ = =-1, l'équation

On peut évidemment multiplier cette dernière équation par x, ce qui donne :